2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 選修4-5 第1節(jié) 課時分層訓(xùn)練69

課時分層訓(xùn)練(六十九)　絕對值不等式 1．已知|2x－3|≤1的解集為[m，n]． (1)求m＋n的值； (2)若|x－a|＜m，求證：|x|＜|a|＋1. [解]　(1)由不等式|2x－3|≤1可化為－1≤2x－3≤1， 得1≤x≤2，3分 ∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.5分 (2)證明：若|x－a|＜1，則|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.10分 2．若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，求實數(shù)a的值． [解]　當(dāng)a＝－1時，f(x)＝3|x＋1|≥0，不滿足題意； 當(dāng)a＜－1時，f(x)＝ 3分 f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5， 解得a＝－6；5分 當(dāng)a＞－1時，f(x)＝ 7分 f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5， 解得a＝4.9分 綜上所述，實數(shù)a的值為－6或4.10分 3．(2017·衡水中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 【導(dǎo)學(xué)號：01772445】 (1)當(dāng)a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)a＝－3時， 不等式f(x)≥3化為|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若x≤2時，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 若2＜x＜3時，由(*)式知，解集為?. 若x≥3時，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4. 綜上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分 (2)原不等式等價于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 當(dāng)1≤x≤2時，(**)式化為4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－a.8分 由條件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1且2≤2－a，則－3≤a≤0， 故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[－3,0].10分 4．(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. [解]　(1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1； 當(dāng)－＜x＜時，f(x)＜2； 當(dāng)x≥時，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分 (2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分 5．(2017·湖南長郡中學(xué)模擬)已知正實數(shù)a，b滿足：a2＋b2＝2. 【導(dǎo)學(xué)號：01772446】 (1)求＋的最小值m； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，對于(1)中求得的m是否存在實數(shù)x，使得f(x)＝成立，說明理由． [解]　(1)∵2＝a2＋b2≥2ab， ∴≥ab(a＞0，b＞0)，則≤1. 又＋≥≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號， ∴＋的最小值m＝2.5分 (2)函數(shù)f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2. 對于(1)中的m＝2，＝1＜2. ∴滿足條件的實數(shù)x不存在.10分 6．(2017·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式|x－1|＜f(x)； (2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)依題設(shè)，得|x－1|＜|3x＋2|， 所以(x－1)2＜(3x＋2)2，則x＞－或x＜－， 故原不等式的解集為.4分 (2)因為m＋n＝1(m＞0，n＞0)， 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，等號成立． 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2| ＝8分 則x＝－時，g(x)取得最大值＋a， 要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4. 解得a≤. 又a＞0，因此0＜a≤.10分