湖南大學(xué)《隨機(jī)過(guò)程》課程習(xí)題集.doc

湖南大學(xué)本科課程隨機(jī)過(guò)程習(xí)題集主講教師：何松華 教授第一章：概述及概率論復(fù)習(xí)1.1 設(shè)一批產(chǎn)品共50個(gè)，其中45個(gè)合格，5個(gè)為次品，從這一批產(chǎn)品中任意抽取3個(gè)，求其中有次品的概率。1.2 設(shè)一批零件共100個(gè)，次品率為10%，每次從其中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。1.3 設(shè)一袋中有N個(gè)球，其中有M個(gè)紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個(gè)球，求乙取得紅球的概率(甲取出的球不放回)。1.4 設(shè)一批產(chǎn)品有N個(gè)，其中有M個(gè)次品，每次從其中任取一個(gè)來(lái)檢查，取出后再放回，求連續(xù)n次取得合格品的概率。1.5設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為連續(xù)的，且其中l(wèi)0為常數(shù)，求常數(shù)A、B的值。1.6設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(1) 求系數(shù)A、B；(2)求隨機(jī)變量落在(-1,1)內(nèi)的概率；(3)求其概率密度函數(shù)。1.7已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為(1)求條件概率密度函數(shù)、；(2)問(wèn)X、Y是否相互獨(dú)立？1.8已知隨機(jī)變量X的概率密度分布函數(shù)為隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為 Y=cX+b，其中c，b為常數(shù)。求Y的概率密度分布函數(shù)。1.9設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度分布函數(shù)。1.10設(shè)隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為對(duì)數(shù)關(guān)系，Y=ln(X)，隨機(jī)變量Y服從均值為mY、標(biāo)準(zhǔn)差為sY的正態(tài)分布，求X的概率密度分布。1.11隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量(n為正整數(shù))的數(shù)學(xué)期望及方差。1.12隨機(jī)變量X服從均值為mX、標(biāo)準(zhǔn)差為sX的正態(tài)分布，X通過(guò)雙向平方率檢波器，Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。1.13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為(1) 求系數(shù)A，(2)求數(shù)學(xué)期望EX、EY，方差DX、DY；(3)求X、Y的相關(guān)函數(shù)及相關(guān)系數(shù)。1.14設(shè)X為拉譜拉斯隨機(jī)變量，；求：(1)X的特征函數(shù)，(2)利用特征函數(shù)求X的均值與方差，(3)討論特征函數(shù)實(shí)部與虛部的奇偶性。第二章：隨機(jī)過(guò)程的基本概念2.1某公共汽車站停放著兩輛公共汽車A、B，從t=1s開始，每隔1s有一名乘客到達(dá)車站。如果每名乘客以概率1/2登上A車，以概率1/2登上B車，各乘客登上哪輛車是相互獨(dú)立的，用Xj表示第j秒到達(dá)的乘客的登車狀態(tài)，即登上A車則Xj=1，登上B車則Xj=0；設(shè)t=n時(shí)A車上的乘客數(shù)為Yn。(1)求離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程Yn的一維概率分布率；(2)當(dāng)公共汽車A上的乘客達(dá)到10個(gè)時(shí)，A即開車，求A車出發(fā)時(shí)刻n的概率分布。2.2一個(gè)正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數(shù)變化的影響，其輸出的正弦波可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其中A、W、j為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。2.3用一枚硬幣擲1次的試驗(yàn)定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為1/2。(1) 確定X(t)的一維分布函數(shù)FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 確定X(t)的二維分布函數(shù)FX(x1, x2;1/2,1)；(3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。2.4設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中w>0為常數(shù)，X、Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(即均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1)。若將Z(t)寫成，(1)求隨機(jī)變量V、F的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，問(wèn)二者是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？(2)求隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度分布函數(shù)。2.5求4題所給出的隨機(jī)過(guò)程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷該隨機(jī)過(guò)程是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2.6設(shè)某信號(hào)源每T(s)產(chǎn)生一個(gè)幅度為A的方波脈沖，脈沖寬度X為均勻分布于0,T的隨機(jī)變量。這樣構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程Y(t)(0t<)。設(shè)不同的脈沖是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求隨機(jī)過(guò)程Y(t)的一維概率密度分布函數(shù)。2.7設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Ycos(t) (-<t<)，其中Y為均勻分布于0,1區(qū)間的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。2.8隨機(jī)過(guò)程，其中Ak服從分布N(0,sk2)，且相互獨(dú)立；qk為常數(shù)，j為虛數(shù)單位，求復(fù)隨機(jī)過(guò)程Z(t)的均值函數(shù)與方差函數(shù)。2.9隨機(jī)過(guò)程X(t)=X+Yt，；隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣為，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的協(xié)方差函數(shù)。