河北省清河縣清河中學高一數學《34 數列的求和》課件

基礎知識基礎知識 1等差數列前等差數列前n項和項和Sn na1 d，推導方法：，推導方法： ；等比數列前；等比數列前n項和項和Sn 推導方法：推導方法： 倒序相加法倒序相加法乘公比，錯位相減乘公比，錯位相減 2常見數列的前常見數列的前n項和：項和：123n 2462n ；135(2n1) ；122232n2 132333n3 無窮等比無窮等比(|q|1)數列各項和數列各項和S .n2nn2 3數列求和的常見方法有：數列求和的常見方法有： (1)分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列列 (2)拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和 (3)錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和應項相乘構成的數列求和 (4)倒序相加：例如：等差數列前倒序相加：例如：等差數列前n項和公式的推導方項和公式的推導方法法 4常見的拆項公式有：常見的拆項公式有： (7)nn！ n??；?。?(8)anSnSn1(n2)(n1)！ 易錯知識易錯知識 一、利用公式求和不注意項數易出錯一、利用公式求和不注意項數易出錯 1S1222232n_ 答案：答案：2n11 二、不注意分類易出錯二、不注意分類易出錯 2Sa2a23a3nan(aR)_. 答案：答案：A 答案：答案：B 3(教材改編題教材改編題)數列數列9,99,999，的前的前n項和為項和為() 解析：解析：9101,991021,9991031， 所求數列的和為所求數列的和為Sn(101)(1021)(1031)(10n1) (1010210310n)n 答案：答案：D 4(2011原創(chuàng)題原創(chuàng)題)已知數列已知數列an的前的前n項和項和Snn2.則則 【例【例1】已知已知an是等比數列，是等比數列，a12，a454；bn是等差數列，是等差數列，b12，b1b2b3b4a1a2a3. (1)求數列求數列an的通項公式及前的通項公式及前n項和項和Sn的公式；的公式； (2)求數列求數列bn的通項公式；的通項公式； (3)設設Unb1b4b7b3n2，其中，其中n1,2，求求U10的值的值 解析解析(1)設數列設數列an的公比為的公比為q， 由由a4a1q3得得q3 27，q3， 所以數列所以數列an的通項公式為的通項公式為an23n1， 數列數列an的前的前n項和公式項和公式Sn 3n1， (2)設數列設數列bn的公差為的公差為d， b1b2b3b44b1 d86d. 由由b1b2b3b4a1a2a322323226. 得得86d26，d3， 所以所以bnb1(n1)d3n1. (3)b1，b4，b7，b3n2組成以組成以3d為公差的等差數為公差的等差數列，所以列，所以U1010b1 3d425. (2009四川四川)求數列求數列1,35,7911,13151719，的前的前n項和項和 分析：分析：依其結構特征知，只須求出和式中的最后一個依其結構特征知，只須求出和式中的最后一個奇數，便知其和為前奇數，便知其和為前n個奇數之和，又由于數列中各項個奇數之和，又由于數列中各項的奇數的個數與項數一致，從而知各項的奇數個數構的奇數的個數與項數一致，從而知各項的奇數個數構成的數列成的數列1,2,3，n，可以由此入手解答，可以由此入手解答 解析：解析：解法一：由于該數列的前解法一：由于該數列的前n項共有項共有 123n 個奇數，個奇數， 最末一個數字應為最末一個數字應為 2 1n2n1， Sn 解法二：依該數列的排列特征可知，第解法二：依該數列的排列特征可知，第n項項an中的第一中的第一個奇數是第個奇數是第123(n1)1 1個個 奇數，這個奇數是奇數，這個奇數是 1n2n1，從而推知第從而推知第n項項an中的第中的第n個個(末位末位)數字是數字是n2n12(n1)n2n1， 故故Sna1a2a3an 132333n3 總結評述：總結評述：根據所給的結構特征，尋找項數之間的規(guī)根據所給的結構特征，尋找項數之間的規(guī)律，是實現問題轉化的主要途徑而轉化求和又是研律，是實現問題轉化的主要途徑而轉化求和又是研究和探求數列求和問題的重要手段究和探求數列求和問題的重要手段. 【例【例2】(2009北京朝陽北京朝陽4月月)已知數列已知數列an的前的前n項和項和為為Sn，點，點(n， 在直線在直線y 上數列上數列bn滿足滿足bn22bn1bn0(nN*)，且，且b311，前，前9項和為項和為153. (1)求數列求數列an、bn的通項公式；的通項公式； (2)設設cn 數列數列cn的前的前n項和為項和為 Tn，求使不等式，求使不等式Tn 對一切對一切nN*都成立的最大正整都成立的最大正整數數k的值；的值； 所以所以bn為等差數列，于是為等差數列，于是 153. 