高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第2課時(shí) 等差數(shù)列課件

第2課時(shí)等差數(shù)列第五章數(shù)列第五章數(shù)列回歸教材回歸教材 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1等差數(shù)列等差數(shù)列(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_，公，公差通常用字母差通常用字母d表示，公差的表達(dá)式表示，公差的表達(dá)式為為_公差公差anan1d(nN*，n2)(2)等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)a，b有且只有一個(gè)等差中有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即項(xiàng)，即_.(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an_，an_，其中，其中nm，也可以，也可以nm.但但am、an必須是數(shù)列中的項(xiàng)，也可得必須是數(shù)列中的項(xiàng)，也可得d_或或d_.a1(n1)dam(nm)d(4)等差數(shù)列的求和公式等差數(shù)列的求和公式(由倒序相加由倒序相加法推得法推得)Snna1_.思考探究思考探究若數(shù)列若數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Snan2bn，能否斷定數(shù)列，能否斷定數(shù)列an是等差數(shù)列？反是等差數(shù)列？反之是否成立？之是否成立？提示：提示：數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Snan2bn數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列2等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若公差若公差d0，則此數(shù)列為遞增數(shù)列；，則此數(shù)列為遞增數(shù)列；若若d0，則此數(shù)列為遞減數(shù)列；若，則此數(shù)列為遞減數(shù)列；若d0，則此數(shù)列為常數(shù)列，則此數(shù)列為常數(shù)列(2)有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之等的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中和；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的間項(xiàng)的2倍，即倍，即a1ana2an1a3an22a中中(3)若若m，n，p，kN*，且，且mnpk，則，則_，其中，其中am，an，ap，ak是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)當(dāng)mn2p時(shí)，有時(shí)，有_.amanapak2apaman(4)在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列的項(xiàng)按照原來順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列但剩下的項(xiàng)按原順序仍然是等差數(shù)列但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列(5)若數(shù)列若數(shù)列an與與bn均為等差數(shù)列，則均為等差數(shù)列，則mankbn仍為等差數(shù)列，其中仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)均為常數(shù)(6)若若an成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，Sn為其前為其前n項(xiàng)的項(xiàng)的和，則和，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列成等差數(shù)列(7)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列的等差數(shù)列an，有，有S2nn(a1a2n)n(anan1)(an與與an1為中間的兩項(xiàng)為中間的兩項(xiàng))；ndan課前熱身課前熱身1(2011高考遼寧卷高考遼寧卷)Sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，S2S6，a41，則，則a5_.答案：答案：12(2011高考大綱全國(guó)卷改編高考大綱全國(guó)卷改編)設(shè)設(shè)Sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，若項(xiàng)和，若a11，公差，公差d2，Sk2Sk24，則，則k_.解析：解析：Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d4k424，k5.答案：答案：53下列命題中正確的是下列命題中正確的是_若若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列；成等差數(shù)列；若若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列；成等差數(shù)列；若若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列；成等差數(shù)列；若若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列成等差數(shù)列答案：答案：4已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an其前其前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，且，且S1010，S2030，則，則S30_.解析：解析：數(shù)列數(shù)列an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，即即S10(S30S20)2(S20S10)，10(S3030)220，S3060.答案：答案：60考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動(dòng)講練互動(dòng)(2011高考福建卷高考福建卷)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a11，a33.