數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試：第二部分 專題六 滿分示范課 Word版含解析

滿分示范課函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)對于這類綜合問題，一般是先求導(dǎo)，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理【典例】(滿分12分)(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線規(guī)范解答(1)f(x)的定義域?yàn)?0，1)(1，)因?yàn)閒(x)>0，所以f(x)在(0，1)，(1，)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)1<0，f(e2)2>0，所以f(x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1(e<x1<e2)，即f(x1)0.又0<<1，f ln x1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)閑ln x0，所以點(diǎn)B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即ln x0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點(diǎn)B處切線的斜率是，曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處切線的斜率也是.所以曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線高考狀元滿分心得1得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分如第(1)問中，求導(dǎo)正確，判斷單調(diào)性利用零點(diǎn)存在定理，定零點(diǎn)個(gè)數(shù)第(2)問中，由f(x0)0定切點(diǎn)B，求切線的斜率2得關(guān)鍵分：解題過程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，如第(1)問中，求出f(x)的定義域，f(x)在(0，)上單調(diào)性的判斷；第(2)問中，找關(guān)系ln x0，判定兩曲線在點(diǎn)B處切線的斜率相等3得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證如第(1)問中，求導(dǎo)f(x)準(zhǔn)確，否則全盤皆輸，判定f(x1)f0；第(2)問中，正確計(jì)算kAB等，否則不得分解題程序第一步：求f(x)的定義域，計(jì)算f(x)第二步：由f(x)在(1，)上的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理，判斷f(x)在(1，)上有唯一零點(diǎn)x0.第三步：證明f0，從而f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)第四步：由第(1)問，求直線AB的斜率k.第五步：求yex在點(diǎn)A、B處的切線斜率k，得證第六步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說明理由；(1)證明：由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，h(2)e230，所以h(1)·h(2)0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)(2)解：由(1)可知，h(x)f(x)g(x)ex1x.由g(x)x知x0，)，且h(0)0，則x0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn)又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)在0，)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)h(x)exx1，記(x)exx1.則(x)exx，當(dāng)x(0，)時(shí)，(x)0，則(x)在(0，)上遞增易知(x)在(0，)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以h(x)在0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)為2.2(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切，求證：對于任意互不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有<.(1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，由f(x)0，得x.若x，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減綜上：當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，不滿足條件當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極大值為fln(a)，由已知得ln(a)0，故a1，此時(shí)f(x)ln xx1.不妨設(shè)0<x1<x2，則<等價(jià)于ln<x2x1，即證：ln<x2x1.令g(x)ln xx(x>1)，故g(x)在(1，)單調(diào)遞減，所以g(x)<g(1)0<x2x1.所以對于任意互不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有<成立