線性代數(shù)：第五章 相似矩陣及二次型

第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 定義定義 1 設(shè)有設(shè)有 n 維向量維向量, n21n21yyyyxxxx令令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,稱稱 x , y 為向量為向量 x 與與 y 的的內(nèi)積內(nèi)積. 內(nèi)積具有下列性質(zhì)：內(nèi)積具有下列性質(zhì)： 1. x , y = y , x ; ;y,xy,x. 2 3. x + y , z = x , z + y , z ; 4. x , x 0,其中其中 x，y，z 是為向量，是為向量，.為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 易知易知, x , y = xTy .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x = 0 時(shí)時(shí) x , x = 0. 定義定義 2 非負(fù)實(shí)數(shù)非負(fù)實(shí)數(shù)稱為稱為 n 維向量維向量 x 的長的長. 向量的長具有性質(zhì)：向量的長具有性質(zhì)：,.0 x1 ;.xx2 .yxyx3 長為長為 1 的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.若向量若向量 x 0 , .是是單單位位向向量量則則xx1 如果如果 x , y = 0 ，那么稱向量，那么稱向量 x 與與 y 正交正交.維單位向量維單位向量都是都是，例例3313131212100011 一組兩兩正交的非零向量一組兩兩正交的非零向量.;,0 x0 x 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)正交向量組正交向量組: 2n2221xxxxxx ,.,都正交都正交量量試求一個(gè)非零向量與向試求一個(gè)非零向量與向例例 121a111a221, 321xxxx設(shè)所求的向量為設(shè)所求的向量為解解 0 xx2x0 xxx321321 121111A 0 xxx231.即為所求即為所求取向量取向量 101x那么它應(yīng)滿足那么它應(yīng)滿足, 010101由由得得 規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組: 定理定理 1 正交向量組必線性無關(guān)正交向量組必線性無關(guān). 證證 設(shè)向量組設(shè)向量組 a1 , a2 , , ar 是正交向量組是正交向量組,使使r21 ,.0aaarr2211 左乘上式兩邊，得左乘上式兩邊，得以以T1a, 0aa1T11 ,0aaa0a211T11 ，所所以以因因?yàn)闉?01 因此必有因此必有 類似的可證類似的可證. 0r32 于是向量組于是向量組 a1 , a2 , , ar 線性無關(guān)線性無關(guān).線性無關(guān)，線性無關(guān)，向量組向量組例例 0110013但不為正交向量組但不為正交向量組. 向量組向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，當(dāng)且僅當(dāng)為規(guī)范正交向量組，當(dāng)且僅當(dāng) .,.,;,r21jiji0ji1eeji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 若有一組數(shù)若有一組數(shù) 由單位向量構(gòu)成的正交向量組由單位向量構(gòu)成的正交向量組. 設(shè)向量組設(shè)向量組 a1 , a2 , ar 線性無關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組線性無關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組 正交化正交化：;11ab 取取單位化單位化：.,rrr222111bb1ebb1ebb1e 取取于是，于是，e1 , e2 , , er 是規(guī)范正交向量組，是規(guī)范正交向量組，.,1r1r1rr1r222r2111r1rrbbbabbbbabbbbabab 且與且與 a1 , a2 , , ar ;,1112122bbbabab ;,222321113133bbbabbbbabab 等價(jià)等價(jià).e1 , e2 , , er 與與 a1 , a2 , , ar 等價(jià)等價(jià).,規(guī)范正交化規(guī)范正交化把向量組把向量組例例 111a111a421;11ab 正交化：取正交化：取解解 11131. 11232.,: 11261bb1e11131bb1e222111取取再單位化再單位化e1 , e2 即為所求即為所求. aaaaa 111a5 321321為正交向量組為正交向量組使使求向量求向量已知已知例例, 111 1111222bbbbaab, 正正交交都都與與向向量量因因?yàn)闉橄蛳蛄苛拷饨?32aa,a0 xxx321 取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系 101b011b32,再把再把b2 , b3正交化即為所求正交化即為所求a2 , a3 ., 011ba222223233aaababa, 101也就是取也就是取 定義定義 3 設(shè)設(shè) n 維向量維向量 e1 , e2 , , er 是向量空間是向量空間 V 的一個(gè)基的一個(gè)基,如果向量組如果向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，為規(guī)范正交向量組，則稱則稱 e1 , e2 , . , 01121. 21121向量組向量組 a1 , a2 , a3 是所求正交向量組是所求正交向量組.er 是是 V 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基.