《離散數(shù)學》劉任任版第七章.doc

習題七1對圖7.7中的兩個圖，各作出兩個頂點割。（a）（b）圖7.7解： 對圖7.7增加加節(jié)點標記如下圖所示， 則(a)的兩個頂點割為： V11=a,b ； V12=c,d (b)的兩個頂點割為： V21=u,v ； V12=y 2求圖7.7中兩個圖的和. 解：如上兩個圖，有 k(G1)=(G1)=2, k(G2)=1, (G2)=2 3試作出一個連通圖, 使之滿足：解：做連通圖G如下，于是有 ： 4求證, 若是邊連通的, 則.證明：設(shè)G是k邊連通的，由定義有(G)k. 又由定理7.1.2知(G) ，因此有 k(G) 即 k ，從而 5求證, 若是階簡單圖, 且, 則.分析：由G是簡單圖，且，可知G中的(G)只能等于 p-1或p-2；如(G)= p-1,則G是一個完全圖，根據(jù)書中規(guī)定，有k(G)=p-1=(G)；如(G)= p-2,則從G中任取V（G）的子集V1，其中|V1|=3，則V(G)-V1的點導出子圖是連通的，否則在V1中存在一個頂點v，與其他兩個頂點都不連通。則在G中，頂點v最多與G中其他p-3個頂點鄰接，所以d(v)p-3，與(G)= p-2矛盾。這說明了在G中，去掉任意p-3個頂點后G還是連通的，按照點連通度的定義有k(G)>k-3，又根據(jù)定義7.1.1，有k(G)=k-2。證明：因為G是簡單圖 ,所以d(v)p-1,vV(G),已知(G)p-2（）若(G)= p-1,則G=Kp（完全圖），故k(G)=p-1=(G)。（）若(G)= p-2, 則 GKp,設(shè)u,v不鄰接，但對任意的wV(G),有 uw,vw E(G).于是，對任意的V1V(G), | V1|=p-3 ,G-V1必連通. 因此必有k(G) p-2=(G),但k(G) (G)。 故k(G) =(G)。 6找出一個階簡單圖, 使, 但. 解：7設(shè)為正則簡單圖, 求證.分析：G是一個正則簡單圖，所以(G)=3，根據(jù)定理7.1.1有，所以只能等于0，1，2，3這四種情況。下面的證明中分別討論了這四種情況下的關(guān)系。證明：(1)若=0，則G不連通,所以(G)=K(G).(2) 設(shè) K(G)=1,且u 是G中的一個割點，G-u不連通,由于d(u)=3,從而至少存在一個分支僅一邊與u相連,顯然這邊是G的割邊,故(G)，所以(G)=K(G) () 設(shè)K(G)=2,且v1,v2為G的一個頂點割。G1=G-v1連通,則v2是G1的割點且v2在G1中的度小于等于，類似于(2)知在G1中存在一割邊e2(關(guān)聯(lián)v2)使得G1-e2不連通另一方面由于(G)>=K(G)=2故G-e2連通由于G1-e2= (G-e2)-v1，故v1是G-e2的割點，且v1在G-e2中的度小于等于，于是類似于(2)知，在G-e2中存在一割邊e1，即(G-e2)-e1=G-e1,e2不連通，故(G)=2.所以(G)=K(G). () 設(shè)k(G) =3,于是， 有3 =k（G） (G)=3 ,知8證明：一個圖是邊連通的當且僅當?shù)娜我鈨蓚€頂點由至少兩條邊不重的通路所連通.分析：這個題的證明關(guān)鍵是理解邊連通的定義。證明：（必要性）因為G是邊連通的，所以G沒有割邊。設(shè)u，v是G中任意兩個頂點，由G的連通性知u，v之間存在一條路徑P1，若還存在從u到v的與P1邊不重的路徑P2，設(shè)C=P1P2，則C中含u,v的回路，若從u到v的任意另外路徑和P1都有一條（或幾條）公共邊，也就是存在邊e在從u到v的任何路徑中，則從G中刪除e，G就不連通了，于是e成了G中一割邊，矛盾。（充分性）假設(shè)G不是一個2-邊連通的，則G中有割邊，設(shè)e=(u,v)為G中一割邊，由已知條件可知，u與v處于同一簡單回路C中，于是e處在C中，因而從G中刪除e后G仍然連通，這與G中無割邊矛盾。vV1V2uG9舉例說明：若在連通圖中, 是一條通路, 則不一定包含一條與內(nèi)部不相交的通路。 解 如右圖G，易知G是2連通的， 若取P為uv1v2v， 則G中不存在Q了。10證明：若中無長度為偶數(shù)的回路, 則的每個塊或者是, 或者是長度為奇數(shù)的回路.分析：塊是G的一個連通的極大不可分子圖，按照不可分圖的定義，有G的每個塊應該是沒有割點的。因此，如果能證明G的某個塊如果既不是，也不是長度為奇數(shù)的回路，再由已知條件G中無長度為偶數(shù)的回路，則可得出G的這個塊肯定存在割點，則可導出矛盾。本題使用反證法。證明： 設(shè)K是G的一個塊，若k既不是 K2也不是奇回路，則k至少有三個頂點，且存在割邊e=uv,于是u,v中必有一個是割點，此與k是塊相矛盾。 11證明：不是塊的連通圖至少有兩個塊, 其中每個塊恰含一個割點.