2.10給定隨機(jī)變量X(ti)，xi為任一實(shí)數(shù)。定義另外一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 試證明Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為X(t)的一維和二維分布函數(shù)。2.11有一脈沖串，其中每個(gè)脈沖的寬度為1，脈沖可為正脈沖也可為負(fù)脈沖，即脈沖的幅度隨機(jī)地取1或-1(概率相等)，各脈沖的幅度取值相互獨(dú)立；脈沖串的起始時(shí)間均勻分布于單位時(shí)間內(nèi)，脈沖間隔為0；求此脈沖隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。2.12設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=b+Nt，b為常量，N為正態(tài)隨機(jī)變量，均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度及均值、方差。2.13質(zhì)點(diǎn)在直線上作隨機(jī)游動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)在n=1,2,3,時(shí)刻可以在x軸上往右或往左作一個(gè)單位距離的隨機(jī)游動(dòng)。往右、左移動(dòng)的概率分別為p、q(p+q=1)，PXn=1=p，PXn=-1=q，各次游動(dòng)是相互獨(dú)立的，經(jīng)過(guò)n次游動(dòng)后，質(zhì)點(diǎn)所在的相對(duì)位置為求：(1)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程Y(n)的均值函數(shù)；(2) Y(n)的相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。2.14設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=a+bt，a和b為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布分別為、，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的概率密度。2.15設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中A(t)0，在同一時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程A(t)和j(t)是相互獨(dú)立的，且j(t)在任意時(shí)刻的概率密度分布為-p,p上的均勻分布，包絡(luò)A(t)在任意時(shí)刻的概率密度分布為，求隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度。2.16隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數(shù)，相位j為均勻分布于-p,p的隨機(jī)變量，求X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。2.17設(shè)某通信系統(tǒng)的信號(hào)為脈沖信號(hào)，脈寬為T，脈沖信號(hào)的周期也為T，脈沖幅度是隨機(jī)的且服從高斯分布N(0,s2)，不同周期內(nèi)的幅度xi是相互獨(dú)立的；第1個(gè)脈沖的起始時(shí)間與t=0時(shí)刻的時(shí)間差u是均勻分布于(0,T)的隨機(jī)變量，u與各xi相互獨(dú)立，求該隨機(jī)信號(hào)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)。2.18設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值為mX(t)，協(xié)方差函數(shù)為KX(t1,t2)，j(t)為普通函數(shù)，試求隨機(jī)過(guò)程Y(t)=X(t)+ j(t)的均值和協(xié)方差函數(shù)。2.19廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)在四個(gè)不同時(shí)刻的四維隨機(jī)變量X=X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)T的自相關(guān)矩陣為求矩陣中未知元素的值。2.20設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中w為常數(shù)，A、B為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分布函數(shù)為正態(tài)分布N(0,s2)。求X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)。2.21某平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足RX(T)= RX(0) (T0)，證明RX(t)必為以T為周期的周期函數(shù)。2.22給定隨機(jī)過(guò)程X(t)和常數(shù)a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。試以X(t)的自相關(guān)函數(shù)來(lái)表示隨機(jī)過(guò)程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。若X(t)平穩(wěn)，均值為mX，求Y(t)的均值；問(wèn)Y(t)是否平穩(wěn)？是否與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)？2.23(缺)2.24 X(t)=At，A為隨機(jī)變量，概率密度分布為N(0,1)，求X(t)的均值及自相關(guān)函數(shù)。2.25 X(t)=cos(Wt)，其中W為均勻分布于(w1,w2)的隨機(jī)變量，求X(t)的均值及自相關(guān)函數(shù)。2.26隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數(shù)，相位j為均勻分布于-p,p的隨機(jī)變量，求該隨機(jī)過(guò)程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷其平穩(wěn)性。2.27隨機(jī)過(guò)程X(t)僅由3個(gè)樣本函數(shù)組成查看教材中的原圖，而且每個(gè)樣本函數(shù)等概率發(fā)生。計(jì)算EX(2)、EX(6)、RX(2,6)、FX(x,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分別畫出它們的圖形。2.28設(shè)從t=0開始，作每秒1次的擲硬幣試驗(yàn)，如正面朝上，則X(t)在該秒內(nèi)的取值為1，如反面朝上，則X(t)在該秒內(nèi)的取值為0；求：(1)X(t)的均值函數(shù)，(2)計(jì)算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。2.29隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數(shù)，相位j為均勻分布于0,2p的隨機(jī)變量，求其時(shí)間相關(guān)函數(shù)及集合自相關(guān)函數(shù)，二者是否相等？