所以對齊次方程組所以對齊次方程組 定義定義 4 如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 那么稱那么稱 A 為正交矩陣為正交矩陣. n 階矩陣階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向的列（行）向 設(shè)設(shè)n 階矩陣階矩陣 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中其中 a1 , a2 , , an 是是 或者說或者說, n 階矩陣階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列的列 A為正交矩陣，即是為正交矩陣，即是 ATA = E ,cossinsincos , 2121021210001 010100001都是正交矩陣都是正交矩陣. 例例 6（行）向量組構(gòu)成向量空間（行）向量組構(gòu)成向量空間 Rn 的一個(gè)的一個(gè) 規(guī)范正交基規(guī)范正交基.A的列向量組的列向量組. 量組是規(guī)范正交向量組量組是規(guī)范正交向量組.由此可見，由此可見， A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向量的列（行）向量.,., n21jiji0;ji 1aajTi當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)亦即亦即 n21TnT2T1TaaaaaaAAE nTn2Tn1TnnT22T21T2nT12T11T1aaaaaaaaaaaaaaaaaa之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式與與變變量量變變量量n21n21yyyxxx, nnn22n11nnnn22221212nn12121111ypypypxypypypxypypypx.,的線性變換的線性變換到變量到變量叫做從變量叫做從變量n21n21xxxyyy組是規(guī)范正交向量組組是規(guī)范正交向量組. 定義定義 5 若若 P 為正交矩陣，則線性變換為正交矩陣，則線性變換 x = Py 稱為正交變換稱為正交變換. 線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣 ,nnijpP 于是線性變換（）于是線性變換（）就可以記為就可以記為x = Py., n21n21yyyyxxxx其中其中 cossinsincosyyxyyx12211 32332211y21y21xy21y21xyx都為正交變換都為正交變換. 例例 7 若若 線性變換線性變換 x = Py 為正交變換，為正交變換，a , b 為任意兩個(gè)向量為任意兩個(gè)向量.那么那么 .b,aPb,Pa 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?,b,abaPbPaPbPaPb,PaTTTT 特別的，特別的，.aPa 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 定義定義6 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，階矩陣， 和和 n 維維非零非零列向量列向量 p 1pAp0 ,的的特特征征值值稱稱為為方方陣陣那那么么數(shù)數(shù)A0 非零向量非零向量 p 稱為稱為 A 的對于特征值的對于特征值.的的特特征征向向量量0 nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaEA稱為稱為方陣方陣 A 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式.0EA 方程方程稱為稱為n 階矩陣階矩陣 A 的特征方程的特征方程. (1)式也可寫成式也可寫成 20pEA0 使得使得0 如果數(shù)如果數(shù)行列式行列式次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，的的是是n .)的的非非零零解解是是齊齊次次線線性性方方程程組組（的的特特征征向向量量0 xEAp00 求求 n 階方陣階方陣 A 的特征值與特征向量的方法：的特征值與特征向量的方法： 1 求出矩陣的求出矩陣的 A 特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式,.EA 即計(jì)算行列式即計(jì)算行列式特征值特征值. 的的就就是是根根的的解解特特征征方方程程方方程程A0EA2n21 , ，解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 xEA3i )( 它的它的非零解非零解都是都是.的的特特征征向向量量特特征征值值i 例例1 求矩陣求矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為于是，于是，,的的根根是是它它的的特特征征方方程程的的特特征征值值矩矩陣陣0EAA0 212201034011EA 所以，所以，A 的特征值為的特征值為 .,12321 由由時(shí)時(shí)，解解方方程程組組當(dāng)當(dāng). 0 xE2A21 001014013E2A得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 100p1,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)132 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù)., 000010001,11kp2的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以特特征征值值 101024012EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 121p2,232kp1的全部特征向量為的全部特征向量為所以特征值所以特征值 例例 2 求矩陣求矩陣 142252001A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 其中其中k是任意非零數(shù)是任意非零數(shù)., 000210101 213142252001EA 所以，所以，A 的特征值為的特征值為 .,13321 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)31 解方程組解方程組(A - 3E)x = 0.