2014年高考數(shù)學(xué)（文科）真題分類匯編N單元選修4系列

數(shù) 學(xué)N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講15N12014·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖1­1所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則_圖1­1153解析 本題考查相似三角形的性質(zhì)定理，周長(zhǎng)比等于相似比EB2AE，AEABCD.又四邊形ABCD是平行四邊形，AEFCDF，3.21N12014·江蘇卷 A選修4­1：幾何證明選講如圖1­7所示，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)證明：OCBD.圖1­7證明：因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)BOC，所以O(shè)CBB.又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以B，D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，所以BD，因此OCBD.21. N22014·江蘇卷 B選修4­2：矩陣與變換已知矩陣A，B，向量，x，y為實(shí)數(shù)若AB，求xy的值解：由已知得，A)，B)因?yàn)锳B，所以)故解得所以xy.22N12014·遼寧卷 選修4­1：幾何證明選講圖1­6如圖1­6，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PGPD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑； (2)若ACBD，求證：ABED.22證明：(1)因?yàn)镻DPG，所以PDGPGD.由于PD為切線，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，從而B(niǎo)DAPFA.因?yàn)锳FEP，所以PFA90°，所以BDA90°，故AB為圓的直徑(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故BDAACB90°.在RtBDA與RtACB中，ABBA，ACBD，從而RtBDARtACB，所以DABCBA.又因?yàn)镈CBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.因?yàn)锳BEP，所以DCEP，DCE為直角所以ED為直徑又由(1)知AB為圓的直徑，所以EDAB.22N12014·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­5，P是O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E.證明：(1)BEEC；(2)AD·DE2PB2.圖1­522證明：(1)連接AB，AC.由題設(shè)知PAPD，故PADPDA.因?yàn)镻DADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，從而B(niǎo)EEC.因此BEEC.(2)由切割線定理得PA2PB·PC.因?yàn)镻APDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得AD·DEBD·DC，所以AD·DE2PB2.22N12014·全國(guó)新課標(biāo)卷 選修41：幾何證明選講如圖1­5，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CBCE.圖1­5(1)證明：DE；(2)設(shè)AD不是O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，證明：ADE為等邊三角形22證明：(1)由題設(shè)知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MBMC知MNBC，故點(diǎn)O在直線MN上又AD不是O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE為等邊三角形15N1 2014·陜西卷 B.(幾何證明選做題)如圖1­3所示，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC2AE，則EF_圖1­3153 解析由題目中所給圖形的位置關(guān)系，可知AEFACB，又AA，所以AEFACB，所以.又AC2AE，BC6，所以EF3.7N12014·天津卷 如圖1­1所示，ABC是圓的內(nèi)接三角形，BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：BD平分CBF；FB2FD·FA；AE·CEBE·DE；AF·BDAB·BF.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A BC D7D解析 DBCDAC，DBFDAB，且DACDAB，DBCDBF，BD平分CBF，ABFBDF，AB·BFAF·BD，BF2AF·DF.故正確由相交弦定理得AE·DEBE·CE，故錯(cuò)誤N2 選修4-2 矩陣N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程14N32014·廣東卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為2cos2sin 與cos 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)14(1，2)解析 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解曲線C1的直角坐標(biāo)方程是2x2y，曲線C2的直角坐標(biāo)是x1.聯(lián)立方程C1與C2得解得所以交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1，2)12N32014·湖南卷 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_(kāi)12xy10解析 依題意，消去參數(shù)可得x2y1，即xy10.21. N32014·江蘇卷 C選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)解：將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x，得4，解得t10，t28 ，所以AB|t1t2|8 .23N32014·遼寧卷 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2y21上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C.(1)寫(xiě)出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程23解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得由xy1得x21，即曲線C的方程為x21.