例例1考點(diǎn)考點(diǎn)1等差數(shù)列基本量的求法等差數(shù)列基本量的求法(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前k項(xiàng)和項(xiàng)和Sk35，求求k的值的值【解解】(1)設(shè)公差為設(shè)公差為d，則，則ana1(n1)d，由由a11，a33可得可得12d3，解之得解之得d2.從而從而an1(n1)(2)32n.【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列中知三求二等差數(shù)列中知三求二問題需要列方程問題需要列方程(組組)來解決來解決變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(2011高考天津卷高考天津卷)已知已知an是等差是等差數(shù)列，數(shù)列，Sn為其前為其前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，nN*.若若a316，S2020，則，則S10的值為的值為_答案：答案：110 考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定例例2【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】本題中本題中SnSn12SnSn10，是構(gòu)造等差數(shù)列的一種，是構(gòu)造等差數(shù)列的一種典型結(jié)構(gòu)，可以看作一種結(jié)論，第典型結(jié)構(gòu)，可以看作一種結(jié)論，第(2)問中易漏掉問中易漏掉n1的情況的情況變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2(2010高考安徽卷高考安徽卷)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項(xiàng)都不為中的每一項(xiàng)都不為0. 考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例例3【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，需仔細(xì)觀察代數(shù)式中各項(xiàng)間的解題，需仔細(xì)觀察代數(shù)式中各項(xiàng)間的聯(lián)系，尤其在一些有關(guān)的結(jié)論上要熟聯(lián)系，尤其在一些有關(guān)的結(jié)論上要熟記熟用記熟用【解析解析】設(shè)設(shè)an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，則，則S9S4 0，即，即a5a6a7a8a90,5a70，故，故a70而而aka40，故故k10.【答案答案】10變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，若若S39，S636，則，則a7a8a9_.解析：解析：數(shù)列數(shù)列an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，則，則S9S645，a7a8a9S9S645.答案：答案：45考點(diǎn)考點(diǎn)4 等等差數(shù)列的前差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和(2010高考課標(biāo)全國(guó)卷高考課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)等差設(shè)等差數(shù)列數(shù)列an滿足滿足a35，a109.(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)求求an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn及使得及使得Sn最大的最大的序號(hào)序號(hào)n的值的值例例4【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn可看作關(guān)于可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，因而可借助的二次函數(shù)，因而可借助于二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)研究于二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)研究Sn的最值的最值問題問題【答案】【答案】11方法技巧方法技巧1等差數(shù)列的證明或判定，主要方法等差數(shù)列的證明或判定，主要方法有兩種：有兩種：(1)利用定義，證明利用定義，證明an1an常數(shù)；常數(shù)；(2)利用中項(xiàng)性質(zhì)：利用中項(xiàng)性質(zhì)：2anan1an1(n2)2注意推廣的通項(xiàng)公式的應(yīng)用：注意推廣的通項(xiàng)公式的應(yīng)用：aman(mn)d.3由五個(gè)量由五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中的中的三個(gè)可求其余兩個(gè)量三個(gè)可求其余兩個(gè)量(知三求二知三求二)，善，善于恰當(dāng)選擇公式，減少運(yùn)算量于恰當(dāng)選擇公式，減少運(yùn)算量4注意等差數(shù)列的設(shè)法如奇數(shù)個(gè)數(shù)注意等差數(shù)列的設(shè)法如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，除了設(shè)成成等差數(shù)列，除了設(shè)成a，ad，a2d，外，還可設(shè)成外，還可設(shè)成，a2d，ad，a，ad，a2d，.5計(jì)算中靈活運(yùn)用常用性質(zhì)，整體代計(jì)算中靈活運(yùn)用常用性質(zhì)，整體代換，可使運(yùn)算量減少，體現(xiàn)運(yùn)算的合換，可使運(yùn)算量減少，體現(xiàn)運(yùn)算的合理性、技巧性理性、技巧性(3)除上面方法外，還可將除上面方法外，還可將an的前的前n項(xiàng)和的最值問題看作項(xiàng)和的最值問題看作Sn關(guān)于關(guān)于n的二次函的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意配方法求解，注意nN*.