由由 442222002E3A得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 110p131 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 kp1 , ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)132 解方程組解方程組(A - E)x = 0. 由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù)., 000110001 242242000EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 101p012p32132 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 k p2 + l p3 , 其中數(shù)其中數(shù) 的特征值，的特征值，是方陣是方陣，設(shè)設(shè)定理定理A2m21 各各不不相相等等，如如果果m21 證證 對特征值的個(gè)數(shù)對特征值的個(gè)數(shù) m 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.由于特征向量是非零向量，由于特征向量是非零向量，所以，所以，m = 1 時(shí)定理成立時(shí)定理成立.量是線性無關(guān)的，量是線性無關(guān)的， 令令 p1 , p2 , pm 依次依次 為為m 個(gè)不等的特征值個(gè)不等的特征值.對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，m21 下面證明下面證明 p1 , p2 , pm p1 , p2 , pm , 000000121k, l不同時(shí)為零不同時(shí)為零.依次是與之對應(yīng)的特征向量依次是與之對應(yīng)的特征向量, 那么那么 p1 , p2 , pm 線性無關(guān)線性無關(guān).假設(shè)假設(shè) m 1 個(gè)不同的特征值的特征向個(gè)不同的特征值的特征向線性無關(guān)線性無關(guān).設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) x1 , x2 , , xm 使得使得 x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1)成立成立.兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(1m 20pxpxpxmmm1mm1m1m1. 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得 30pxpxpxmmm1m1m1m111. （3）式減（）式減（2）式得）式得.)()(0pxpx1mm1m1m1m11 根據(jù)歸納法假設(shè)，根據(jù)歸納法假設(shè)， p1 , pm -1 線性無關(guān)，線性無關(guān)，.)()(0 xxm1m1mm11 ,00m1mm1 但但所以所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0. 這時(shí)（這時(shí)（1）式變成，）式變成， xm pm = 0 . 因?yàn)橐驗(yàn)?pm 0，所以只有所以只有xm = 0 .這就證明了這就證明了p1 , p2 , pm 線性無關(guān)線性無關(guān). 歸納法完成，定理得證歸納法完成，定理得證.于是于是,的的特特征征值值是是設(shè)設(shè)例例A321 p1 , p2 依次是與之對應(yīng)的依次是與之對應(yīng)的 ,21 若若那么向量組那么向量組 p1 , p2 線性無關(guān)線性無關(guān)證證 設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) x1 , x2 使得使得 x1 p1 + x2 p2 = 0 (1)成立成立.兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(12 20pxpx222121. 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得 30pxpx222111. （3）式減（）式減（2）式得）式得.)(0px1121 ，因?yàn)橐驗(yàn)?p0112 所以所以 x1 = 0 . 這樣（這樣（1）式變成，）式變成， x2 p2 = 0 .因?yàn)橐驗(yàn)?p2 0，所以只有所以只有x2 = 0 . 這就證明了這就證明了p1 , p2 線性無關(guān)線性無關(guān).特征向量，特征向量，AA4 是是為為任任意意常常數(shù)數(shù)，證證明明的的特特征征值值，是是方方陣陣設(shè)設(shè)例例的特征值，的特征值，是是因?yàn)橐驗(yàn)樽C證A 所以有向量所以有向量 p 0 使，使，. pAp 于是，于是，.)()(ppA .的的特特征征值值是是所所以以A 求上三角矩陣求上三角矩陣 練練 習(xí)習(xí)的特征值與特征向量的特征值與特征向量. 100020321A的特征值的特征值 3 相似矩陣相似矩陣 定義定義 7 設(shè)設(shè) A , B 都是都是 n 階矩陣，階矩陣，P -1AP = B ,則稱則稱矩陣矩陣 A 與與 B 相似，相似， 可逆矩陣可逆矩陣 P 稱為把稱為把 A 變成變成 B 的相似變換的相似變換 則則 A 與與 B 的特征多項(xiàng)式相同的特征多項(xiàng)式相同,從而從而 A 與與 B 的特征值也相同的特征值也相同. 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?A與與 B 相似，相似， 故故PEPAPPEB11)( PEAP1)( PEAP1 .EA 定理定理 3 若若 n 階矩陣階矩陣 A與與 B 相似，相似， 所以有可逆矩陣所以有可逆矩陣 P，使，使 P -1AP = B , 若有可逆矩陣若有可逆矩陣P ，使，使證畢證畢.矩陣矩陣. n21 相似，相似，.個(gè)個(gè)特特征征值值的的即即為為，則則nAn21 ,個(gè)個(gè)特特征征值值的的即即是是對對角角矩矩陣陣，因因?yàn)闉樽C證nn21 由定理由定理 3 知，知，.