2.30根據(jù)擲色子實(shí)驗(yàn)定義隨機(jī)過(guò)程，求X(1),X(2)的概率密度，問(wèn)X(t)是否為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2.31某隨機(jī)過(guò)程由3個(gè)不同的樣本函數(shù)組成，各樣本函數(shù)等概率出現(xiàn)。(1)求該隨機(jī)過(guò)程的均值與自相關(guān)函數(shù)，(2)該過(guò)程是否平穩(wěn)？2.32隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(wt+q)，其中角頻率w取常數(shù)，相位q為均勻分布于0,2p的隨機(jī)變量，振幅A為瑞利分布隨機(jī)變量，與q相互獨(dú)立，問(wèn)該過(guò)程是否平穩(wěn)？2.33兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t),Y(t)均不是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且，式中A(t)、B(t)是相互獨(dú)立的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，并有相同的相關(guān)函數(shù)，證明：Z(t)=X(t)+Y(t)是廣義平穩(wěn)的。2.34已知兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為，試分別求其相關(guān)時(shí)間。2.35設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中w為常數(shù)，X(t)、Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、且聯(lián)合平穩(wěn)，求：(1)Z(t)的自相關(guān)函數(shù)；(2)如，求Z(t)的自相關(guān)函數(shù)。2.36兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，均值都是0，自相關(guān)函數(shù)分別為、；試求：(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，(2)W(t)=X(t)-Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，(3)互相關(guān)函數(shù)RZW(t)。2.37設(shè)X(t)是雷達(dá)發(fā)射信號(hào)，遇到目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號(hào)為，其中，是信號(hào)返回時(shí)間，由于接收到的信號(hào)總是伴隨有噪聲N(t)，于是接收到的信號(hào)為：；(1)若X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，求二者的互相關(guān)函數(shù)；(2) 在(1)的條件下，假設(shè)N(t)為零均值，且與X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。2.38已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度函數(shù)為求X(t)的均方值。2.39平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為求其功率譜密度函數(shù)。2.40如圖所示系統(tǒng)，若X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，證明Y(t)的功率譜密度函數(shù)為2.41已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度函數(shù)為求X(t)的自相關(guān)函數(shù)。2.42設(shè)X(t)和Y(t)為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，均值分別為mX、mY，且X(t)的功率譜密度函數(shù)為GX(w)，定義Z(t)=X(t)+Y(t)，試計(jì)算GXY(w)、GXZ(w)。2.43設(shè)隨機(jī)過(guò)程Y(t)=X(t)cos(w0t+q)，其中w0為常量，X(t)為與q無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，q為均勻分布于(0,2p)的隨機(jī)變量，求Y(t)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。2.44設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=acos(Wt+q)，其中a為常量，W為與q無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量，q為均勻分布于(0,2p)的隨機(jī)變量，W的一維概率密度分布函數(shù)為偶函數(shù)，求證X(t)的功率譜密度為。2.45設(shè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的相關(guān)函數(shù)如下圖所示，求其功率譜密度函數(shù)。1RX(t)tT/2-T/22.46設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=cos(wt+q)，其中w為常量， q為隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為Fq(u)=Eejuq，證明：當(dāng)且僅當(dāng)Fq(1)= Fq(2)=0時(shí)，隨機(jī)過(guò)程X(t)廣義平穩(wěn)。2.47下列函數(shù)是否可能為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)？第三章：隨機(jī)過(guò)程的線性變換3.1設(shè)有隨機(jī)變量序列X(n)|n=1,2,3,以及隨機(jī)變量X，且有，求證：3.2設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)是平穩(wěn)且可微的，導(dǎo)數(shù)過(guò)程為。證明：對(duì)于任一給定的時(shí)刻t，隨機(jī)變量X(t)和是正交的和互不相關(guān)的。3.3設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)及隨機(jī)變量Y和Z，并且有，證明Y=Z(相當(dāng)于：若極限存在，則唯一)。3.4設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)是平穩(wěn)且可微的，導(dǎo)數(shù)過(guò)程為；設(shè)X(t)的物理功率譜密度為FX(w) (w0)，試求X(t)與的互功率譜密度以及的功率譜密度。3.5設(shè)有復(fù)隨機(jī)變量序列X(n)|n=1,2,3,以及復(fù)隨機(jī)變量Y，且有，求證：X(n)依均方收斂于隨機(jī)變量Y的充要條件是3.6設(shè)有隨機(jī)變量序列X(n)|n=1,2,3,，X(n)的相關(guān)函數(shù)為若有普通序列an|n=1,2,3,并定義,求Y(n)均方收斂的充要條件。3.7設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，已知X(t)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，功率譜密度為GX(w)，(1)證明Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，(2)求Y(t)的功率譜密度(不考慮w=0處)。