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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第22課 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第22課 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

第22課 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 √ 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 √ 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系 sin2α+cos2α=1; (2)商數(shù)關(guān)系 tan α=. 2.誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α -cos α cos α -cos_α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan_α 口訣 函數(shù)名不變,符號(hào)看象限 函數(shù)名改變符號(hào)看象限 記憶規(guī)律 奇變偶不變,符號(hào)看象限 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.(  ) (2)若α∈R,則tan α=恒成立.(  ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的條件是α為銳角.(  ) (4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍,變與不變指函數(shù)名稱是否變化.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改編)已知α是第二象限角,sin α=,則cos α等于________. - [∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-=-.] 3.若tan α=,則sin4α-cos4α的值為________. - [sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)===-.] 4.(2016·四川高考)sin 750°=________.  [sin 750°=sin(750°-360°×2)=sin 30°=.] 5.已知sin=,α∈,則sin(π+α)=________. - [因?yàn)閟in=cos α=,α∈,所以sin α==,所以sin(π+α)=-sin α=-.] 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用  (1)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為________. (2)(2016·全國卷Ⅲ改編)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=________. (1) (2) [(1)∵<α<, ∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, ∴cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=, ∴cos α-sin α=. (2)∵tan α=,則cos2α+2sin 2α====.] [規(guī)律方法] 1.利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. 2.應(yīng)用公式時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用:對(duì)于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個(gè)式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. 3.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. [變式訓(xùn)練1] (1)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則tan α等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172123】 -1 [由 消去sin α得:2cos2α+2cos α+1=0, 即(cos α+1)2=0, ∴cos α=-. 又α∈(0,π),∴α=, ∴tan α=tan=-1.] (2)設(shè)θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=________. - [∵tan=,∴=,解得tan θ=-. ∴(sin θ+cos θ)2= ===. ∵θ為第二象限角,tan θ=-, ∴2kπ+<θ<2kπ+π,∴sin θ+cos θ<0, ∴sin θ+cos θ=-.] 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用  (1)已知A=+(k∈Z),則A的值構(gòu)成的集合是________. (2)(2017·南通一模)已知sin=,則sin+sin2的值是________. (1){-2,2} (2) [(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),A=+=2; k為奇數(shù)時(shí),A=-=-2. (2)sin+sin2=sin+sin2=-sin+1-sin2=.] [規(guī)律方法] 1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系,尤其是角之間的互余、互補(bǔ)關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進(jìn)行化歸. 2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值. [變式訓(xùn)練2] 已知cos=,則cos-sin2的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172124】 - [∵cos=cos =-cos=-, sin2=sin2=sin2 =1-cos2=1-2=, ∴cos-sin2=--=-.] 同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用  (1)(2016·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________. (2)(2017·南京模擬)已知cos=2sin,則的值為________. (1)- (2) [(1)由題意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==. tan=tan=- =-=-=-. (2)∵cos=2sin, ∴-sin α=-2cos α,則sin α=2cos α, 代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=. = ==cos2α-=.] [規(guī)律方法] 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的基本思路和化簡要求:(1)基本思路:①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式;②利用公式化成單角三角函數(shù);③整理得最簡形式. (2)化簡要求:①化簡過程是恒等變形;②結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值. [變式訓(xùn)練3] 已知sin α=,α是第二象限角,則tan(π-α)=________.  [∵sin α=,α是第二象限角, ∴cos α=-, ∴tan α=-,故tan(π-α)=-tan α=.] [思想與方法] 三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=進(jìn)行弦、切互化. (2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化. (3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan等. (4)利用相關(guān)角的互補(bǔ)、互余等特殊關(guān)系可簡化解題步驟. [易錯(cuò)與防范] 1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí),先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟:去負(fù)—脫周—化銳.應(yīng)特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定. 2.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí),若開方,要特別注意判斷符號(hào). 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十二) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí):30分鐘) 一、填空題 1.若cos α=,α∈,則tan α等于________. -2 [∵α∈, ∴sin α=-=-=-, ∴tan α==-2.] 2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,則θ等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172125】  [∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ), ∴-sin θ=-cos θ,∴tan θ=.∵|θ|<,∴θ=.] 3.(2017·蘇州期中)已知sin α=,且α∈,則tan α=________. - [∵α∈,sin α=,∴cos α=-=-. ∴tan α==-.] 4.若sin=,則cos=________.  [cos=cos =sin=.] 5.已知α是三角形的內(nèi)角,且sin α+cos α=,則tan α=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172126】 - [由 消去cos α整理,得 25sin2α-5sin α-12=0, 解得sin α=或sin α=-. 因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角, 所以sin α=. 又由sin α+cos α=,得cos α=-, 所以tan α=-.] 6.已知α為第二象限角,則cos α+sin α·=________. 0 [原式=cos α+sin α =cos α+sin α =cos α+sin α =0.] 7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________. 44.5 [因?yàn)閟in(90°-α)=cos α,所以當(dāng)α+β=90°時(shí),sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1, 設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°, 則S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21° 兩個(gè)式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.] 8.(2017·蘇北四市調(diào)研)=________.  [原式== = =.] 9.已知sin θ+cos θ=,則sin θ-cos θ的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172127】 - [∵sin θ+cos θ=, ∴1+2sin θcos θ=, ∴2sin θcos θ=.又0<θ<, 故sin θ-cos θ=-= -=-.] 10.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊在直線2x-y=0上,則=________. 2 [由題意可得tan θ=2, 原式===2.] 二、解答題 11.求值:sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)+tan 945°. [解] 原式=-sin 1 200°·cos 1 290°+cos 1 020°·(-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°·cos 210°+cos 300°·(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)·(-cos 30°)+cos 60°·sin 30°+tan 45° =×+×+1=2. 12.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值: (1); (2)sin2α+sin 2α. [解] 由已知得sin α=2cos α. (1)原式==-. (2)原式= ==. B組 能力提升 (建議用時(shí):15分鐘) 1.已知tan x=sin,則sin x=________.  [因?yàn)閠an x=sin,所以tan x=cos x,所以sin x=cos2x,sin2x+sin x-1=0,解得sin x=, 因?yàn)椋?≤sin x≤1,所以sin x=.] 2.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+π)=f(x)+sin x,當(dāng)0≤x<π時(shí),f(x)=0,則f=________.  [由f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π) =f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以f=f =f=f =f+sinπ. 因?yàn)楫?dāng)0≤x<π時(shí),f(x)=0, 所以f=0+=.] 3.已知f(α)=. (1)化簡 f(α); (2)若α是第三象限角,且cos=,求f(α)的值. [解] (1)f(α)= = =-cos α. (2)∵cos=-sin α=, ∴sin α=-, 又α是第三象限角,∴cos α=-=-, 故f(α)=. 4.已知f(x)=(n∈Z). (1)化簡f(x)的表達(dá)式; (2)求f+f的值. [解] (1)當(dāng)n為偶數(shù),即n=2k(k∈Z)時(shí), f(x)= = = =sin2x; 當(dāng)n為奇數(shù),即n=2k+1(k∈Z)時(shí),f(x)== == =sin2x,綜上得f(x)=sin2x. (2)由(1)得f+f =sin2+sin2 =sin2+sin2=sin2+cos2=1.

注意事項(xiàng)

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