熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(二)1.設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：62172116】[解] (1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝＝. 3分因?yàn)閒(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－＝(x－1)，化簡得3x－ey＝0. 7分(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝，x2＝. 9分當(dāng)x0，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x>x2時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù).11分由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范圍為. 14分2.(2017·蘇州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝－k(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))．(1)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．[解] (1)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝－k＝－＝.由k≤0可得ex－kx>0，所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞). 6分(2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)k>0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因?yàn)間′(x)＝ex－k＝ex－eln k，當(dāng)00，y＝g(x)單調(diào)遞增，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)k>1時(shí)，得x∈(0，ln k)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞減，x∈(ln k，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k)．函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)解得e0)．當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1]，減區(qū)間為[1，＋∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1]；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù). 4分(2)由f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f′(x)＝.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)＝－2，∴由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，所以有：∴－f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴l(xiāng)n x