分析：一個圖不是塊，按照塊的定義，這個圖肯定含有割點v，對圖分塊的時候也應該以割點為標準進行，而且分得的塊中必定含這個割點，否則所得到的子圖一定不是極大不可分子圖，從而不會是一個塊。證明：由塊的定義知，若圖G不是塊且連通，則G有割點，依次在有割點的地方將G分解成塊，一個割點可分成兩塊，每個塊中含G中的一個割點。如下圖G。易知 u,v是割點，G可分成四個塊K1 K4 。其中每個塊恰含一個割點。 12證明：圖中塊的數(shù)目等于 其中, 表示包含的塊的數(shù)目.分析：一個圖G的非割點只能分布在G的一個塊中，即=1（當v是G的非割點時），且每個塊至少包含一個割點。因此下面就從G的割點入手進行證明。證明中使用了歸納法。證明：先考慮G是連通的情況（），對G中的割點數(shù)n用歸納法。由于對G的非割點v，b(v)=1，即b(v)-1 =0，故對n=0時，G的塊數(shù)為1結(jié)論成立。假設(shè)G中的割點數(shù)nk（k0）時，結(jié)論成立。對n=k+1的情況，任取G的一個割點a，可將G分解為連通子圖Gi，使得a在Gi中不是割點，a又是Gi的公共點。這樣，每一個Gi，有且僅有一個塊含有a，若這些Gi共有r個，則b(a)=r，又顯然Gi的塊也是G的塊，且Gi的割點數(shù)k。故由歸納法假設(shè)Gi的塊的塊數(shù)為1，這里是Gi中含v的塊的塊數(shù)，注意到Gi中異于a的v，b(v)= ，而a在每一個Gi中均為非割點，故。于是Gi的塊數(shù)為1將所有Gi的塊全部加起來，則得到G的塊數(shù)為：r=r=1+(r-1) =1由歸納法可知，當G連通時，結(jié)論成立。當G不連通時，對每個連通分支上述結(jié)論顯然成立。因此有圖中塊的數(shù)目等于13 給出一個求圖的塊的好算法。分析：設(shè)G是一個具有p個頂點，q條邊，w個連通分支的圖。求圖G的塊可先求圖G的任一生成森林F，且對每一邊eF，求F+e中的唯一回路，設(shè)這些回路C1，C2，Cq-p+w都已求得，（這些都有好算法）。在此基礎(chǔ)上，我們注意到，兩個回路（或一個回路與一個塊）若有多于1個公共點，則它們屬于同一塊。此外，由割邊的定義知，G的任一割邊不含于任何回路中，且它們都是G的塊?；谶@些道理，可得如下求圖G的塊的好算法。解：求圖的塊的算法：（1）令s=1，t=1，n=q-p+w（2）若n>0，輸入C1，C2，Cn；否則，轉(zhuǎn)第4步。（3）若且對i=s+t，n-1，令，轉(zhuǎn)第4步；否則，t=t+1，轉(zhuǎn)第5步。（4）若s<n，令t=1，轉(zhuǎn)第3步；否則，算法停止（這時C1，C2，Cn與E（G）- C1，C2，Cn中的每一邊都是G的塊）（5）若s+tn轉(zhuǎn)第3步；否則，s=s+1，轉(zhuǎn)第4步。本算法除了求回路有已知的好算法外，計算量主要在第3步，比較的頂點尋找它們的公共點的運算中，這些運算不超出p2*(q-p+w)次，故是好算法。14證明：是連通的。分析：只要證明不存在少于個頂點的頂點割集。設(shè)是一個的任一頂點子集，可分和兩種情形證明。證明：(1) 當時，根據(jù)定理7.3.1的證明，不是的頂點割集，當然更不是在上加些邊的的頂點割集。(2) 當時，設(shè)是的頂點割集，屬于的不同分支?？疾祉旤c集合和 這里加法取模若或中有一個含的頂點少于個，則在中存在從到的路。與為頂點割集矛盾。若和中都有的個頂點，則：j 若或中，有一個(不妨說)中的個頂點不是相繼連成段，則中存在從到的路。與為頂點割集矛盾。k 若與中，的個頂點都是相繼連成一段的。若與中至少有一個沒有被分成兩段，則立即與為頂點割集矛盾；若被分成兩段：含的記，含的記，且也被分為兩段：含的記，含的記。這樣，被分為兩段：含的 和含的。這兩段都是連通的，且含段的中間點(或最靠近中間的一點)與含段的類似點滿足：故與有邊相連，在中有路()，與為頂點割集矛盾。綜上所述，是連通的。15證明：.分析：根據(jù)定理7.3.1，圖是m-連通圖，因此有 又根據(jù)的構(gòu)造，可知 ，再由定理7.1.1可證。 證明：由定理7.3.1知： 已知：k 16試畫出、和分析：根據(jù)書上第54頁構(gòu)造的方法可構(gòu)造出、和。(i) : r = 2 ,p=8,對任意 i,j V(), i- jr 或者則如下圖：(ii) 圖：r =2,p=8,則在中添加連接頂點i 與 i+p/2(mod p)的邊，其中1ip/2,15; 2 6; 3 7; 4 0. 則圖如下：(iii) 圖: r=2,在圖上添加連接頂點0與（p-1）/2和(p+1）/2的邊，以及頂點 i 與 i +（p+1）/2(mod p) 的邊，其中1 i< （p-1）/2.04; 0 5; 1 6; 2 7; 38.則圖如下：