3.8 (非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性) 證明：若X(t)的自相關(guān)函數(shù)在處二元連續(xù)，則X(t)在處連續(xù)。3.9對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，均方連續(xù)的充要條件是其自相關(guān)函數(shù)RX(t)在t=0處連續(xù)。3.10設(shè)X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，EX(t)=1，求隨機(jī)變量的均值及方差。3.11設(shè)X(t)的自相關(guān)函數(shù)為，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，A、B、a均為正的常數(shù)，設(shè)X(t)的均值非負(fù)，試求輸出Y(t)的均值。3.12在圖示積分電路的輸入端加入一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)，EX(t)=0，電路的初始條件為Y(0-)=0，試分析輸出過(guò)程Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性(瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài))。3.13 (1) 12題中若X(t)的相關(guān)函數(shù)為，求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)；(2)若輸入從t=-已經(jīng)開始(不限制t=0-處的初始條件)，求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。3.14如圖所示的RL電路，輸入為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為，求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)RY (t)。3.15設(shè)線性因果時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為，求輸入輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。3.16設(shè)系統(tǒng)的輸出為輸入的延遲，延遲時(shí)間為a，試用輸入隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)RX(t)來(lái)表示輸出隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)以及輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。3.17設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的X(t)的自相關(guān)函數(shù)為，試求輸入輸出隨機(jī)過(guò)程之間的互相關(guān)函數(shù)。3.18設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，理想窄帶放大器的頻率特性為()，求該放大器輸出信號(hào)的總平均功率。3.19如圖所示的RL電路，輸入X(t)是物理功率譜密度為N0的隨機(jī)過(guò)程，試用頻域法求Y(t)的自相關(guān)函數(shù)RY(t)。3.20如圖所示系統(tǒng)，輸入隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，試用頻譜法求輸出隨機(jī)過(guò)程Z(t)的均方值。3.21零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)加到一個(gè)線性濾波器，濾波器的沖激響應(yīng)是指數(shù)函數(shù)的一段，即試用GX(w)來(lái)表示輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)的功率譜密度。3.22設(shè)積分電路輸入輸出之間滿足如下關(guān)系，其中T為常數(shù)，且X(t)、Y(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，求二者功率譜密度之間的關(guān)系。3.23線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入X(t)、輸出Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為H(jw)，求證：、3.24對(duì)于圖示單輸入、多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，求證：輸出Y1(t)、Y2(t)的互功率譜密度為。X(t)H1(jw)H2(jw)Y1(t)Y2(t)3.25設(shè)具有功率譜密度函數(shù)的某平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)某線性系統(tǒng)后，輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3.26已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為：(1) ；(2) ；。分別求其等效通能帶。(注：此題應(yīng)放在第4章)3.27給定實(shí)數(shù)x，定義理想門限系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為，證明：(1) ;(2) 。 第四章：白色噪聲與正態(tài)隨機(jī)過(guò)程4.1 X1、X2、X3、X4是四元聯(lián)合高斯分布隨機(jī)變量，且，求證：。4.2 X、Y是零均值高斯隨機(jī)變量，方差分別為、，若X、Y服從聯(lián)合高斯分布，且相關(guān)系數(shù)為r，求Z=X/Y的概率密度分布函數(shù)。4.3 (接上題)證明以下關(guān)系成立：4.4設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入為平穩(wěn)高斯過(guò)程X(t)，系統(tǒng)的輸出過(guò)程為Y(t)，證明X(t)與Y(t)為聯(lián)合正態(tài)分布隨機(jī)過(guò)程。4.5設(shè)n維高斯分布隨機(jī)矢量的各個(gè)分量的均值為零，協(xié)方差矩陣為(其他未注明的元素根據(jù)對(duì)稱性確定)求X的一維與二維概率密度分布函數(shù)。4.6功率譜密度函數(shù)為N0/2的高斯白色噪聲通過(guò)一個(gè)濾波器，其傳輸函數(shù)為求輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)在任意時(shí)刻的概率密度分布函數(shù)。4.7白噪聲的均值為0，功率譜密度為非零的常數(shù)N0，求其相關(guān)函數(shù)。4.8理想白噪聲通過(guò)截止頻率為fc的理想低通濾波器(幅頻特性為常數(shù)1)，求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。4.9設(shè)X、Y是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且它們具有相同的該密度N(m,s2)；求隨機(jī)變量U=aX+bY和V=aX-bY的互相關(guān)系數(shù)以及U、V的二維聯(lián)合概率密度。