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)由解得或不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線斜率k，于是所求直線方程為y1，即2x4y3，化為極坐標(biāo)方程，得2 cos 4sin 3，即.23N32014·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)23解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐標(biāo)為，即.23N32014·全國(guó)新課標(biāo)卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值23解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到直線l的距離d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.15N3 2014·陜西卷 C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線 sin1的距離是_15 1解析易知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(，1)，直線sin1的直角坐標(biāo)方程為xy20.由點(diǎn)到直線距離公式，得d1.N4 選修4-5 不等式選講21. N42014·江蘇卷 D選修4­5：不等式選講已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明：因?yàn)閤>0，y>0，所以1xy23>0，1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)3·39xy.15N42014·江西卷 x，yR，若|x|y|x1|y1|2，則xy的取值范圍為_(kāi)150，2解析 |x|y|x1|y1|2|x|y|x1|y1|20xy2.24N42014·遼寧卷 選修4­5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當(dāng)xMN時(shí)，證明：x2f(x)xf(x)2.24解：(1)f(x)當(dāng)x1時(shí)，由f(x)3x31得x，故1x；當(dāng)x1時(shí)，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x，因此N，故MN.當(dāng)xMN時(shí)，f(x)1x，于是x2f(x)x·f(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).24N42014·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修4­5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范圍24解：(1)證明：由a>0 ，有f(x)|xa|a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當(dāng)a>3時(shí)，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.當(dāng)0<a3時(shí)，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.綜上，a的取值范圍是.24N42014·全國(guó)新課標(biāo)卷 選修45：不等式選講若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？請(qǐng)說(shuō)明理由24解：(1)由，得ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立故a3b32 4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立所以a3b3的最小值為4 .(2)由(1)知，2a3b2 4 .由于4 >6，從而不存在a，b，使2a3b6.15N4 2014·陜西卷 A.(不等式選做題)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_(kāi)15A. 解析由柯西不等式可知(a2b2)(m2n2)(manb)2，即5(m2n2)25，當(dāng)且僅當(dāng)anbm時(shí)，等號(hào)成立，所以 .12014·長(zhǎng)沙模擬 已知點(diǎn)P所在曲線的極坐標(biāo)方程為2cos ，點(diǎn)Q所在曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則|PQ|的最小值是()A2 B.1C1 D.11D解析 易知點(diǎn)P在圓x2y22x0上，圓心為(1，0)，半徑為1，點(diǎn)Q在直線2xy20上，故|PQ|的最小值是11.42014·株洲模擬 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸)中，直線C2的方程為(cos sin )10，則曲線C1與C2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)42解析 由題意，曲線C1的參數(shù)方程(為參數(shù))可化為一般方程1，直線C2的極坐標(biāo)方程·(cos sin )10可化為普通方程xy10.聯(lián)立兩個(gè)方程，消去y可得1，即7x28x80.因?yàn)?24×7×8>0，所以直線與橢圓相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)52014·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考 在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為4 cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知圓C2的參數(shù)方程為(a0，為參數(shù))若圓C1與圓C2外切，則實(shí)數(shù)a_5.解析 依題意，4 cos4cos 4sin ，化成普通方程為x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，即該圓的圓心為C1(2，2)，半徑r12 .將(a>0，為參數(shù))化成普通方程為(x1)2(y1)2a2，即圓心為C2(1，1)，半徑r2a.由丙點(diǎn)間兩圓外切可得|C1C2|3 2 a，所以a.62014·衡陽(yáng)模擬 已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos .若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為_(kāi)6.(為參數(shù))解析 由曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos ，可得其普通方程為x2y24x，即(x2)2y24，所以曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))72014·湖南雅禮中學(xué)月考 已知極坐標(biāo)系下曲線4sin 表示圓，則點(diǎn)A到圓心的距離為_(kāi)72 解析 將曲線4sin 化成普通方程為x2y24y，則該圓的圓心為(0，2)，而點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2 ，2)，由兩點(diǎn)間距離公式可得d2 .82014·湖南十三校聯(lián)考 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，若直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心，則常數(shù)a的值為_(kāi)81解析 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為yxa，將圓C的極坐標(biāo)方程2cos 化為普通方程為x2y22x，則圓心為(1，0)，代入直線yxa可得a1.