數學理高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題五 第3講 圓錐曲線中的熱點問題 Word版含解析

A級基礎通關一、選擇題1(2017·全國卷改編)橢圓C：1的焦點在x軸上，點A，B是長軸的兩端點，若曲線C上存在點M滿足AMB120°，則實數m的取值范圍是()A(3，)B1，3)C(0，)D(0，1解析：依題意，當0m3時，焦點在x軸上，要在曲線C上存在點M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得0m1.答案：D2(2018·全國卷)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上一點，若PF1PF2，且PF2F160°，則C的離心率為()A1 B2 C.D.1解析：在F1PF2中，PF1PF2，PF2F160°.由|F1F2|2c，得|PF2|c，|PF1|c.由橢圓定義知|PF1|PF2|2a，即(1)c2a.故橢圓的離心率e1.答案：D3若點P為拋物線y2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A2 B. C. D.解析：根據題意，拋物線y2x2上，設P到準線的距離為d，則有|PF|d，拋物線的方程為y2x2，即x2y，其準線方程為y，所以當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min.答案：D4(2019·天津卷)已知拋物線y24x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.解析：由已知易得，拋物線y24x的焦點為F(1，0)，準線l：x1，所以|OF|1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y±x，不妨設點A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又因為c2a2b2，所以c25a2，所以e.答案：D5(2019·安徽六安一中模擬)點P在橢圓C1：1上，C1的右焦點為F2，點Q在圓C2：x2y26x8y210上，則|PQ|PF2|的最小值為()A44 B44 C62 D26解析：設橢圓的左焦點為F1(1，0)則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求|PQ|PF2|的最小值即求|PQ|PF1|的最小值又圓C2的半徑r2，圓心C2(3，4)，所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r222.故|PQ|PF2|的最小值為26.答案：D二、填空題6(2019·廣東六校聯考)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點為F1、F2，在雙曲線上存在點P滿足2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析：由于O是F1F2的中點，得()因為雙曲線上的存在點P滿足2|，則4|2c.由于|a，知4a2c，所以e2.答案：2，)7已知拋物線y24x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作x軸，y軸垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_解析：不妨設A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)則|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24，所以|AC|BD|(y20)設g(x)，g(x)，令g(x)0，得x2，令g(x)0，得2x0.所以g(x)在(，2)上遞減，在(2，0)上遞增所以當x2，即y22時，|AC|BD|取最小值為3.答案：38(2019·浙江卷)已知橢圓1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_解析：如圖，左焦點F(2，0)，右焦點F(2，0)線段PF的中點M在以O(0，0)為圓心，2為半徑的圓上，因此OM2.在FFP中，OMPF，所以PF4.根據橢圓的定義，得PFPF6，所以PF2.又因為FF4，所以在RtMFF中，tan PFF，故直線PF的斜率是.答案：三、解答題9已知曲線C：y24x，曲線M：(x1)2y24(x1)，直線l與曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點(1)若·4，求證：直線l恒過定點；(2)若直線l與曲線M相切，求·(點P坐標為(1，0)的最大值(1)證明：設l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y24my4n0.所以y1y24m，y1y24n.所以x1x24m22n，x1x2n2.由·4，得x1x2y1y2n24n4，解得n2.所以直線l方程為xmy2，所以直線l恒過定點(2，0)(2)解：因為直線l與曲線M：(x1)2y24(x1)相切，所以2，且n3，整理得4m2n22n3(n3)又點P坐標為(1，0)，所以由已知及，得·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又y44n(n3)是減函數，所以當n3時，y44n取得最大值8.故·的最大值為8.10(2019·惠州調研)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設過點A(0，4)的直線l與橢圓C交于M、N兩點，F是橢圓C的上焦點問：是否存在直線l，使得SMAFSMNF？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)由題意知，b，且a2b2c2，解之得a24，b23.所以橢圓C的方程為1.(2)存在理由如下：由題意可知l的斜率一定存在，設l為ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立(3k24)x224kx360，所以由SMAFSMNF，知M為線段AN的中點，所以x22x1，將代入得x1；代入得x.從而可得k2，且滿足式，所以k±.因此存在直線l為6xy40或6xy40滿足題意B級能力提升11(2019·華南師大檢測)已知橢圓D的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，且長軸長是短軸長的倍(1)求橢圓D的標準方程；(2)設P(2，0)，過橢圓D左焦點F的直線l交D于A、B兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式·(R)恒成立，求的最小值解：(1)依題意，c1，ab，又a2b2c2，得2b2b21，所以b21，a22.所以橢圓D的標準方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)y1y2，當直線l垂直于x軸時，x1x21，y1y2且y，此時(3，y1)，(3，y2)(3，y1)，所以·(3)2y.當直線l不垂直于x軸時，設直線l：yk(x1)，由整理得(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2，所以·x1x22(x1x2)4k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(k22)(x1x2)4k2(1k2)(k22)·4k2.要使不等式·(R)恒成立，只需(·)max，故的最小值為.12設橢圓M：1(ab0)的左、右焦點分別為A(1，0)，B(1，0)，C為橢圓M上的點，且ACB，SABC.(1)求橢圓M的標準方程；(2)設過橢圓M右焦點且斜率為k的動直線與橢圓M相交于E，F兩點，探究在x軸上是否存在定點D，使得·為定值？若存在，試求出定值和點D的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)在ABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CA·CB·cos C(CACB)23CA·CB4.又SABCCA·CB·sin CCA·CB，所以CA·CB，代入上式得CACB2，所以橢圓長軸2a2，焦距2cAB2，所以b1.所以橢圓M的標準方程為y21.(2)設直線方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，聯立消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以x1x2，x1x2.假設x軸上存在定點D(x0，0)使得·為定值所以·(x1x0，y1)·(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2要使·為定值，則·的值與k無關，所以2x4x012(x2)，解得x0，此時·為定值，定點為.