第十二部分 銳角三角函數(shù) 51中

課題 銳角三角函數(shù) 51中 李欣中考要求具體要求知識(shí)與技能1.了解通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)。2.理解正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比。3.掌握30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出對(duì)應(yīng)的銳角的度數(shù)。過(guò)程與方法通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想。知識(shí)梳理1、三角函數(shù)定義。 sinA=, cosA=, tanA=2、 特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°sinAcosAtanA1典例解析例1 如圖，在RtABC中，C=90°，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值 解：如圖（1），在RtABC中，C=90°，據(jù)勾股定理AB = sinA=, cosA=, tanA= （余略）例2  求下列各式的值： (3)+tan60°-tan30°(3)+tan60°-tan30°=課堂檢測(cè)1. 計(jì)算(1)sin45°+cos45°=_；                 (2)sin30°·cos60°=_；=_；                 =_；    2. 填空 若tanA=1,則A = _°。3. 如圖，已知AB是O的直徑，點(diǎn)C、D在O上，且AB5，BC3則sinBAC= ；sinADC= 4. 三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sin的值是 A B C D 3題 4題 5題 6題5. 如圖，在直角ABC中，C90o，若AB5，AC4，則sinA（ ）A B C D6. 如圖，在RtABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD課后測(cè)評(píng)1. 在ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.sinA= B.cosB= C.tanA= D.tanB=2. 已知為等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，則cos等于（ ）A. B. C. D.3. 在RtABC中，C=90°，sinA=，則A=_4. 計(jì)算sin45°的結(jié)果等于_5. 在RtABC中，C=90°，sinA=，則cosB的值等于（ ）A. B. C. D.6. 在正方形網(wǎng)格中，ABC的位置如圖所示，則cosB的值為（ ）A. B. C. D.7. 如圖，已知一商場(chǎng)自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)l為10米，該自動(dòng)扶梯到達(dá)的高度h為6米，自動(dòng)扶梯與地面所成的角為，則tan的值等于（ ）A. B. C. D. 6題 7題 10題8. 等腰三角形的面積為40,底邊長(zhǎng)4,則底角的正切值為_(kāi)9. 在ABC中，若|sinA|+(1tanB)2=0，則C的度數(shù)是_10. 如圖，AB為O的直徑，CA切O于A，CB交O于D，若CD=2，BD=6，則sinB=（ ） A. B. C. D.中考鏈接1.（2014廣東汕尾）在RtABC中，C=90°，若sinA=，則cosB的值是（）ABCD2(2014天津市) cos60°的值等于（）ABCD3（2014溫州）如圖，在ABC中，C=90°，AC=2，BC=1，則tanA的值是 3題 6題4. （2014株洲）計(jì)算：+（3）0tan45°5.o（2015·江蘇常州）在ABC中，AB5，BC6，B為銳角且，則C的正弦值等于 A B C D6. （2015·湖南永州）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，則坡面AB的長(zhǎng)度是（ ）A15m B20m C20m D10mPOBA第7題7. (2015·屯溪)如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，O的半徑為1，P是O上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sinAP等于（ ）A B C D18. (2015·安徽省蚌埠市)如圖，直徑為10的A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)O (0,0)，B是y軸右側(cè)A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則 的值為( )A B C D 第5題圖9.（2015·山東省棗莊）在ABC中，A120°，AB4，AC2，則sinB的值是（）ABCD10.（2015·山東省）在ABC中，A120°，AB4，AC2，則sinB的值是（）ABCD課堂檢測(cè)1. ； ； 2. 30；45；60°；30°； 45   3. 4. 5. A      6. A課后測(cè)評(píng)1. A 2. A 3. 30° 4. 1 5. B 6. B 7. A 8. 10 9.75° 10. C中考鏈接1. 解：C=90°，A+B=90°，cosB=sinA，sinA=，cosB=故選B2.解：cos60°=故選A 3.解：tanA=，故答案為：4.解：原式=4+11=45.C 6.C 解：RtABC中，BC=10m，tanA=1：；AC=BC÷tanA=10m，=20m故選C7.B 8.C9.B.10.B課題 解直角三角形及其應(yīng)用中考要求具體要求1. 知識(shí)與技能理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系。掌握解直角三角形。靈活運(yùn)用運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。2. 過(guò)程與方法通過(guò)解直角三角形的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。3.情感與態(tài)度實(shí)踐理論實(shí)踐的認(rèn)識(shí)過(guò)程，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性 ，用豐富有趣的實(shí)際問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。知識(shí)梳理1、RtABC中，C=90°，a、b、c、A、B這五個(gè)元素間有以下關(guān)系(1)邊角之間關(guān)系 如果用表示直角三角形的一個(gè)銳角，那上述式子就可以寫(xiě)成.(2)三邊之間關(guān)系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)銳角之間關(guān)系 A+B=90°2、仰角、俯角當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線(xiàn)與水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫做仰角，在水平線(xiàn)下方的角叫做俯角 3、坡度與坡角 坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即，把坡面與水平面的夾角叫做坡角4、 方位角典例解析例1 在ABC中，C為直角，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b= a=，解這個(gè)三角形解：在ABC中，C為直角，據(jù)勾股定理 c = tanA= A=60° B=90°-60°=30°例2 如圖 ，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角=16°31，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離(精確到1米)（參考數(shù)據(jù)：sin=0.2843 cos=0.9588 tan=0.2962)解：在RtABC中sinB=AB=4221(米) 答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為4221米例3  正午10點(diǎn)整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，距離等于10海里的A處，正以每小時(shí)10海里的速度向南偏東60°方向航行那么漁輪到達(dá)小島O的正東方向是什么時(shí)間？