個(gè)個(gè)特特征征值值的的也也就就是是，nAn21 定理定理 4 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是與對角矩陣相似的充分必要條件是: 定理定理4的證明的證明 如果可逆矩陣如果可逆矩陣 P, 使使 為為對對角角矩矩陣陣， APP1. PAP 若記矩陣若記矩陣 也就是也就是n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 推論推論 若若 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 推論推論 如果如果 n 階矩陣階矩陣A的特征值互不相等，的特征值互不相等， 則則A與對角矩陣相似與對角矩陣相似A 有有P = ( p1，p2 , , pn ) , A( p1 , p2 , , pn ) = ( p1 , p2 , , pn ) n21 即為即為 (A p1 , A p2 , , A pn ) = nn2211ppp ,.,n21ipApiii 于于是是有有，再由再由 P 是可逆矩陣便可知，是可逆矩陣便可知， 反之，如果反之，如果 n 階矩陣階矩陣 A 有有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量 p1 , p2 , , 于是，應(yīng)有數(shù)于是，應(yīng)有數(shù)使使，,n21 n21ipApiii, 以向量組以向量組 p1 , p2 , , pn 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣 P = ( p1，p2 , , pn ) , 則則P , PAP 且且構(gòu)成的對角構(gòu)成的對角，是以是以其中其中n21 矩陣，矩陣，, APP1也就是，也就是，即即 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似.p1 ,p2 , , pn 就是就是 A 的的 n 個(gè)線性個(gè)線性 其中其中 p1 , p2 , , pn 是是 P 的列向量組的列向量組, 就有就有為可逆矩陣，為可逆矩陣，無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量. pn , 2 例例1中的中的 3 階矩陣階矩陣 201034011A只有只有 2 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 2 例例2中的矩陣中的矩陣 142252001A是是 A 的特征值的特征值 3 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量, 110p1 所以它不可能與對角矩陣相似所以它不可能與對角矩陣相似., 101p012p32是是 A 的特征值的特征值 1 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量. P = ( p1 , p2 , p3 ) = 于是，于是， 3 階矩陣階矩陣A 恰有恰有 3 個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量 p1 , p2 , p3 ，則則 P 為可逆矩陣，且為可逆矩陣，且P -1A P = 101011120 113所以它能與對角矩陣相似所以它能與對角矩陣相似.令令 例例 1 判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似 112202213A解解 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 11222213EA|110222131 )( 1102221321)( 因此因此 A 的特征值為的特征值為.,10321 由由時(shí)時(shí)，解解方方程程組組當(dāng)當(dāng). 0 xE0A01 變換矩陣和對角矩陣變換矩陣和對角矩陣 112202213A 000110011得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,111p1 ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)132 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 212212212EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 0000001211/ 101p0121p32,/令令 1010111211P/則則 可逆矩陣可逆矩陣 P 為所求相似變換矩陣為所求相似變換矩陣, 且且 100010000APP1于是，于是，3 階矩陣階矩陣 A有有 3個(gè)個(gè)線性無關(guān)的特征向量，線性無關(guān)的特征向量，所以它能與對角所以它能與對角矩陣相似矩陣相似. 例例2 設(shè)設(shè) 2 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為1, 5, 與特征值對應(yīng)的特征與特征值對應(yīng)的特征 ,TT1211 求求 A . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2 階矩陣階矩陣 A 有有2個(gè)互異的特征值，個(gè)互異的特征值， 1121P取取應(yīng)有應(yīng)有 5001APP1所以所以1P5001PA 3131323150011121/ 1243 據(jù)定理據(jù)定理 4 的推論，的推論，A 能與對角矩陣相似能與對角矩陣相似.向量分別為向量分別為 例例3 社會(huì)調(diào)查表明，某地勞動(dòng)力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng)社會(huì)調(diào)查表明，某地勞動(dòng)力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng) 解解 到到2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞 542015141 5420195143 如果引入如果引入 2 階矩陣階矩陣201aaA12ij/),( 其中其中表示每年非農(nóng)從業(yè)表示每年非農(nóng)從業(yè)人員中有人員中有1/20改為從農(nóng)工作改為從農(nóng)工作. 43a21/ 表示每年從農(nóng)人員中有表示每年從農(nóng)人員中有3/4改為從事非農(nóng)工作改為從事非農(nóng)工作. 