4.10并聯(lián)諧振電路如圖所示，iN代表噪聲電流，它是白噪聲，其功率譜密度為N0，且為零均值，若t=0時(shí)電路開始工作，初始條件為iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t時(shí)刻電流iL和iR的統(tǒng)計(jì)特性。4.11設(shè)X、Y為聯(lián)合高斯分布的隨機(jī)變量，均值分別為mX、mY，根方差分別為sX、sY，互相關(guān)系數(shù)為r，已現(xiàn)知X=x，求Y的合理估計(jì)值。4.12一個(gè)高斯隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)為、協(xié)方差函數(shù)為，寫出t1=0,t2=1/2時(shí)刻的二維概率密度。4.13一個(gè)平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)為、自相關(guān)函數(shù)為，寫出t1=0,t2=1/2、t3=1時(shí)刻的三維概率密度。4.14設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中A、w0為常量，n(t)為零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為RN(t)，寫出Z(t)的一維、二維概率密度分布函數(shù)。4.15考慮兩個(gè)隨機(jī)變量的去相關(guān)處理。設(shè)Y1、Y2為相關(guān)的零均值隨機(jī)變量，方差分別為，互相關(guān)系數(shù)為，考察下列變換求使得變換后的變量不相關(guān)的條件。4.16圖示RC低通濾波器的輸入為白色噪聲，物理功率譜密度為FX(w)=N0(0w<)，求輸出隨機(jī)過(guò)程的物理功率譜密度及相關(guān)函數(shù)，并證明對(duì)于任意的t3>t2>t1，有4.17 (與第3章第26題重復(fù))。4.18設(shè)有二維隨機(jī)矢量X1,X2，其概率密度為在橢圓上概率密度為常數(shù)，稱該橢圓為等概率橢圓，求隨機(jī)矢量落在等概率橢圓內(nèi)的概率。4.19設(shè)n維隨機(jī)矢量X=X1,X2,Xn服從聯(lián)合高斯分布，各個(gè)分量相互獨(dú)立，且均值為0，隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣為求其N維特征函數(shù)4.20 (接上題)若各個(gè)分量的之間的協(xié)方差為設(shè)另一隨機(jī)變量Y為，求Y的特征函數(shù)4.21設(shè)3維高斯隨機(jī)矢量X=X1,X2,X3各個(gè)分量的均值為0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=s2；求(1) ，(2) ，(3) 4.22設(shè)3維高斯隨機(jī)矢量X=X1,X2,X3的概率密度為(1) 證明經(jīng)過(guò)線性變換得到的隨機(jī)矢量Y=Y1,Y2,Y3，則Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量；(2)求C的值。4.23設(shè)X1、X2是相互獨(dú)立的零均值、單位方差高斯隨機(jī)變量，定義二維隨機(jī)矢量Y證明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是聯(lián)合高斯分布的。4.24設(shè)某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 (a>0)輸入N(t)為零均值白色噪聲，功率譜密度為N0/2，輸出為X(t)；，假設(shè)輸入從-開始，求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。4.25設(shè)隨機(jī)變量X、Y是聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，且具有邊緣概率密度、，；證明：4.26設(shè)零均值高斯隨機(jī)過(guò)程X(t)的相關(guān)函數(shù)為，對(duì)其進(jìn)行量化處理，得到時(shí)間連續(xù)但取值離散的隨機(jī)過(guò)程Y(t)，即(1)求Y(t)的均值函數(shù)；(2)求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。4.27設(shè)線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程X(t)為零均值高斯隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為(a>0)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 (b>0,ba)X(t)是在t=-接入系統(tǒng)的，(1)求在t=0時(shí)輸出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T時(shí)，X(-T)=0，求條件概率(T>0)；(3) 如果在t=T時(shí)，觀察到X(T)=0，求條件概率(T>0)。4.28 設(shè)有平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程X(t)，其均值為0，功率譜密度函數(shù)為求：(1)該過(guò)程在單位時(shí)間內(nèi)取得極大值的平均次數(shù)；(2)極大值的概率密度分布；(3)該過(guò)程在單位時(shí)間內(nèi)正穿越X=a(從水平線X=a的下方向上穿過(guò))的次數(shù)。4.29設(shè)有平穩(wěn)實(shí)高斯過(guò)程X(t)，均值為0，相關(guān)函數(shù)為RX(t)，該過(guò)程依均方意義可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)過(guò)程為，求在t1,t2兩個(gè)時(shí)刻,的四維概率密度。4.30設(shè)X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過(guò)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變離散時(shí)間線性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證：，4.31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過(guò)單位脈沖響應(yīng)分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。4.32設(shè)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，輸入為自相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。4.33序列X(n)和Y(n)滿足差分方程其中a為整常數(shù)，試用X(n)的相關(guān)函數(shù)表示Y(n)的相關(guān)函數(shù)。4.34實(shí)值一階自回歸過(guò)程X(n)滿足差分方程其中a1為常數(shù)，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開始，。(1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當(dāng)n足夠大時(shí)，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)解。