【加練半小時】高考數(shù)學江蘇專用理科專題復習：專題7 不等式 第45練 Word版含解析

訓練目標 (1)熟練掌握基本不等式及應用方法；(2)會用基本不等式解決最值問題；(3)能將基本不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等知識結合，解決綜合問題． 訓練題型 (1)比較兩數(shù)(式)的大小；(2)求最大(小)值；(3)求代數(shù)式、函數(shù)式值域；(4)求參數(shù)范圍；(5)與其他知識交匯綜合應用． 解題策略 (1)直接利用基本不等式(注意應用條件)；(2)將已知條件變形，以“和”或“積”為定值為目標，構造基本不等式“模型”(注意積累變形技巧，總結變形突破點). 1．(2016·泰州模擬)定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 2．若正實數(shù)x，y滿足x＋y＋＋＝5，則x＋y的最大值是________． 3．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________． 4．(2016·長春調研)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 5．函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的最小值為________． 6．(2016·鹽城模擬)已知關于x的一元二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集為{x|x≠－}，則(其中a＞b)的最小值為________． 7．(2016·深圳模擬)已知正實數(shù)a，b滿足＋＝3，則(a＋1)(b＋2)的最小值是________________． 8．若a＞b＞0，則a2＋的最小值為________． 9．已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an使得＝4a1，則＋的最小值為________． 10．(2016·蘇州模擬)若直線ax＋by－1＝0(a＞0，b＞0)過曲線y＝1＋sinπx(0＜x＜2)的對稱中心，則＋的最小值為__________． 11．(2016·蘇州、無錫、常州三模)已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)＝x＋(x＞1)的最小值為3，則a的值為______． 12．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則PA·PB的最大值是________． 13．(2016·鄭州第一次質量預測)已知a，b是兩個互相垂直的單位向量，且a·c＝b·c＝1，則對任意的正實數(shù)t，|c＋ta＋b|的最小值是________． 14．(2016·南京鹽城聯(lián)考)已知正實數(shù)x，y滿足等式x＋y＋8＝xy，若對任意滿足條件的x，y，不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______________． 答案精析 1.　2.4　3.4　4.(－4,2) 5．1＋2 解析　∵x＜0， ∴y＝1－2x－ ＝1＋(－2x)＋(－) ≥1＋2 ＝1＋2，當且僅當x＝－時取等號， 故y的最小值為1＋2. 6．6 解析　由不等式ax2＋2x＋b＞0的解集為{x|x≠－}可得 即ab＝1，a＞0， 所以＝ ＝a－b＋≥6， 當且僅當a－b＝3時等號成立． 7. 解析?。??2a＋b＝3ab?3ab＝2a＋b≥2?ab≥，因此(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝4ab＋2≥4×＋2＝，當且僅當2a＝b＝時，等號成立． 8．4 解析　原式＝(a－b)＋b]2＋ ≥2]2＋ ＝4(a－b)b＋ ≥2＝4 (當且僅當a＝，b＝時取等號)． 9. 解析　∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5， 又∵{an}是正項等比數(shù)列， ∴a5≠0，且q＞0， ∴q2－q－2＝0， ∴q＝2或q＝－1(舍去)． 又＝4a1， ∴am·an＝16a，aqm＋n－2＝16a， 又a≠0，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6， ＋＝(＋)(m＋n) ＝(5＋＋) ≥(5＋2)＝. 當且僅當＝，即m＝2，n＝4時取等號． 10．3＋2 解析　畫出y＝1＋sinπx(0＜x＜2)的圖象(圖略)， 知此曲線的對稱中心為(1,1)， 則直線ax＋by－1＝0過點(1,1)， 所以a＋b＝1， 又a＞0，b＞0， 所以＋＝(＋)(a＋b) ＝1＋＋＋2≥3＋2， 當且僅當＝時取等號． 即(＋)min＝3＋2. 11．1 解析　∵x＞1，∴x－1＞0，又a＞0， ∴f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1，∴2＋1＝3，∴a＝1， 此時，x－1＝，即x＝2. 12．5 解析　∵直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0分別過定點A，B， ∴A(0,0)，B(1,3)． 當點P與點A(或B)重合時，PA·PB為零； 當點P與點A，B均不重合時，∵P為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點，且易知此兩直線垂直， ∴△APB為直角三角形， ∴AP2＋BP2＝AB2＝10， ∴PA·PB≤＝＝5，當且僅當PA＝PB時，上式等號成立． 13．2 解析　∵a，b是互相垂直的單位向量， 設a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)． 由a·c＝b·c＝1，得x＝y(tǒng)＝1， 即c＝(1,1)， ∴c＋ta＋b＝(1,1)＋(t,0)＋(0，) ＝(1＋t,1＋)， ∴|c＋ta＋b| ＝)2 ＝， ∵t＞0，∴t＋≥2，t2＋≥2， 當且僅當t＝1時取等號， ∴|c＋ta＋b|≥＝2， 故|c＋ta＋b|的最小值為2. 14．(－∞，] 解析　因為x＋y＋8＝xy≤()2， 即4(x＋y)＋32≤(x＋y)2， 解得x＋y≥8或x＋y≤－4(舍去)． 不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立可等價轉化為a≤恒成立， 令x＋y＝t(t≥8)， 且f(t)＝＝t＋. 函數(shù)f(t)在8，＋∞)上單調遞增， 所以f(t)min＝f(8)＝8＋＝. 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，]．