于是有于是有 20194320141A/業(yè)情況以及經(jīng)過多年之后該地勞動(dòng)力從業(yè)情況的發(fā)展趨勢業(yè)情況以及經(jīng)過多年之后該地勞動(dòng)力從業(yè)情況的發(fā)展趨勢員各占全部勞動(dòng)力的員各占全部勞動(dòng)力的1/5和和4/5，試預(yù)測到，試預(yù)測到2005年底該地勞動(dòng)力從年底該地勞動(dòng)力從人員中每年有人員中每年有3/4改為從事非農(nóng)工作，在非農(nóng)從業(yè)人員中每年有改為從事非農(nóng)工作，在非農(nóng)從業(yè)人員中每年有1/20改為從農(nóng)工作改為從農(nóng)工作. 到到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人動(dòng)力的百分比分別為動(dòng)力的百分比分別為 和和再引入再引入 2 維列向量維列向量,其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng)其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng) 5451x/表示到表示到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞如向量如向量那么，那么，2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作 545120194320141/于是，到于是，到2005年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比應(yīng)為勞動(dòng)力的百分比應(yīng)為, xA5 k 年后該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況可由年后該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況可由.而得而得計(jì)算計(jì)算xAk矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式Ax 100911009/ 5420195143542015141工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比工作人員各占全部勞動(dòng)力的百分比動(dòng)力的動(dòng)力的1/5 和和4/5人員各占全部勞動(dòng)力的百分比就可由下述運(yùn)算得出人員各占全部勞動(dòng)力的百分比就可由下述運(yùn)算得出511/ 求特征值求特征值對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的特征向量， 11得得12 求特征值求特征值對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的特征向量， 151得得, 15111P取矩陣取矩陣則則 P 為可逆矩陣，為可逆矩陣，./ 10051APP1所以所以.,/151A21 的的特特征征值值得得矩陣相似矩陣相似.)(|11520194320141EA , 11115161P1因?yàn)橐驗(yàn)閾?jù)定理據(jù)定理4的推論，的推論， A 能與對角能與對角且使得且使得,)/(/xP10051PxP10051PxA15155 151151115)/( 5451/ 11115161 類似的，第類似的，第 k 年底該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況為年底該地勞動(dòng)力的從業(yè)情況為 5451111151005115111161xAkk/)/( 66511155111161按此規(guī)律發(fā)展，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占按此規(guī)律發(fā)展，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞動(dòng)力的百分比趨于全部勞動(dòng)力的百分比趨于 1k1kkkkk511155111161545151515511155115151161 例例 4 如果如果 1011B1001A,于是于是 A 與與 B 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 相同，但相同，但 A 與與 B 不相似不相似. 21EBEA 特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似. 151161即即 ，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng)，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動(dòng) 100941006/力的力的6/100 和和 94/100.那么那么 4 對稱矩陣的相似矩陣對稱矩陣的相似矩陣定理定理5 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).p 為為 對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量. ppA 于是有于是有 , ppAppAppTTT pppAppApAppTTTTT 及及兩式相減，兩式相減，,)(0ppT 得得因?yàn)橐驗(yàn)?p0,0ppT 所所以以，故故 .為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)即即 的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值，是是實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)A21 , 則則 p1 與與 p2 正交正交.,21 若若p1, p2 依次依次是它們對應(yīng)的特征向量是它們對應(yīng)的特征向量.的的特特征征值值，是是實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)證證A 即即定理定理 6 定理定理 7 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對稱矩陣階對稱矩陣 , 線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量. . 