失誤防范失誤防范1等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)amanapaq(mnpq)錯(cuò)誤地理解為錯(cuò)誤地理解為amapaq(mpq)2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形anam(nm)d，易錯(cuò)記為，易錯(cuò)記為anam(n1)d.3在某個(gè)數(shù)列中，算項(xiàng)數(shù)時(shí)易算錯(cuò)，在某個(gè)數(shù)列中，算項(xiàng)數(shù)時(shí)易算錯(cuò)，如如a1，a2，a3，an中，從中，從a3到到a10應(yīng)應(yīng)有有8項(xiàng)，易錯(cuò)算成項(xiàng)，易錯(cuò)算成1037項(xiàng)項(xiàng)考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測(cè)命題預(yù)測(cè)1考試說明對(duì)等差數(shù)列的能級(jí)要求為考試說明對(duì)等差數(shù)列的能級(jí)要求為C，從近年江蘇卷的考查來看，等差，從近年江蘇卷的考查來看，等差數(shù)列常出現(xiàn)在綜合程度較高的解答題數(shù)列常出現(xiàn)在綜合程度較高的解答題中，需要考生對(duì)等差數(shù)列有更深刻的中，需要考生對(duì)等差數(shù)列有更深刻的認(rèn)識(shí)，采用合理的方法加以解決認(rèn)識(shí)，采用合理的方法加以解決目前，對(duì)等差數(shù)列的考查，體現(xiàn)的不目前，對(duì)等差數(shù)列的考查，體現(xiàn)的不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的綜合，更多的是數(shù)學(xué)僅僅是知識(shí)點(diǎn)的綜合，更多的是數(shù)學(xué)推理能力推理能力(包括演繹推理與合情推理包括演繹推理與合情推理)、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力的融合、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力的融合2本知識(shí)點(diǎn)考查形式主要有三種形式：本知識(shí)點(diǎn)考查形式主要有三種形式：一是直接利用公式求指定的一是直接利用公式求指定的an和和Sn；二；二是利用其性質(zhì)求參數(shù)或解決相關(guān)問題；是利用其性質(zhì)求參數(shù)或解決相關(guān)問題；三是通過適當(dāng)化歸，把非等差數(shù)列問題三是通過適當(dāng)化歸，把非等差數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列問題再求解轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列問題再求解3預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2013年考查等差數(shù)列的通項(xiàng)年考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)仍將是命題的主要方向，公式及性質(zhì)仍將是命題的主要方向，但通過保留部分等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)造但通過保留部分等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)造“類等差數(shù)列類等差數(shù)列”值得關(guān)注值得關(guān)注規(guī)范解答規(guī)范解答 (本題滿分本題滿分16分分)(2011高考江蘇高考江蘇卷卷)設(shè)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列列an的首項(xiàng)的首項(xiàng)a11，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.已已知對(duì)任意的整數(shù)知對(duì)任意的整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)，當(dāng)整數(shù)nk時(shí)時(shí)，SnkSnk2(SnSk)都成立都成立例例(1)設(shè)設(shè)M1，a22，求，求a5的值；的值；(2)設(shè)設(shè)M3,4，求數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式式【解解】(1)由題設(shè)知，當(dāng)由題設(shè)知，當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，Sn1Sn12(SnS1)，即即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1.從而從而an1an2a12.3分分又又a22，故當(dāng)，故當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，ana22(n2)2n2.a52528.6分分(2)由題設(shè)知，當(dāng)由題設(shè)知，當(dāng)kM3,4且且nk時(shí)時(shí)SnkSnk2Sn2Sk，且且Sn1kSn1k2Sn12Sk，得得an1kan1k2an1，即即an1kan1an1an1k，故當(dāng)故當(dāng)n8時(shí)，時(shí)，an6，an3，an，an3，an6成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，且且an6，an2，an2，an6也成等差也成等差數(shù)列數(shù)列.9分分從而當(dāng)從而當(dāng)n8時(shí)，時(shí)，2anan3an3an6an6，且且an6an6an2an2，所以當(dāng)所以當(dāng)n8時(shí)，時(shí)，2anan2an2，即即an2ananan2. 于是當(dāng)n9時(shí)，an3，an1，an1，an3成等差數(shù)列，從而an3an3an1an1， 故由式知，2anan1an1， 即an1ananan1. 12分 當(dāng)n9時(shí)，設(shè)danan1，當(dāng)2m8時(shí)，m68，從而由式知2am6amam12，故，故2am7am1am13，從而從而2(am7am6)am1am(am13am12)于是于是am1am2ddd.因此，因此，an1and，對(duì)任意，對(duì)任意n2都成都成立，立，又由又由SnkSnk2Sn2Sk(k3,4)，可知，可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk，14分分【得分技巧得分技巧】解決本題的關(guān)鍵在于：解決本題的關(guān)鍵在于：1要善于從要善于從(1)中的簡(jiǎn)單情況找出解中的簡(jiǎn)單情況找出解(2)的思路的思路2要善于利用公式要善于利用公式anSnSn1(n2)把把Sn轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成an.3要注意從函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題要注意從函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題【失分溯源失分溯源】本題難度較大，得分本題難度較大，得分率較低，失分的主要原因：一是不能率較低，失分的主要原因：一是不能從從(1)的解題過程中找出的解題過程中找出(2)的解題思的解題思路；二是下標(biāo)之間的關(guān)系找不清路；二是下標(biāo)之間的關(guān)系找不清