2015年高考數(shù)學（文科）真題分類匯編N單元選修4系列

數(shù) 學N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15N12015·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖1­1，AB為圓O的直徑，E為AB延長線上一點，過E作圓O的切線，切點為C，過A作直線EC的垂線，垂足為D.若AB4，CE2，則AD_.圖1­1153解析 連接OC，則OCDE，OCAD，.由切割線定理得CE2BE·AE，BE(BE4)12，解得BE2，AD3.22N12015·全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­7，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E.(1)若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；(2)若OACE，求ACB的大小圖1­722解：(1)證明：連接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.連接OE，則OBEOEB.又ACBABC90°，所以DECOEB90°，故OED90°，即DE是O的切線(2)設CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CE·BE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60°.22N12015·全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­9，O是等腰三角形ABC內一點，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2，求四邊形EBCF的面積圖1­922解：(1)證明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因為O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF.從而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線又EF為O的弦，所以O在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG等于O的半徑得AO2OE，所以OAE30°，因此ABC和AEF都是等邊三角形因為AE2，所以AO4，OE2.因為OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四邊形EBCF的面積為×2××(2)2×.22N12015·陜西卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­7，AB切O于點B，直線AO交O于D，E兩點，BCDE，垂足為C.(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直徑圖1­722解：(1)證明：因為DE為O的直徑，所以BEDEDB90°.又BCDE，所以CBDEDB90°，從而CBDBED.又AB切O于點B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，則3.又BC，從而AB3，所以AC4，所以AD3.由切割線定理得AB2AD·AE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直徑為3.6N12015·天津卷 如圖1­2，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經過點M，N，若CM2，MD4，CN3，則線段NE的長為()圖1­2A. B3C. D.6A解析 根據(jù)相交弦定理知，CM·MDAM·MB，CN·NEAN·NB.又因為M，N 是弦AB 的三等分點，所以CM·MDCN·NE，即2×43×NE，所以NE.N2 選修4-2 矩陣N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程23N32015·全國卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積23解：(1)因為xcos ，ysin ，所以C1的極坐標方程為cos 2，C2的極坐標方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2，故12，即|MN|.由于圓C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.23N32015·全國卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0<，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|最大值23解：(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和，.(2)曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0<.因此A的極坐標為(2sin ，)，B的極坐標為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4sin.當時，|AB|取得最大值，最大值為4.12N32015·湖南卷 在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若曲線C的極坐標方程為2sin ，則曲線C的直角坐標方程為_12x2y22y0解析 將曲線C的極坐標方程2sin 兩邊同乘一個，得22sin ，即x2y22y，故曲線C的直角坐標方程為x2y22y0.23N32015·陜西卷 選修4­4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標方程；(2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標23解：(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設P3t，t，又C(0，)，則|PC|，故當t0時，|PC|取得最小值，此時，P點的直角坐標為(3，0)14N32015·廣東卷 (坐標系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線C1的極坐標方程為(cos sin )2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為_14(2，4)解析 曲線C1的直角坐標方程為xy2，曲線C2的普通方程為y28x，由得所以C1與C2交點的直角坐標為(2，4)N4 選修4-5 不等式選講24N42015·全國卷 選修4­5：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍24解：(1)當a1時，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當x1時，不等式化為x4>0，無解；當1<x<1時，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當x1時，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設得(a1)2>6，故a>2，所以a的取值范圍為(2，)24N42015·全國卷 選修4­5：不等式選講設a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd.證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件24證明：(1)因為()2ab2，()2cd2，由題設abcd，ab>cd得()2>()2.因此>.(2)(i)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因為abcd，所以ab>cd.由(1)得>.(ii)若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因為abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件24N42015·陜西卷 選修4­5：不等式選講已知關于x的不等式|xa|<b的解集為x|2<x<4(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求的最大值24解：(1)由|xa|<b，得ba<x<ba，則解得(2) ×24，當且僅當，即t1時等號成立，故( )max4.N4 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計