(精確到1分)解：由圖可知，AOB=60°，OAB=90°AB=OAtan60°=1017.32(海里).從點(diǎn)A行到B點(diǎn)所需時(shí)間為1.732小時(shí)1小時(shí)44分答：船到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間為1小時(shí)44分例4 同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題請(qǐng)你解決：如圖水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求壩底寬AD的長(zhǎng)(精確到0.1m)解：作BEAD，CFAD，在RtABE和RtCDF中， AE=3BE=3×23=69(m)FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m) AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m) 答：壩底寬AD的長(zhǎng)約為132.5米。課堂檢測(cè)1. ABC中，C=90°，AB=8，cosA=，則BC的長(zhǎng) 2. 在RtABC中，C90°，B35°，AB7，則BC的長(zhǎng)為（ ） A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35°3. 在ABC中，C=90°，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，下列各式成立的是（ ）A.b=a·sinB B.a=b·cosB C.a=b·tanB D.b=a·tanB4、如圖，在菱形ABCD中，DEAB于點(diǎn)E，cosA=，BE=4，則tanDBE的值是 4題 5題5. （2014株洲）孔明同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離500米處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身高因素），則此塔高約為 米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°0.3420，sin70°0.9397，tan20°0.3640，tan70°2.7475）6. （2014邵陽(yáng)）一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時(shí)的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時(shí)間（溫馨提示：sin53°0.8，cos53°0.6） 6題 7題7. （2014德州） 如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為（）A4米B6米C12米D24米課后測(cè)評(píng)1.（2014浙江湖州）如圖，已知RtABC中，C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長(zhǎng)是（）A2B8C2D42. AD是ABC的高，AD=BD=1，DC=，則BAC=_ 1題 4題 5題3. 已知，在ABC中，A= 45°，AC= ，AB= +1，則邊BC的長(zhǎng)為_(kāi)4. 如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹(shù)AB的頂部A的仰角為45°，測(cè)得大樹(shù)AB的底部B的俯角為30°，已知平臺(tái)CD的高度為5m，則大樹(shù)的高度為 m（結(jié)果保留根號(hào)）5. 如圖，在ABC中，A=30°，B=45°，AC=，則AB的長(zhǎng)為 6. 河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長(zhǎng)為（）A12 B4米 C5米 D6米7. 如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60°方向的B處（1）求漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示）；（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45） 6題 7題中考鏈接1.(2015.道里一模)如圖，已知射線(xiàn)MN表示一艘輪船的航行路線(xiàn)，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|300，在M的南偏東600方向上有一點(diǎn)A，A處到M處為80海里 (1)求點(diǎn)A到航線(xiàn)MN的距離； (2)在航線(xiàn)MN上有點(diǎn)B，且MABB=150，若輪船的速度為40海里/時(shí)，求輪船從M處到B處所用時(shí)間為多少分鐘(結(jié)果保留到整數(shù)位，參考數(shù)據(jù)：=1732)2.（2015·湖南永州）如圖，我縣某校新建了一座陶鑄雕塑，小林站在距離雕塑2.7米的A處自B點(diǎn)看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30°，求塑像CD的高度（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）3. （ 2014廣東）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹(shù)CD的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上）請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù)CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）4. （2013欽州）如圖，某大樓的頂部樹(shù)有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為60°沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米（i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）（1）求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；（2）求廣告牌CD的高度（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）5.(2014哈爾濱中考) 如圖，AB、CD為兩個(gè)建筑物，建筑物AB的高度為60米，從建筑物AB的頂點(diǎn)A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂點(diǎn)C點(diǎn)的俯角EAC為30°，測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角EAD為45°（1）求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度；（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）6. （2014揚(yáng)州）如圖，已知AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A3B4C5D6 5題 6題7. （2014孝感）如圖，在ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交成的銳角為，若AC=a，BD=b，則ABCD的面積是（）AabsinBabsinCabcosDabcos 7題 8題*8. （2014揚(yáng)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD29. （2014上海）如圖，已知RtABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AECD，AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值10. （2014株洲）如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，EFAB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AFBF）（1）求證：ACEAFE；（2）求tanCAE的值11. （2014泰州）如圖，BD是ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、AB上，且DEAB，EFAC（1）求證：BE=AF；（2）若ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積參考答案課堂檢測(cè)1解：cosA=，AC=ABcosA=8×=6，BC=2故答案是：22. C 3. B4.