概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)旦大學(xué)出版社第三章課后答案.doc
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題三 答案1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為:0,1,2,3;的可能取值為:0,1.和的聯(lián)合分布律如下表:XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為:0,1,2,3;的可能取值為:0,1,2.X和Y的聯(lián)合分布律如下表:XY012300010203.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求二維隨機(jī)變量在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說(shuō)明:也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量的分布密度求:(1) 常數(shù);(2) 隨機(jī)變量的分布函數(shù);(3) P0X<1,0Y<2.【解】(1) 由得 =12(2) 由定義,有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為(1) 確定常數(shù);(2) 求PX1,Y3;(3) 求PX<1.5;(4) 求PX+Y4.【解】(1) 由性質(zhì)有故 (2) (3) (4) 題5圖6.設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,在(0,0.2)上服從均勻分布,的密度函數(shù)為求:(1) 與的聯(lián)合分布密度;(2) .題6圖【解】(1) 因在(0,0.2)上服從均勻分布,所以的概率密度函數(shù)為而所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求(X,Y)的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1) 試確定常數(shù);(2) 求邊緣概率密度.【解】(1) 得.(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求條件概率密度,. 題11圖【解】所以 12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1,2,3,4,5,從中任取三個(gè),記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為,最大的號(hào)碼為.(1) 求與的聯(lián)合概率分布;(2) 與是否相互獨(dú)立?【解】(1) 的可能取值為:1,2,3;的可能取值為3,4,5.與的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表:YX345120300 (2) 因故與不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03(1)求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布;(2) X與Y是否相互獨(dú)立?【解】(1)X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故與不獨(dú)立.14.設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,在(0,1)上服從均勻分布,的概率密度為(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度;(2) 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.【解】(1) 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是即 ,從而方程有實(shí)根的概率為: 15.設(shè)和分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命(以小時(shí)計(jì)),并設(shè)和相互獨(dú)立,且服從同一分布,其概率密度為f(x)=求的概率密度.【解】因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立,所以與的聯(lián)合概率密度為如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z0時(shí),(2) 當(dāng)0<z<1時(shí),(這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=)(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z1時(shí),(這時(shí)當(dāng)y=103時(shí),x=103z)(如圖b) 即 故 16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從N(160,202)分布.隨機(jī)地選取4 只,求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)取到的四只電子元件壽命為(i=1,2,3,4),則,從而 17.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布律分別為證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為,i=0,1,2,.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù),所以 于是 18.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n,p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一:X+Y可能取值為0,1,2,2n. 方法二:參見(jiàn)第四章。19.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2,PY=3X=0;(2) 求V=max(X,Y)的分布律;(3) 求U=min(X,Y)的分布律;(4) 求W=X+Y的分布律.【解】(1) (2) 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過(guò)程,有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)(X,Y)在屏幕上服從均勻分布.(1) 求PY0YX;(2) 設(shè)M=maxX,Y,求PM0.題20圖【解】因(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1) (2) 21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0,x=1,x=e2所圍成,二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布,求(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少?題21圖【解】區(qū)域D的面積為 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立,故,從而即: 又即從而同理 又,故.同理從而故YX123.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為(>0)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p(0<p<1),且中途下車與否相互獨(dú)立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下,中途有m人下車的概率;(2)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布.【解】(1) 的可能取值為:0,1,2,3,.,n,且 (2) 24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立,其中X的概率分布為X,而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立,可見(jiàn) 由此,得U的概率密度為 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布,求PmaxX,Y1.解:因?yàn)殡S即變量服從0,3上的均勻分布,于是有 因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立,所以于是 .26. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求 ; (II) 求Z+的概率密度. 【詳解】 (I) .( II) 解法一:先求Z的分布函數(shù): 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .故Z+的概率密度為=解法二:,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),;故Z+的概率密度為27.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,的概率分布為,的概率密度為記.(1)求;(2)求的概率密度.解 (1)注意到與相互獨(dú)立,于是(2)先求的分布函數(shù)。由于,構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分,且,因此根據(jù)全概率公式得的分布函數(shù)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù),可得的概率密度28.袋中有1個(gè)紅球、2個(gè)黑球、3個(gè)白球,現(xiàn)有放回地取球兩次,每次取一個(gè)球,以分別表示兩次取球得到的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。(1)求;(2)求二維隨機(jī)變量的概率分布。解 (1)由條件概率得也可以有 或用縮減樣本空間法:,表示兩次取球都沒(méi)有取到白球,即只在紅球、黑球中做選擇,因此,樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為3*3=9,(2)與的可能取值均為:0,1,2. 且,同理可以求得聯(lián)合分布律中的其它概率值。的聯(lián)合分布律如下表: 01201229.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度。 解 由概率密度函數(shù)的規(guī)范性有得常數(shù) ,即 的邊緣概率密度為 所求條件概率密度為(提示:本題充分利用概率積分來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算)30.設(shè)隨機(jī)變量與的概率分布分別如下表所示。01-101且.(1)求二維隨機(jī)變量的概率分布;(2)求的概率分布。解 由 得 ,即 進(jìn)而 再根據(jù)聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布的關(guān)系,可得的概率分布如下表: -101000101(2)的可能取值為:-1,0,1。由得概率分布可得的概率分布-10131.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為, 令隨機(jī)變量(1)求的分布函數(shù);(2)求概率.解 (1)的分布函數(shù) 當(dāng) 時(shí),;當(dāng) 時(shí),;當(dāng) 時(shí),故的分布函數(shù)為 (2)