新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理 北師大版

第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第47頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ(4)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2弧度制的定義和公式(1)定義：在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角，它的單位符號(hào)是rad.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)公式：角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u，v)，那么v叫作的正弦，記作sin u叫作的余弦，記作cos 叫作的正切，記作tan 各象限符號(hào)三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線知識(shí)拓展1.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin ，cos ，tan (y0)2單位圓上任意一點(diǎn)可設(shè)為(cos ，sin )(R)3若，則sin tan .基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角()(4)角的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)()(5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(6)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)(6)2若cos 0，且sin 20，則角的終邊所在象限為()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限D(zhuǎn)由cos >0，sin 22sin cos 0得sin 0，則角的終邊在第四象限，故選D3(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin ()AB±CD±B由題意知|r|2y21，所以y±.由三角函數(shù)定義知sin y±.4已知圓的一條弦的長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)，則這條弦所對(duì)的圓心角的大小為_弧度弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)該弦與兩半徑構(gòu)成的三角形為正三角形故該弦所對(duì)的圓心角的大小為.53 900°是第_象限角，1 000°是第_象限角四一3 900°10×360°300°，3 900°是第四象限角1 000°3×360°80°，1 000°是第一象限角(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第48頁(yè))角的有關(guān)概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，則是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)終邊在直線yx上的角的集合是_(1)C(2)|60°k·180°，kZ(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角(2)如圖，直線yx過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為：S1|60°k·360°，kZ，S2|240°k·360°，kZ，所以角的集合SS1S2|60°k·360°，kZ|60°180°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°k·180°，kZ規(guī)律方法1.終邊在某直線上角的求法四步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線.(2)按逆時(shí)針?lè)较驅(qū)懗?，2)內(nèi)的角.(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合.(4)求并集化簡(jiǎn)集合.2.確定k，(kN)終邊位置的步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角的范圍.(2)再寫出k或的范圍.(3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定k或的終邊所在位置.3.注意角度與弧度不能混用.4.終邊落在x軸上角的集合.終邊落在y軸上角的集合.終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN(2)已知角45°，在區(qū)間720°，0°內(nèi)與角有相同終邊的角_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140099】(1)B(2)675°或315°(1)法一：由于M，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN，故選B法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整數(shù)，因此必有MN，故選B(2)由終邊相同的角的關(guān)系知k·360°45°，kZ，所以取k2，1，得675°或315°.扇形的弧長(zhǎng)、面積公式(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)，Smax100，此時(shí)2×101040，2，當(dāng)r10，2時(shí)，扇形的面積最大規(guī)律方法解決有關(guān)扇形的弧長(zhǎng)和面積問(wèn)題的常用方法及注意事項(xiàng)(1)解決有關(guān)扇形的弧長(zhǎng)和面積問(wèn)題時(shí)，要注意角的單位，一般將角度化為弧度.(2)求解扇形面積的最值問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決.(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.跟蹤訓(xùn)練(1)扇形弧長(zhǎng)為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為_ cm2.(2)如圖3­1­1，已知扇形的圓心角120°，弦AB長(zhǎng)12 cm，則該扇形的弧長(zhǎng)l_ cm.圖3­1­1(1)(2)(1)由弧長(zhǎng)公式l|r，得r，S扇形lr×20×.(2)設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4，l|·r×4 cm.三角函數(shù)的定義角度1三角函數(shù)定義的應(yīng)用(20xx·河南八市聯(lián)考)已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)P(4m,3m)(m0)是角終邊上的一點(diǎn)，則2sin cos _.|OP|5|m|5m(m0)，sin ，cos ，2sin cos 2×.角度2三角函數(shù)值符號(hào)的判定若sin tan 0，且0，則角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C由sin tan 0可知sin ，tan 異號(hào)，從而可判斷角為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號(hào)，從而可判斷角為第三或第四象限角綜上可知，角為第三象限角角度3三角函數(shù)線的應(yīng)用函數(shù)y的定義域?yàn)開(kZ)2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)規(guī)律方法1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況.(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題.2.確定三角函數(shù)值的符號(hào)，可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·陜西質(zhì)檢(一)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，3)，則cos的值為()A BC D(2)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為() A BC D(1)B(2)B(1)角的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，3)，r5，由三角函數(shù)的定義得sin ，cos ，coscos cossin sin ××，故選B(2)r，cos ，m0，因此m.