0pp2T121 ，因?yàn)橐驗(yàn)?1 ,0pp2T1 故故即即 p1與與 p2 正交正交.的特征方程的的特征方程的是是A ，的的秩秩則則矩矩陣陣rnEAR EA )( 從從而而特特征征值值 恰有恰有 r 個(gè)個(gè))(1ppA111 因?yàn)橐驗(yàn)?A 是實(shí)對稱矩陣，是實(shí)對稱矩陣，2T11pp )( 所以所以2T1pAp )( 于是于是2T122T1ppApp )( 證證 由已知有由已知有r 重根重根,)(2ppA222 T1p以以 左乘（左乘（2）式的兩端得）式的兩端得)(2T1App2T11pp ，的的互互不不相相等等的的特特征征值值為為設(shè)設(shè)證證m21A 重?cái)?shù)依次為重?cái)?shù)依次為 r1 , r2 , , rm , 于是于是, r1 + r2 + + rm= n . 恰有恰有 ri 個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征 i 對對應(yīng)應(yīng)特特征征值值向量向量, 把它們正交單位化，即得把它們正交單位化，即得 ri 個(gè)單位正交的特征向量個(gè)單位正交的特征向量, i =1,2， , m .由由 r1 + r2 + + rm= n . 知這樣的特征向量恰有知這樣的特征向量恰有 n 個(gè)個(gè).又實(shí)對稱矩陣不等的特征值對應(yīng)的特征向量正交又實(shí)對稱矩陣不等的特征值對應(yīng)的特征向量正交( 根據(jù)定理根據(jù)定理6 )，故這故這 n 個(gè)特征向量構(gòu)成規(guī)范正交向量組個(gè)特征向量構(gòu)成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣 P ,它們的它們的定理定理 5及定理及定理 7 知，知，根據(jù)根據(jù) 則為則為 P 正交矩陣，正交矩陣， 并有并有 PAP1,mm11rr 個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的的對對角角元元素素含含其其中中對對角角矩矩陣陣恰恰 是是 A的的n 個(gè)特征值個(gè)特征值. 定理定理 8 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣階對稱矩陣，則必有正交矩陣 P ,使使 PAP1 其中其中是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣. APPP210120005A11，使，使，求一個(gè)正交矩陣，求一個(gè)正交矩陣設(shè)設(shè)例例的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為解解A. 531321 ，故的特征值故的特征值時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 000 xxx110110004321由由 210120005EA),)()( 531為對角矩陣為對角矩陣, 110 xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系.21210p1 單位化得單位化得時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)32 000 xxx310130000321由由時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)53 000 xxx110110002321由由, 110 xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系.21210p2 單位化得單位化得于是得正交矩陣于是得正交矩陣 P = ( p1, p2, p3 ) 0212102121100且使得且使得.531APPAPPT1 , 001xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 001p3單位化得單位化得 APPP111111111A21，使，使，求一個(gè)正交矩陣，求一個(gè)正交矩陣設(shè)設(shè)例例EA .,30321 故得特征值故得特征值,),0 xE0A021 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 101b011b21解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系將其規(guī)范正交化將其規(guī)范正交化. 111111111,)(23 解解 A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為為對角矩陣為對角矩陣,)0 xE3A33 （時(shí)，解齊次線性方程組時(shí)，解齊次線性方程組當(dāng)當(dāng) 1212101121101bbbbbbbbbbbbq11T12T121112122,再單位化得再單位化得 626161p02121p21,正交化：正交化： 取取, 011bq11于是得正交矩陣于是得正交矩陣 P = ( p1 , p2 , p3 ) 31620316121316121且使得且使得.300APPAPPT1 , 111解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 313131p3單位化得單位化得 5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 定義定義 8 n 個(gè)變量個(gè)變量 x1 , x2 , , x n 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù) f (x1 , x2 , , xn ) =)(,1xxa2xxa2xxa2n1nn1n31132112 稱為稱為二次型二次型.,aaijji 若取若取ijjijiijjiijxxaxxaxxa2 則則于是（于是（1）式可寫成）式可寫成f (x1 , x2 , , xn ) )(,2xxan1jijiij 2nnn22222111xaxaxa 對二次型對二次型 (1) ，記，記, nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaA n21xxxx則二次型則二次型 (1) 又表示為又表示為f (x1 , x2 , , xn )= xAxT其中其中 A 為對稱矩陣，為對稱矩陣， 叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 的矩陣，的矩陣，也把也把 f (x1 , x2 , , xn ) 叫做對稱矩陣叫做對稱矩陣 A 的二次型的二次型.