解：四邊形ABCD是菱形，AD=AB，cosA=，BE=4，DEAB，設(shè)AD=AB=5x，AE=3x，則5x3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在RtADE中，由勾股定理得：DE=8，在RtBDE中，tanDBE=2，故答案為：25. 解：在RtABC中，AB=500米，BAC=20°，=tan20°，BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）故答案為：1826. 解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于D在RtACD中，ADC=90°，CAD=30°，AC=80海里，CD=AC=40海里在RtCBD中，CDB=90°，CBD=90°37°=53°，BC=50（海里），海警船到大事故船C處所需的時(shí)間大約為：50÷40=（小時(shí)）7.解：在RtABC中，=i=，AC=12米，BC=6米，根據(jù)勾股定理得：AB=6米，故選B課后測(cè)評(píng)1.解：tanA=，AC=4，BC=2，故選A2.105° 3.24.解：作CEAB于點(diǎn)E，在RtBCE中，BE=CD=5m，CE=5m，在RtACE中，AE=CEtan45°=5m， AB=BE+AE=（5+5）m故答案為：（5+5）5.解：過(guò)C作CDAB于D，ADC=BDC=90°，B=45°，BCD=B=45°，CD=BD，A=30°，AC=2，CD=，BD=CD=，由勾股定理得：AD=3，AB=AD+BD=3+故答案為：3+6.解答：解：RtABC中，BC=6米，=1：，則AC=BC×=6，AB=12故選A7.解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MDAB于點(diǎn)D，AME=45°，AMD=MAD=45°，AM=180海里，MD=AMcos45°=90（海里），答：漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離是90海里；（2）在RtDMB中，BMF=60°，DMB=30°，MD=90海里，MB=60，60÷20=3=3×2.45=7.357.4（小時(shí)），答：漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為7.4小時(shí)中考鏈接1.解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AKMN于K，在點(diǎn)M的正南方向取點(diǎn)PM到N的走向?yàn)槟掀珫|30°，A在M的南偏東60°方向上 PMB=30°，PMA=60°AMK=30 °在RtAMK中 sinAMK= 即AK=40 A到航線(xiàn)MN的距離為40海里.(第24題圖)（2） 在RtAMK中 tanAMK= 即MK=40ABK=AMK+MAB=30°+15°=45° BAK=90°ABK=45°ABK=BAK BK=AK=40BM=MKBK=4040 (4040) ÷40=11.7321=0.732（小時(shí)）0.732×60=43.9244（分鐘）2.解：在RtDEB中，DE=BEtan45°=2.7米，在RtCEB中，CE=BEtan30°=0.9米，則CD=DECE=2.70.91.2米，故塑像CD的高度大約為1.2米3.解：CBD=A+ACB，ACB=CBDA=60°30°=30°，A=ACB，BC=AB=10（米）在直角BCD中，CD=BCsinCBD=10×=55×1.732=8.7（米）答：這棵樹(shù)CD的高度為8.7米4.解：（1）過(guò)B作BGDE于G，RtABF中，i=tanBAH=，BAH=30°，BH=AB=5；（2）由（1）得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15，RtBGC中，CBG=45°，CG=BG=5+15RtADE中，DAE=60°，AE=15，DE=AE=15CD=CG+GEDE=5+15+515=20102.7m答：宣傳牌CD高約2.7米5.解：解答：解：（1）根據(jù)題意得：BDAE，ADB=EAD=45°，ABD=90°，BAD=ADB=45°，BD=AB=60，兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度為60米；（2）延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F，根據(jù)題意得四邊形ABDF為正方形，AF=BD=DF=60，在RtAFC中，F(xiàn)AC=30°，CF=AFtanFAC=60×=20，又FD=60，CD=6020，建筑物CD的高度為（6020）米6.解：過(guò)P作PDOB，交OB于點(diǎn)D，在RtOPD中，cos60°=，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故選C7.解：過(guò)點(diǎn)C作CEDO于點(diǎn)E，在ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交成的銳角為，AC=a，BD=b，sin=，EC=COsin=asin，SBCD=CE×BD=×asin×b=absin，ABCD的面積是：absin×2=absin故選；A8.解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，ABBC，ADCD，BAD=60°在RtABC與RtADC中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC=BAD=30°，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60°，MAN是等邊三角形，MN=AM=AN=2，過(guò)M點(diǎn)作MEON于E，設(shè)NE=x，則CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=， ME=，tanMCN= 故選A9.解：（1）ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90°，B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB；（2）sinB，AC：AB=1：，CD=，AB=2，由勾股定理得AC=2，則CE=1，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=310.（1）證明：AE是BAC的平分線(xiàn)，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE與RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=11.（1）證明：DEAB，EFAC，四邊形ADEF是平行四邊形，ABD=BDE，AF=DE，BD是ABC的角平分線(xiàn)，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EHBD于點(diǎn)H，ABC=60°，BD是ABC的平分線(xiàn)，ABD=EBD=30°，DG=BD=×6=3，BE=DE，BH=DH=BD=3，BE=2，DE=BE=2，四邊形ADEF的面積為：DEDG=6銳角三角函數(shù) 第 22 頁(yè) 共 22 頁(yè)