4.35考察如下的二階自回歸過(guò)程X(n)(1)若已知隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)值、，試寫出用于計(jì)算系數(shù)a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yule-Walker方程；(2)反過(guò)來(lái)，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、的值；(3)求相關(guān)函數(shù)的通解。4.36察如下的二階自回歸過(guò)程X(n)零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據(jù)Wold分解求X(n)的自相關(guān)函數(shù)；(3)求Yule-Walker方程4.37考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。4.38考察如下的ARMA模型其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)。第五章：窄帶隨機(jī)過(guò)程5.1證明：偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)，奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù)。5.2設(shè)一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為時(shí)，相應(yīng)的輸出為，證明：若該系統(tǒng)的輸入為的希爾伯特，則其輸出為的希爾伯特。5.3設(shè)功率譜密度為的零均值高斯白噪聲通過(guò)一個(gè)理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為，帶寬為（），濾波器輸出為，求的自相關(guān)函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關(guān)函數(shù)。5.4設(shè)與為低頻信號(hào)，即當(dāng)時(shí)，其頻譜值為0，證明5.5證明廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與其希爾伯特的相關(guān)函數(shù)存在如下關(guān)系，為奇函數(shù)5.6設(shè)的解釋信號(hào)(復(fù)信號(hào)表示)為，證明：并用的功率譜密度函數(shù)來(lái)表示的功率譜密度函數(shù)。5.7在復(fù)隨機(jī)過(guò)程中，如果其均值為復(fù)常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù)為僅與有關(guān)的復(fù)函數(shù)，則稱為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，設(shè)是個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，是個(gè)實(shí)數(shù)。試問(wèn)：以及之間應(yīng)滿足什么條件，才能使是一個(gè)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。5.8考慮窄帶高斯過(guò)程，假定其物理功率譜密度對(duì)稱于載頻，求概率密度。5.9設(shè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程為，其中、為相互獨(dú)立的零均值實(shí)隨機(jī)變量，對(duì)于任意的，、以及、相互正交，求該復(fù)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。5.10設(shè)窄帶信號(hào)的物理帶寬為()，證明其復(fù)包絡(luò)模平方的物理帶寬為()。5.11設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，證明：5.12對(duì)于調(diào)頻信號(hào)，設(shè)，即為窄帶信號(hào)，求該信號(hào)的復(fù)包絡(luò)與包絡(luò)的表示式。5.13設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，證明其自相關(guān)函數(shù)為5.14設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若滿足：證明的功率譜密度為5.15將相關(guān)函數(shù)為的窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程表示為試在(1) ，(2) 的條件下，分別求出相關(guān)函數(shù)、以及。5.16考慮隨機(jī)相位正弦波與窄帶平穩(wěn)實(shí)高斯隨機(jī)過(guò)程之和其中、為常數(shù)，為窄帶實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度的中心頻率，為上均勻分布的隨機(jī)變量，、，并假設(shè)、相互獨(dú)立；(1)對(duì)每一個(gè)固定的值，求的均值和相關(guān)函數(shù)，判斷是否為高斯過(guò)程以及平穩(wěn)過(guò)程；(2)當(dāng)為上均勻分布的隨機(jī)變量時(shí)，求的均值和相關(guān)函數(shù)，判斷是否為高斯過(guò)程以及平穩(wěn)過(guò)程。5.17考慮圖示RLC帶通濾波器，設(shè)其品質(zhì)因素，輸入是功率譜密度為的零均值高斯白噪聲，求濾波器輸出端的窄帶過(guò)程及其同相分量、正交分量的功率譜密度、，并以圖示之。5.18設(shè)為窄帶平穩(wěn)高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的包絡(luò)，試證：、其中為該窄帶隨機(jī)過(guò)程的方差。5.19設(shè)窄帶信號(hào)，其中為高斯過(guò)程，為上均勻分布隨機(jī)變量，且證明的包絡(luò)平方的相關(guān)函數(shù)為5.20變量為卡方分布變量的的平方根，證明n個(gè)自由度的變量的概率密度為5.21證明n個(gè)自由度的卡方分布變量的m階原點(diǎn)矩為第六章：隨機(jī)過(guò)程的非線性變換6.1給定實(shí)數(shù)和一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為試證：(1) ；(2) 6.2設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程，其概率密度函數(shù)為在檢波器后聯(lián)接一個(gè)理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過(guò)程的一維概率密度和均值；當(dāng)時(shí)結(jié)果有何變化。6.3設(shè)對(duì)稱限幅器的特性為(1)已知輸入隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度，求輸出隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度。(2)當(dāng)輸入隨機(jī)過(guò)程為零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程、自相關(guān)函數(shù)為時(shí)，求輸出過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。6.4設(shè)有理想限幅器假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。