高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

第41課 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與平面垂直的判定及性質(zhì)兩平面垂直的判定及性質(zhì)1直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定ab，b(b為內(nèi)的任意一條直線)aam，an，m，n，mnOaab，ab性質(zhì)a，baba，bab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面l1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(3)若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行()(4)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(2017·南京模擬)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，有下列四個(gè)命題：(1)若l，m，則lm；(2)若l，lm，則m；(3)若l，m，則lm；(4)若l，m，則lm，則其中正確的命題是_(填序號(hào))(1)(2)l，ma，lm，故(1)正確；若l，lm，由線面垂直的第二判定定理，我們可得m，故(2)正確；若l，m，則l與m可能平行也可能垂直，故(3)錯(cuò)誤；若l，m，則l與m可能平行也可能垂直也可能異面，故(4)錯(cuò)誤3如圖41­1，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_圖41­14PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC.ABC，PBC也是直角三角形4(教材改編)在三棱錐P­ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心(1)外心(2)垂心PO平面ABC，且PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心(2)PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PABC，又POBCBC平面PAOAOBC，同理BOAC，COAB，O是ABC的垂心5邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長(zhǎng)為_a如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，則AOC是二面角A­BD­C的平面角即AOC90°，又AOCOa，ACa，即折疊后AC的長(zhǎng)(AC)為a.線面垂直的判定與性質(zhì)如圖41­2所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且ADDB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.圖41­2求證：PACD. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172224】證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC，得ABC30°.設(shè)AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DB·BCcos 30°3，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因?yàn)镻D平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想變式訓(xùn)練1如圖41­3，在三棱錐A­BCD中，AB平面BCD，CDBD.圖41­3(1)求證：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A­MBC的體積解(1)證明：因?yàn)锳B平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.又因?yàn)镃DBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD.又ABBD1，所以SABD×12.因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以SABMSABD.根據(jù)(1)知，CD平面ABD，則三棱錐C­ABM的高h(yuǎn)CD1，故三棱錐VA­MBCVC­ABMSABM·h.面面垂直的判定與性質(zhì)如圖41­4，三棱臺(tái)DEF­ABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)圖41­4(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH.證明(1)如圖所示，連結(jié)DG，CD，設(shè)CDGFM，連結(jié)MH.在三棱臺(tái)DEF­ABC中，AB2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HMBD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.(2)連結(jié)HE.因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.由于CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH.所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.規(guī)律方法1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題2垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直線面垂直面面判定性質(zhì)垂直變式訓(xùn)練2如圖41­5，在三棱錐P­ABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)圖41­5(1)求證：PB平面MNC；(2)若ACBC，求證：PA平面MNC. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172225】證明(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MNPB，又因?yàn)镸N平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.(2)因?yàn)镻APB，MNPB，所以PAMN.因?yàn)锳CBC，AMBM，所以CMAB.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.因?yàn)镻A平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.平行與垂直的綜合問(wèn)題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明(2016·江蘇高考)如圖41­6，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.圖41­6求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，于是DEA1C1.又因?yàn)镈E平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化2垂直與平行結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用角度2平行垂直中探索開放問(wèn)題如圖所示，在RtABC中，C90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖所示圖41­7(1)求證：A1FBE；(2)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？并說(shuō)明理由證明(1)由已知，得ACBC，且DEBC.所以DEAC，則DEDC，DEDA1，因?yàn)镈CDA1D，所以DE平面A1DC.由于A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(2)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連結(jié)PQ，則PQBC.又因?yàn)镈EBC，則DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEQP.由(1)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C平面DEQ.規(guī)律方法1.對(duì)命題條件探索性的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2平行(垂直)中點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題：一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)思想與方法1證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任一直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直面面判定性質(zhì)垂直 易錯(cuò)與防范1在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化2面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可課時(shí)分層訓(xùn)練(四十一)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是_(填序號(hào)) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172226】且m；且m；mn且n；mn且.由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知正確2(2017·徐州模擬)設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))若l，l，則；若l，l，則；若，l，則l；若，l，則l.