而而b311，故，故b723，d 3， 因此因此bnb33(n3)3n2， 即即bn3n2(nN*) 因此因此Tn單調遞增，故單調遞增，故(Tn)min 令令 得得k19，所以，所以kmax18. 在數列在數列an中，中， 又又bn 求數列求數列bn的前的前n項的和項的和 數列數列bn的前的前n項的和項的和 總結評述：總結評述：對于裂項后有明顯相消項的一類數列，在對于裂項后有明顯相消項的一類數列，在求和時常采用求和時常采用“裂項求和法裂項求和法”，分式的求和多利用此，分式的求和多利用此法，可用待定系數法對通項公式進行拆項，相消時應法，可用待定系數法對通項公式進行拆項，相消時應注意消去項的規(guī)律，即消去了哪些項，保留哪些項注意消去項的規(guī)律，即消去了哪些項，保留哪些項. 錯位相減法就是推導等比數列前錯位相減法就是推導等比數列前n項和公式的方法一項和公式的方法一般地，若般地，若an是等差數列，是等差數列，bn是等比數列，則求是等比數列，則求anbn的前的前n項和一般采用此法此法有特定的操作項和一般采用此法此法有特定的操作程序，要注意熟練掌握基本技能程序，要注意熟練掌握基本技能 【例【例3】(2007山東，山東，17)設數列設數列an滿足滿足a13a232a33n1an ，nN*. 1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式； (2)設設bn ，求數列，求數列bn的前的前n項和項和Sn. 解析解析(1)a13a232a33n1an ， 當當n 2時，時，a13a232a33n2an1 ，得，得3n1an ，an 在在中，令中，令n1，得，得a1 .an (2)bn ，bnn3n. Sn3232333n3n. 3Sn32233334n3n1. ，得，得2Snn3n1(332333n)， 即即2Snn3n1 設設an是等差數列，是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，是各項都為正數的等比數列，且且a1b11，a3b521，a5b313. (1)求求an，bn的通項公式；的通項公式； (2)求數列求數列 的前的前n項和項和Sn. 解析：解析：(1)設設an的公差為的公差為d，bn的公比為的公比為q，則依題，則依題 意有意有q0且且 解得解得d2，q2. 所以，所以，an1(n1)d2n1，bnqn12n1. 【例【例4】已知數列】已知數列an的前的前n項和項和Sn(n1)2n1，是否存在等差數列是否存在等差數列bn，使，使an 對一切自然數對一切自然數n均成立？均成立？ 解析解析由公式由公式an 依條件先求出依條件先求出an的通項，再由倒序相加法得出結論的通項，再由倒序相加法得出結論 當當n1時，時，a1S11； 當當n2時，時，anSnSn1(n1)2n1(n2)2n112n1(2n2n2)n2n1. 因因a11滿足滿足n2時時an的式子，的式子， ann2n1(nN*) 假設存在等差數列假設存在等差數列bn滿足條件，設滿足條件，設b00，且，且bn(nN*)仍成等差數列，則仍成等差數列，則 令令bnn，顯然，顯然n0時，時，b00，故存在等差數列，故存在等差數列bn滿足已知等式滿足已知等式 設設f(x) 利用課本中推導等差數列前利用課本中推導等差數列前n項和公項和公式的方法，可求得式的方法，可求得f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值為的值為() 令令S26f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13) 又又S26f(13)f(12)f(11)f(11)f(12) 則則2S26f(12)f(13)f(11)f(12)f(13)f(12) 故選故選D. 答案：答案：D 1在直接用公式求和時，要注意公式的應用范圍和公在直接用公式求和時，要注意公式的應用范圍和公式推導過程中蘊含的數學思想式推導過程中蘊含的數學思想 2注意觀察數列的特點和規(guī)律，將一般數列求和轉化注意觀察數列的特點和規(guī)律，將一般數列求和轉化為基本數列求和為基本數列求和 3方程思想、函數思想、化歸思想、整體思想、分類方程思想、函數思想、化歸思想、整體思想、分類討論等數學思想在本節(jié)內容中得到了廣泛的應用，尤討論等數學思想在本節(jié)內容中得到了廣泛的應用，尤其是運用化歸的思想將問題轉化為等差、等比數列問其是運用化歸的思想將問題轉化為等差、等比數列問題來研究，是解答數列綜合問題的最基本的思路題來研究，是解答數列綜合問題的最基本的思路 請同學們認真完成課后強化作業(yè)