對稱矩陣對稱矩陣 A 的秩，的秩， 叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = xTA x 的秩的秩. 二次型二次型 f (x1 , x2 , , xn )經(jīng)過可逆的線性變換經(jīng)過可逆的線性變換)(3ycycycxycycycxycycycxnnn22n11nnnn22221212nn12121111 即用即用(3) 代入代入 (1) ， 還是變成二次型還是變成二次型. 那么新二次型的矩陣與那么新二次型的矩陣與原二次型的矩陣原二次型的矩陣 A 的關(guān)系是什么？的關(guān)系是什么？ 可逆線性變換可逆線性變換 (3),記作記作x = C y , ).(ijcC 其中矩陣其中矩陣 f (x1 , x2 , , xn ) g(y1 , y2 , , yn ) x = C y 可逆線性變換可逆線性變換( AT = ) AB ( = BT ) C TAC = 把可逆的線性變換把可逆的線性變換 x = C y 代入二次型代入二次型 f = xTA x , 得二次型得二次型f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y 就是說，若原二次型的矩陣為就是說，若原二次型的矩陣為 A ， 那么新二次型的矩陣為那么新二次型的矩陣為其中其中 C 是所用可逆線性變換的矩陣是所用可逆線性變換的矩陣 定理定理 9 設(shè)有可逆矩陣設(shè)有可逆矩陣 C ,使使 B = CTAC ,如果如果 A為對稱矩陣，為對稱矩陣，則則B也為對稱矩陣，也為對稱矩陣， 且且R(A) = R(B) .CTAC ,即即 B 為對稱矩陣為對稱矩陣. 因?yàn)橐驗(yàn)?B = CTAC ， 所以所以R(B) R(AC) R(A) . 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?R(A) R( BC -1) R(B) , 故得故得 R(A) = R(B).A=( CT )1BC 1， 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?A 是對稱矩陣是對稱矩陣, 即即 AT = A，所以所以BT = ( CTAC )T = CTAT(CT )T = CTATC = B , 主要問題：求可逆的線性變換主要問題：求可逆的線性變換)(3ycycycxycycycxycycycxnnn22n11nnnn22221212nn12121111 將二次型將二次型 (1) 化為只含平方項(xiàng)，化為只含平方項(xiàng)，即用即用(3) 代入代入 (1) ，能使，能使f (x1 , x2 , , xn )(4ykykyk2nn222211 稱（稱（4）為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.),(,jiijn1jijiijaaxxaf 任任意意二二次次型型總有正交變換總有正交變換 x = Py，2nn222211yyyf .)(,的特征值的特征值的矩陣的矩陣是是其中其中ijn21aAf 使使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理 8 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣階對稱矩陣，則必有正交矩陣 P ,使使 APPPAPT1 其中其中是以是以 A 的的 n 個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣.定理定理 10也就是說，已知對稱矩陣也就是說，已知對稱矩陣A ，求一個(gè)可逆矩陣，求一個(gè)可逆矩陣C 使使 ACCT為對角矩陣為對角矩陣. 例例 1 用矩陣記號表示二次型用矩陣記號表示二次型 例例 2 求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換 x = Py，把二次型，把二次型23322121x2xx4xx2xf 解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 220201011 321321xxx220201011xxxf,那么那么23322221x2xx2x2x5f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 210120005A),)()( 531210120005EA它的特征多項(xiàng)式為它的特征多項(xiàng)式為. 531A321 ，的特征值為的特征值為于是于是,)(0 xEA11 時(shí)時(shí)，解解方方程程組組當(dāng)當(dāng) , 110 xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 21210p1單位化得單位化得,)(0E3A32 時(shí)，解方程組時(shí)，解方程組當(dāng)當(dāng) , 110 xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 21210p2單單位位化化得得,)0 xE5A53 時(shí)，解方程組（時(shí)，解方程組（當(dāng)當(dāng) , 001xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 001p3單位化得單位化得, 321321yyy0212102121100 xxx.232221y5y3yf 且有且有于是正交變換為于是正交變換為 例例 3 求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換 x = Py，把二次型，把二次型233222312121xxx2x21xx2xxx21f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣為 1111212112121A/它的特征多項(xiàng)式為它的特征多項(xiàng)式為)()( 211111212112121EA2.,21321 故故得得特特征征值值,),0 xEA121 解齊次線性方程組（解齊次線性方程組（時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 