6.5設(shè)有零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為，它的一維概率分布函數(shù)為，定義一個(gè)無(wú)記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關(guān)函數(shù)為6.6平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，求檢波器輸出過(guò)程的一維概率密度、均值及相關(guān)函數(shù)。6.7全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過(guò)程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過(guò)程的相關(guān)函數(shù)及方差。6.8半波線性檢波器的傳輸特性為在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過(guò)程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過(guò)程的相關(guān)函數(shù)及方差。6.9圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。6.10設(shè)隨機(jī)變量和是零均值、方差為的聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為和，且，證明：6.11設(shè)功率譜密度為的白噪聲通過(guò)一個(gè)物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個(gè)傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。6.12設(shè)為均值為、相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯過(guò)程，將其加入到模型為的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。6.13平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機(jī)信號(hào)，其中包絡(luò)服從瑞利分布求檢波器輸出過(guò)程的一維概率密度、均值和方差。6.14同步檢波器如下圖所示，設(shè)為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其相關(guān)函數(shù)為求檢波器輸出端的相關(guān)函數(shù)及平均功率。6.15設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號(hào)，為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。第七章：馬爾可夫過(guò)程7.1設(shè)由獨(dú)立隨機(jī)序列構(gòu)成一個(gè)新的序列，且定義為試證明隨機(jī)序列為馬爾可夫序列。7.2設(shè)為馬爾可夫過(guò)程，又設(shè)，試證明即一個(gè)馬爾可夫過(guò)程的反向也具有馬爾可夫性。7.3試證明對(duì)于任何一個(gè)馬爾可夫過(guò)程，如果“現(xiàn)在”的值為已知，則該過(guò)程的“過(guò)去”和“將來(lái)”是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即如果，其中代表“現(xiàn)在”，、代表“過(guò)去”和“將來(lái)”，若為已知，試證明7.4設(shè)齊次馬爾可夫鏈有四個(gè)狀態(tài)、，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為(1)如果該鏈在第n時(shí)刻處于狀態(tài)，求在n+2時(shí)刻處于狀態(tài)的概率；(2) 如果該鏈在第n時(shí)刻處于狀態(tài)，求在n+3時(shí)刻處于狀態(tài)的概率。7.5為馬爾可夫過(guò)程，又設(shè)，試證明7.6一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿標(biāo)有整數(shù)的直線移動(dòng)，經(jīng)過(guò)一步從點(diǎn)移動(dòng)到的概率為，停止在點(diǎn)的概率為，移動(dòng)到的概率為，且。(1)求該馬爾可夫過(guò)程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；(2)若該質(zhì)點(diǎn)在n時(shí)刻位于點(diǎn)，求該質(zhì)點(diǎn)在n+2時(shí)刻位于各點(diǎn)的概率。 7.7若質(zhì)點(diǎn)M在(0,1,2)三個(gè)位置隨機(jī)徘徊，每經(jīng)一單位時(shí)間按下列概率規(guī)則改變一次位置：自0出發(fā)，下一步停留在0的概率為q，來(lái)到1的概率為p；自1出發(fā)到達(dá)0,2的概率分別為p和q；自2出發(fā)停留在2及到達(dá)1的概率分別為p和q。該馬爾可夫過(guò)程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。7.8若質(zhì)點(diǎn)M在圖示的反射壁間四個(gè)位置上隨機(jī)游動(dòng)，在處向右移動(dòng)一步的概率為1；在處向左移動(dòng)一步的概率為1；在、處向左或向右移動(dòng)一步的概率為1/4、停留的概率為1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質(zhì)點(diǎn)處于各狀態(tài)的概率。7.9設(shè)為相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量構(gòu)成的序列，各自的概率密度分布函數(shù)分別為，定義另外一個(gè)隨機(jī)變量序列如下試證明：(1) 序列具有馬爾可夫性(2) 7.10設(shè)齊次馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移矩陣為，請(qǐng)應(yīng)用該過(guò)程的遍歷性證明：7.11從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)中等可能地取一個(gè)數(shù)，然后還原，不斷獨(dú)立地連續(xù)下去，如果在前n次中所取的最大數(shù)為，就說(shuō)質(zhì)點(diǎn)在第n步時(shí)的位置處于狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成馬爾可夫鏈，試寫出其轉(zhuǎn)移概率矩陣。7.12設(shè)有隨機(jī)過(guò)程X(n)，n=1,2,3,；它的狀態(tài)空間I：x,0<x<1是連續(xù)的，時(shí)間參數(shù)是離散的； X(1),X(2),X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求邊際概率密度分布、及條件概率密度；(2)求轉(zhuǎn)移或條件概率密度函數(shù) ，并問(wèn)該過(guò)程是否為馬爾可夫過(guò)程。7.13設(shè)經(jīng)過(guò)RC濾波器后的高斯白噪聲為，其相關(guān)函數(shù)，規(guī)定 ，、，式中。試證：7.14考察下列隨機(jī)過(guò)程，確定是否為獨(dú)立增量過(guò)程，如果是，求其均值與方差。(1)隨機(jī)地投擲一枚硬幣，第次投擲的結(jié)果用隨機(jī)變量描述：由此確定的累積記數(shù)過(guò)程為。