新編高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用

新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，是證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，也是高考的熱點(diǎn)問題之一．不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查．既要求善于發(fā)現(xiàn)、歸納結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用十分廣泛．下面就數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用問題加以規(guī)律總結(jié)與實(shí)例剖析． 1．證明恒等式中的規(guī)律 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題，其一般規(guī)律及方法： 關(guān)鍵在于第二步，它有一個基本格式，不妨設(shè)命題為：P（n）：f（n）=g（n）， 其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題：已知：f（k）=g（k），求證：f（k+1）=g（k+1）． 通?？刹捎玫母袷椒譃槿剑? （1）找出f（k+1）與f（k）的遞推關(guān)系；（2）把歸納假設(shè)f（k）=g（k）代入；（3）作恒等變形化為g（k+1）． 示意圖為： 結(jié)構(gòu)相同 遞推 恒等變形 歸納假設(shè) f（k+1）=f（k）+ak=g（k）+ak=g（k+1） 當(dāng)然遞推關(guān)系不一定總是象f（k+1）=f（k）+ak這樣的表達(dá)式，因此更為一般性的示意圖為： f（k+1）=F[f（k），k，f（1）]=F[g（k），k，g（1）]=g（k+1）． 2．證明恒等式中的應(yīng)用 （1）代數(shù)恒等式的證明 例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+4+7+…+（3n－2）=n（3n－1）（n∈N*）． 分析：在第二步的證明過程中通過利用歸納假設(shè)，結(jié)合等式的變換與因式分解、變形，從而得以證明． 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，所以當(dāng)n=1時，命題成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時命題成立，即1+4+7+…+（3k－2）=k（3k－1）， 則當(dāng)n=k+1時， 1+4+7+…+（3k－2）+[3（k+1）－2]=k（3k－1）+（3k+1）=（3k2+5k+2）=（k+1）（3k+2）=（k+1）[3（k+1）－1]， 即當(dāng)n=k+1時，命題成立； 根據(jù)（1）、（2）可知，對一切n∈N*，命題成立． 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法的證明過程非常講究“形式”，歸納假設(shè)是必須要用到的，假設(shè)是起到橋梁作用的，橋梁不用或是斷了，數(shù)學(xué)歸納就通不過去了，遞推性無法實(shí)現(xiàn)．在由n=k時結(jié)論正確證明n=k+1時結(jié)論也正確的過程中，一定要用到歸納假設(shè)的結(jié)論，即n=k時結(jié)論． 變形練習(xí)1：已知n∈N*，證明：1－+－+…+－=++…+． 答案：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1－=，右邊=，等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即有1－+－+…+－=++…+， 那么當(dāng)n=k+1時，左邊=1－+－+…+－+－=++…++－=++…++[－]=++…++=右邊， 所以當(dāng)n=k+1時等式也成立； 綜合（1）、（2）知對一切n∈N*，等式都成立． （2）三角恒等式的證明 例2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（n－1）xtannx=－n（n≥2，n∈N*）． 分析：本題在由假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，推導(dǎo)當(dāng)n=k+1時等式也成立時，要靈活應(yīng)用三角公式及其變形公式．本題中涉及到兩個角的正切的乘積，聯(lián)想到兩角差的正切公式的變形公式：tanαtanβ=－1，問題就會迎刃而解． 證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊=tanxtan2x=tanx·=，右邊=－2=－2=－2=，等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N*）時，等式成立，即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx=－k， 則當(dāng)n=k+1時，tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx+tankxtan（k+1）x=－k+tankxtan（k+1）x， （*） 由tanx=tan[（k+1）x－kx]=， 可得tankxtan（k+1）x=－1， 代入（*）式，可得右邊=－k+－1=－（k+1）， 即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan（k－1）xtankx+tankxtan（k+1）x=－（k+1）， 即當(dāng)n=k+1時，等式也成立； 由（1）、（2）知等式對任何n∈N*都成立． 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法在第二步的證明中，“當(dāng)n=k時結(jié)論正確”這一歸納假設(shè)起著已知的作用，“當(dāng)n=k+1時結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo)．在這一步中，一般首先要先湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便利用歸納假設(shè)，然后再進(jìn)一步湊出n=k+1時的結(jié)論．要正確選擇與命題有關(guān)的知識及變換技巧． 變形練習(xí)2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：cos·cos·cos·…·cos=（n∈N*）． 答案：（1）當(dāng)n=1時，左邊=cos，右邊===cos，等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即有cos·cos·cos·…·cos= 則當(dāng)n=k+1時，cos·cos·cos·…·cos·cos=·cos =·cos=，即當(dāng)n=k+1時，等式也成立； 由（1）、（2）知等式對任何n∈N*都成立．