102b011b21解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系正交化：正交化： 取取, 011bq11 11101122102qbbbbbqbbbbbq11T12T121112122,再單位化得再單位化得 313131p02121p21,)(0 xE2A23 時(shí)時(shí)，解解方方程程組組當(dāng)當(dāng) , 211xxx321解得基礎(chǔ)解系解得基礎(chǔ)解系. 626161p3單單位位化化得得, 321321yyy62310613121613121xxx.232221y2yyf 且有且有于是正交變換為于是正交變換為 例例4 已知在直角坐標(biāo)系已知在直角坐標(biāo)系 o x1 x2中中, 二次曲線的方程為二次曲線的方程為1x2xx3x222121 試確定其形狀試確定其形狀 解解 先將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，先將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程， 也就是用正交變換把二次型也就是用正交變換把二次型222121x2xx3xf 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為 223231A/A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為,/453EA2 于是于是 A 的特征值為的特征值為./,/212521 可求得對應(yīng)的特征向量為可求得對應(yīng)的特征向量為., 13q31q21將它們單位化得將它們單位化得./,/ 2123p2321p21令令 2121yy21232321xx/就有就有.2221y21y25f 故在新坐標(biāo)系故在新坐標(biāo)系o y1 y2中該曲線的方程為中該曲線的方程為. 1y21y252221 這是一個(gè)橢圓這是一個(gè)橢圓其短、長半軸長分別為其短、長半軸長分別為.,21510121 y1y2 x1x206 用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形 例例1 化二次型化二次型233222312121x2xx2xxx2xx4xf 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣.233222312121x2xx2xxx2xx4xf ）（解解2332223223222321x2xx2xxx4xx4xx2x )(（2332222321x3xx6x3xx2x )(2322321xx3xx2x)()( 333223211xyxxyxx2xy令令 333223211yxyyxyy2yx即即就把就把 f 化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形,2221y3yf 例例2 化二次型化二次型323121xx3xxxxf 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣. 解解 令令 33212211yxyyxyyx代入，再配方可得代入，再配方可得32223121yyyyy3yf 322223231yyyy49y23y )( 100110121C 所用線性變換矩陣為所用線性變換矩陣為 33322311yzy21yzy23yz令令 33322311zyz21zyz23zy即即.232221z2zzf 就有就有所用變換矩陣為所用變換矩陣為 10011121110021102301100011011C23232231y2y21yy23y )()(2323232231y49y41y21yy23y )()( 7 正定二次型正定二次型 定理定理 11 設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型 f = xTAx的秩為的秩為 r , 若有實(shí)可逆變換若有實(shí)可逆變換 x = Cy 及及 x = Pz使使 定義定義 9 實(shí)二次型實(shí)二次型 f = xTAx 稱為正定二次型，如果對任何稱為正定二次型，如果對任何 xTAx 0 .正定二次型的矩陣稱為正定矩陣正定二次型的矩陣稱為正定矩陣. 定理定理 12 n 元實(shí)二次型元實(shí)二次型 f = xTAx 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的它的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)全為正個(gè)系數(shù)全為正.),(0kykykykfr2rr222211 則則k1 ,k2 , kr中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)與 r21 ,中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等 證證 設(shè)可逆變換設(shè)可逆變換 x = Cy 使使2nn222211ykykykCyfxf )()( x 0 , 都有都有),(0zzzfr2rr222211 和和因?yàn)橐驗(yàn)?C 是可逆矩陣是可逆矩陣,0 xCy1 所以所以故故)(sCef0ykykykCyfxf2nn222211 )()(即二次型為正定的即二次型為正定的.再證必要性再證必要性. 用反證法用反證法. 假設(shè)有假設(shè)有 ks0 ,則當(dāng)則當(dāng) y = es 時(shí)，時(shí)，其中其中es 是第是第 s 個(gè)分量為個(gè)分量為 1 其余分量都為其余分量都為 0 的的 n 維向量維向量., 0Ces 顯然顯然這與這與 f 為正定相矛盾為正定相矛盾 因而因而 ki 0 , i = 1 ,2 , n . 推論推論 對稱矩陣對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是為正定的充分必要條件是: A 的特征值全的特征值全 定理定理13 對稱矩陣對稱矩陣 A 為正定矩陣的充分必要條件是：為正定矩陣的充分必要條件是： 階主子式都為正階主子式都為正. 即即 .,0aaaaA0aaaa0ann1n1n112221121111 為正為正A 的各的各先證充分性先證充分性 . 設(shè)設(shè) ki 0 , i = 1 ,2 , n . 任給任給 x 0 ,0ks