(2) ，隨機(jī)地投擲一枚硬幣，第次投擲的結(jié)果用隨機(jī)變量描述：7.15設(shè)有一參數(shù)離散、狀態(tài)連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程X(n)，n=1,2,3,；它的狀態(tài)空間I：x, x>0 X(1),X(2),X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求邊際概率密度分布、；(2)求邊際概率密度 ；(3)求轉(zhuǎn)移概率密度，并問(wèn)該過(guò)程是否為馬爾可夫過(guò)程。7.16三個(gè)黑球與三個(gè)白球，將這6個(gè)球任意等分兩個(gè)袋中，并將甲袋中的白球數(shù)定義為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0，1，2，3；現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經(jīng)過(guò)n次交換，過(guò)程的狀態(tài)為X(n)，n=1,2,3，；(1)該過(guò)程是否為馬爾可夫鏈；(2)計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；(3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布；(4)若X(0)=0，求經(jīng)過(guò)三次交換后甲袋中有三個(gè)白球的概率。7.17設(shè)X(n)是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：0,1,2，初始狀態(tài)概率分布為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為(1)計(jì)算概率；(2)計(jì)算7.18設(shè)有馬爾可夫鏈，它的狀態(tài)空間為I：0，1，2，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為(1)試求，并證明；(2)求，。7.19設(shè)X(n)是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：0,1，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為證明：7.20天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題。假設(shè)今日是否下雨依賴于前3天是否有雨，請(qǐng)將這一問(wèn)題歸結(jié)為馬爾可夫鏈。如果過(guò)去一連3天有雨，今天有雨的概率為0.8，連續(xù)3天為晴，今天有雨的概率為0.2；在其他天氣情況下，今日的天氣與昨日相同的概率為0.6，求這個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。7.21設(shè)為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移矩陣為(1)求(2)求7.22設(shè)為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為，求其閉集。7.23確定下列馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，哪些屬于常返的，哪些屬于非常返的。其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為。(1) ；(2) ；(4) ；(5) 7.24設(shè)為具有比率為的泊松記數(shù)過(guò)程，其相應(yīng)的概率分布為試求該過(guò)程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。7.25設(shè)為具有比率為的泊松記數(shù)過(guò)程，以如下方式產(chǎn)生一個(gè)新的隨機(jī)過(guò)程，在過(guò)程中，每發(fā)生一事件，就變化一隨機(jī)數(shù)量，對(duì)應(yīng)第n次事件的隨機(jī)變量為，并且對(duì)應(yīng)不同的事件，這些變化之間以及與間是相互獨(dú)立的，這樣假設(shè)每個(gè)隨機(jī)變量具有相同的概率密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的均值、均方值分別為、，試求該過(guò)程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。7.26設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的、比率分別為和的泊松過(guò)程(1)證明是比率為的泊松過(guò)程；(2)證明不是泊松過(guò)程7.27設(shè)在時(shí)間t內(nèi)向電話總機(jī)呼喚k次的概率為，其中為常數(shù)，在任意相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼喚次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在2t時(shí)間內(nèi)呼喚n次的概率。7.28設(shè)、是相互獨(dú)立、分別服從參數(shù)為、的泊松分布隨機(jī)變量，證明隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布。7.29電子管中的電子發(fā)射問(wèn)題。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)陽(yáng)極的電子數(shù)目N服從泊松分布，即，每個(gè)電子攜帶的能量構(gòu)成隨機(jī)序列、；已知各間相互獨(dú)立且與N相互獨(dú)立，、；，求均值與方差。7.30給定一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的任意兩個(gè)時(shí)刻和，若對(duì)于任意時(shí)刻，與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，試證明為馬爾可夫過(guò)程。7.31多級(jí)單調(diào)諧電流放大器的頻率響應(yīng)特性為其輸入端接入電流，為電子的電荷，已知泊松脈沖序列 的相關(guān)函數(shù)為，如果中頻放大器輸出電流的均值和方差都可以測(cè)出，求輸入脈沖列每秒的平均個(gè)數(shù)。7.32已知為泊松過(guò)程，如果，且和為非負(fù)整數(shù)，證明：7.33一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列3個(gè)點(diǎn)(0,1,2)將圓周分成3格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針前進(jìn)一格的概率為，逆時(shí)針退一格的概率為。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)n次游動(dòng)后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，(2)極限概率分布。7.34一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列5個(gè)點(diǎn)(0,1,2,3,4)將圓周分成5格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針前進(jìn)一格的概率為，逆時(shí)針退一格的概率為。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)n次游動(dòng)后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，(2)極限概率分布。