高考數(shù)學專題復習練習第1講不等關系與不等式

第七章 不等式 第1講 不等關系與不等式 一、選擇題 1.已知則( ) A. B. C. D. 解析 因為,都小于1且大于0,故排除C,D;又因為都是以4為底的對數(shù),真數(shù)大,函數(shù)值也大,所以,故選B. 答案　B 2．設0<b<a<1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)b<b2<1 B．b<a<0 C．2b<2a<2 D．a(chǎn)2<ab<1 解析 取a＝，b＝驗證可得． 答案 C 3．已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 (　　)． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析　運用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>0可得<，②、④正確．又正數(shù)大于負數(shù)，①正確，③錯誤，故選C. 答案　C 4．如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是 (　　)． A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<0 解析　由題意知c<0，a>0，則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當b＝0時C不正確． 答案　C 5．若a＞0，b＞0，則不等式－b＜＜a等價于(　　)． A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜ C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞ 解析　由題意知a＞0，b＞0，x≠0， (1)當x＞0時，－b＜＜a?x＞； (2)當x＜0時，－b＜＜a?x＜－. 綜上所述，不等式－b＜＜a?x＜－或x＞. 答案　D 6．若a、b均為不等于零的實數(shù)，給出下列兩個條件．條件甲：對于區(qū)間[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；條件乙：2b－a>0，則甲是乙的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　當x∈[－1,0]時，恒有ax＋b>0成立， ∴當a>0時，ax＋b≥b－a>0， 當a<0時，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0， ∴甲?乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0時， 則2b－a＝b>0， 但是，當x＝－1時，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0， ∴甲是乙的充分不必要條件． 答案　A 二、填空題 7．若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關系是________． 解析 (a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0. 答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1 8．現(xiàn)給出三個不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________個． 解析　因為a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；對于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；對于③，因為(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立． 答案　2 9．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示)． 解析　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴z∈[3,8]． 答案　[3,8] 10．給出下列四個命題： ①若a>b>0，則>； ②若a>b>0，則a－>b－； ③若a>b>0，則>； ④設a，b是互不相等的正數(shù)，則|a－b|＋≥2. 其中正確命題的序號是________(把你認為正確命題的序號都填上)． 解析?、僮鞑羁傻茫?，而a>b>0，則<0，此式錯誤．②a>b>0，則<，進而可得－>－，所以可得a－>b－正確．③－＝＝＝<0，錯誤．④當a－b<0時此式不成立，錯誤． 答案?、? 三、解答題 11．已知a∈R，試比較與1＋a的大?。? 解析?。?1＋a)＝. ①當a＝0時，＝0，∴＝1＋a. ②當a＜1且a≠0時，＞0，∴＞1＋a. ③當a＞1時，＜0，∴＜1＋a. 綜上所述，當a＝0時，＝1＋a； 當a＜1且a≠0時，＞1＋a； 當a＞1時，＜1＋a. 12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍． 解　由題意，得解得 所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)． 因為－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤， 因為－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤. 兩式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范圍是[－1,20]． 13． (1)設x≥1，y≥1，證明 x＋y＋≤＋＋xy； (2)設1＜a≤b≤c，證明 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 證明　(1)由于x≥1，y≥1，所以 x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 將上式中的右式減左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 從而所要證明的不等式成立． (2)設logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對數(shù)的換底公式得 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. 于是，所要證明的不等式即為 x＋y＋≤＋＋xy 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要證明的不等式成立． 14．已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得f(m－sin x)≤ f對定義域內(nèi)的一切實數(shù)x均成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域． 解　假設實數(shù)m存在，依題意， 可得 即 因為sin x的最小值為－1，且－(sin x－)2的最大值為0，要滿足題意，必須有 解得m＝－或≤m≤3. 所以實數(shù)m的取值范圍是∪. 探究提高　不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.