新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 課時(shí)分層訓(xùn)練41 空間圖形的基本關(guān)系與公理 理 北師大版

1 1 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十一)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合； ②兩條直線可以確定一個(gè)平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 B　[根據(jù)公理2可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②是假命題；在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)公理3可知④是真命題．綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2.] 2．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．] 3．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140226】 A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 D　[由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．] 4．(20xx·蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬)已知長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝，AD＝1，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． A　[連接AC，AB1(圖略)，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知AB1∥DC1，所以∠AB1C就是異面直線B1C和C1D所成的角．由題知AC＝＝2，AB1＝＝，CB1＝＝2，所以由余弦定理得cos∠AB1C＝＝，故選A.] 5．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過(guò)正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B． C. D． A　[設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m，n所成的角與直線B1D1，CD1所成的角相等，即∠CD1B1為m，n所成的角． 在正方體ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.] 二、填空題 6．(20xx·湖北調(diào)考)已知正六棱錐S­ABCDEF的底面邊長(zhǎng)和高均為1，則異面直線SC與DE所成角的大小為________． 　[設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，連接SO，CO，BO，則由正六邊形的性質(zhì)知OC∥DE，SO⊥平面ABCDEF，所以∠SCO為異面直線SC與DE所成角．又易知△BOC為等邊三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠SCO＝.] 7．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面． 1或4　[如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè)平面．] 8．(20xx·鄭州模擬)在圖7­2­7中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140227】 (1)　　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4) 圖7­2­7 (2)(4)　[圖(1)中，直線GH∥MN；圖(2)中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖(4)中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖(2)(4)中，GH與MN異面．] 三、解答題 9.如圖7­2­8所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)： 圖7­2­8 (1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由． [解]　(1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC. 因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1. 又因?yàn)锳1AC1C，所以A1ACC1為平行四邊形， 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC， 所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)， 故AM和CN不是異面直線． (2)直線D1B和CC1是異面直線． 理由：因?yàn)锳BCD­A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線， 則存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α， 所以D1，B，C，C1∈α， 這與B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假設(shè)不成立， 即D1B和CC1是異面直線．] 10．如圖7­2­9所示，在三棱錐P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： 圖7­2­9 (1)三棱錐P­ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． [解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2， 三棱錐P­ABC的體積為 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. B組　能力提升 11．(20xx·陜西質(zhì)檢(一))已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．若MN＝BC＝4，PA＝4，則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° A　[取AC中點(diǎn)為O，連接OM，ON，則易證OM綊BC，ON綊PA，所以∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝BC＝2，ON＝AP＝2，則cos∠ONM＝＝，所以∠ONM＝30°，即異面直線PA與MN所成角的大小是30°，故選A.] 12.如圖7­2­10，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140228】 圖7­2­10 　[取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH. 由題設(shè)，HFAD， 所以∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)． 在△GHF中，可求HF＝， GF＝GH＝， ∴cos∠GFH＝＝.] 13．如圖7­2­11，在四棱錐O­ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)． 圖7­2­11 (1)求四棱錐O­ABCD的體積； (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值． [解]　(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4， ∴四棱錐O­ABCD的體積V＝×4×2＝. (2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE. 又M為OA中點(diǎn)，∴ME∥OC， 則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得 DE＝，EM＝，MD＝，∵()2＋()2＝()2， ∴△DEM為直角三角形， ∴tan∠EMD＝＝＝. ∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.