中，或與相交，不正確中，過(guò)直線l作平面，設(shè)l，則ll，由l，知l，從而，正確中，l或l，不正確中，l與的位置關(guān)系不確定3如圖41­8，在正四面體P­ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是_(填序號(hào))圖41­8BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面PAE；平面PDE平面ABC.因?yàn)锽CDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故正確在正四面體中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，則DF平面PAE，從而平面PDF平面PAE.因此均正確4設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))若mn，n，則m；若m，則m；若m，n，n，則m；若mn，n，則m.中，由mn，n可得m或m與相交或m，錯(cuò)誤；中，由m，可得m或m與相交或m，錯(cuò)誤；中，由m，n可得mn，又n，所以m，正確；中，由mn，n，可得m或m與相交或m，錯(cuò)誤5如圖41­9，在三棱錐D­ABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是_(填序號(hào))圖41­9平面ABC平面ABD；平面ABD平面BCD；平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE；平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE.因?yàn)锳BCB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.6如圖41­10所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172227】圖41­10DMPC(或BMPC等)由定理可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.7(2016·全國(guó)卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))對(duì)于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤對(duì)于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對(duì)于，因?yàn)椋?，沒(méi)有公共點(diǎn)又m，所以m，沒(méi)有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m，故正確對(duì)于，因?yàn)閙n，所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)?，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確8如圖41­11，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是_圖41­11取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則AE平面BB1C1C.所以ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角設(shè)三棱柱的所有棱長(zhǎng)為a，在RtAED中，AEa，DE.所以tanADE，則ADE.故AD與平面BB1C1C所成的角為.9.如圖41­12，直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，ACBC1，ACB90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為_圖41­12設(shè)B1Fx，因?yàn)锳B1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，設(shè)RtAA1B1斜邊AB1上的高為h，則DEh.由面積相等得2×h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面積相等得×x，得x.10.(2017·南京模擬)如圖41­13，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.圖41­13其中正確結(jié)論的序號(hào)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172228】由題意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF，故正確11(2017·鹽城模擬)如圖41­14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1E，求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.圖41­14證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DEAC.因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以ACCC1.因?yàn)锳CBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1AB1.12(2016·蘇州期末)如圖41­15，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O.(1)求證：A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若底面ABCD是菱形，且ODA1E，求證：OD平面A1C1FE. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172229】圖41­15證明(1)連結(jié)AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF是ABC的中位線，所以EFAC.由直棱柱知AA1綊CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1.所以EFA1C1，故A1，C1，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(2)連結(jié)BD，因?yàn)橹崩庵蠨D1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1.因?yàn)榈酌鍭1B1C1D1是棱形，所以A1C1B1D1.又DD1B1D1D1，所以A1C1平面BB1D1D.因?yàn)镺D平面BB1D1D，所以O(shè)DA1C1.又ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE，所以O(shè)D平面A1C1FE.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1如圖41­16，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))圖41­16O是AEF的垂心；O是AEF的內(nèi)心；O是AEF的外心； O是AEF的重心由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF，因?yàn)镻OPAP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O(shè)為AEF的垂心2如圖41­17，在三棱柱ABC­A1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF_時(shí)，CF平面B1DF.圖41­17a或2aB1D平面A1ACC1，CFB1D.為了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)設(shè)AFx，則CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa或x2a.3(2016·四川高考)如圖41­18，在四棱錐P­ABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90°，BCCDAD.圖41­18(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說(shuō)明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.解(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)理由如下：連結(jié)CM，因?yàn)锳DBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(說(shuō)明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明：由已知，PAAB，PACD，因?yàn)锳DBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因?yàn)锳DBC，BCAD，M為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BM，所以BCMD，且BCMD，所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.4O的直徑AB4，點(diǎn)C，D為O上兩點(diǎn)，且CAB45°，F(xiàn)為的中點(diǎn)沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖)圖41­19(1)求證：OF平面ACD；(2)在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)證明：由CAB45°，知COB90°，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以FOB45°，因此OFAC，又AC平面ACD，OF平面ACD，所以O(shè)F平面ACD.(2)存在，E為AD中點(diǎn)，因?yàn)镺AOD，所以O(shè)EAD.又OCAB且兩半圓所在平面互相垂直所以O(shè)C平面OAD.又AD平面OAD，所以ADOC，由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AD平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE平面ACD.