高中數(shù)學(xué)必修2教案8_示范教案（4_3_2空間兩點(diǎn)間的距離公式）

4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是學(xué)生已學(xué)的知識(shí),不難把平面上的知識(shí)推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;從平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓,推廣到空間直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面.學(xué)生是不難接受的,這不僅不增加學(xué)生負(fù)擔(dān),還會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.三維目標(biāo)1.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,會(huì)用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決問(wèn)題.2.通過(guò)探究空間兩點(diǎn)間的距離公式,靈活運(yùn)用公式,初步意識(shí)到將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解決問(wèn)題的基本思想方法,培養(yǎng)類比、遷移和化歸的能力.3.通過(guò)棱與坐標(biāo)軸平行的特殊長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)的坐標(biāo),類比平面中兩點(diǎn)之間的距離的求法,探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式,充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)積極參與、大膽探索的精神.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式.教學(xué)難點(diǎn):一般情況下,空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo).課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.距離是幾何中的基本度量,幾何問(wèn)題和一些實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常涉及距離,如飛機(jī)和輪船的航線的設(shè)計(jì),它雖不是直線距離,但也涉及兩點(diǎn)之間的距離,一些建筑設(shè)計(jì)也要計(jì)算空間兩點(diǎn)之間的距離,那么如何計(jì)算空間兩點(diǎn)之間的距離呢?這就是我們本堂課的主要內(nèi)容.思路2.我們知道,數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差的絕對(duì)值,即d=|x1-x2|；平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離是d=.同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是什么？它是如何推導(dǎo)的？設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),它到原點(diǎn)的距離是多少？應(yīng)怎樣計(jì)算？給你一塊磚,你如何量出它的對(duì)角線長(zhǎng),說(shuō)明你的依據(jù).同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,你猜想空間兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算？平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示什么圖形？在空間中方程x2+y2+z2=r2表示什么圖形？試根據(jù)推導(dǎo)兩點(diǎn)之間的距離公式.活動(dòng)：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問(wèn),學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點(diǎn)撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問(wèn)題的思路,要全面考慮,大膽猜想,發(fā)散思維.學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí),回想當(dāng)時(shí)的推導(dǎo)過(guò)程；解決這一問(wèn)題,可以采取轉(zhuǎn)化的方法,轉(zhuǎn)化成我們學(xué)習(xí)的立體幾何知識(shí)來(lái)解；首先考慮問(wèn)題的實(shí)際意義,直接度量,顯然是不可以的,我們可以轉(zhuǎn)化為立體幾何的方法,也就是求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).回顧平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式,可類比猜想相應(yīng)的公式；學(xué)生回憶剛剛學(xué)過(guò)的知識(shí),大膽類比和猜想;利用的道理,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系和立體幾何知識(shí),進(jìn)行推導(dǎo).討論結(jié)果：平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理來(lái)推導(dǎo)的.圖1如圖1,設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),過(guò)A作ABxOy平面,垂足為B,過(guò)B分別作BDx軸,BEy軸,垂足分別為D,E.根據(jù)坐標(biāo)的含義知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原點(diǎn)的距離是d=.利用求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的方法,分別量出這塊磚的三條棱長(zhǎng),然后根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于三條邊長(zhǎng)的平方的和來(lái)算.由于平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,是同名坐標(biāo)的差的平方的和再開(kāi)方,所以我們猜想,空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,即在原來(lái)的基礎(chǔ)上,加上縱坐標(biāo)差的平方.平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓;在空間x2+y2+z2=r2表示以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面;后者正是前者的推廣.圖2如圖2,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),我們來(lái)計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離.我們分別過(guò)P1P2作xOy平面的垂線,垂足是M,N,則M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=.再過(guò)點(diǎn)P1作P1HP2N,垂足為H,則|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在RtP1HP2中,|P1H|=|MN|=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2|=.因此空間中點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|=.于是空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=.它是同名坐標(biāo)的差的平方的和的算術(shù)平方根.應(yīng)用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；(2)到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件.活動(dòng)：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,已知的兩點(diǎn)A、B都是空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),我們直接利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.知識(shí)本身不難,但是我們計(jì)算的時(shí)候必須認(rèn)真,決不能因?yàn)榇中膶?dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.解:(1)設(shè)M(x,y,z)是線段AB的中點(diǎn),則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=2,y=,z=3.所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得d(A,B)=,所以AB的長(zhǎng)度為.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y,z)到A,B的距離相等,所以有下面等式：.化簡(jiǎn)得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是4x+6y-8z+7=0.點(diǎn)評(píng):通過(guò)本題我們可以得出以下兩點(diǎn)：空間兩點(diǎn)連成的線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式是平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的推廣,而平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式又可看成空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的特例.到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面.變式訓(xùn)練 在z軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等.解:設(shè)M(0,0,z),由題意得|MA|=|MB|,整理并化簡(jiǎn),得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的ABC是一等腰三角形.活動(dòng)：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,證明ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長(zhǎng),根據(jù)邊長(zhǎng)來(lái)確定.證明：由兩點(diǎn)間距離公式得：|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以ABC是一等腰三角形.點(diǎn)評(píng):判斷三角形的形狀一般是根據(jù)邊長(zhǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,因此解決問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式求出邊長(zhǎng).變式訓(xùn)練 三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明ABC是一直角三角形.活動(dòng)：學(xué)生先思考或交流,然后解答,教師及時(shí)提示引導(dǎo),要判定ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長(zhǎng),利用勾股定理的逆定理來(lái)判定.解:因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以|AB|=3,|BC|=,|CA|=3.又因?yàn)閨AB|2+|CA|2=|BC|2,所以ABC是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的最小值為( )A.0 B. C. D.活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,思考解決問(wèn)題的方法,教師提示,要求|AB|的最小值,首先我們需要根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|,然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=.當(dāng)x=時(shí),|AB|的最小值為.故正確選項(xiàng)為B.答案：B點(diǎn)評(píng):利用空間兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.拓展提升已知三棱錐PABC(如圖4),PA平面ABC,在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),畫(huà)出這個(gè)空間直角坐標(biāo)系并求出直線AB與x軸所成的較小的角.圖3解:根據(jù)已知條件,畫(huà)空間直角坐標(biāo)系如圖3：以射線AC為y軸正方向,射線AP為z軸正方向,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,過(guò)點(diǎn)B作BEOx,垂足為E,B(m,m,0),E(m,0,0).在RtAEB中,AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m,tanBAE=.BAE=30°,即直線AB與x軸所成的較小的角為30°.課堂小結(jié)1.空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)與理解.2.空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用.3.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,綜合利用兩點(diǎn)間的距離公式.作業(yè)習(xí)題4.3 A組3,B組1、2、3.設(shè)計(jì)感想 本節(jié)課從平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式入手,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,不難把平面上的知識(shí)推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,在例題中,設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.在問(wèn)題的設(shè)計(jì)中,用一題多解的探究,縱向挖掘知識(shí)深度,橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過(guò)適當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)情境,調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本節(jié)課以問(wèn)題為紐帶,以探究活動(dòng)為載體,使學(xué)生在問(wèn)題的指引下、教師的指導(dǎo)下把探究活動(dòng)層層展開(kāi)、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想.把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強(qiáng)了信心.