黑龍江省虎林高級中學高三數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式課件 新人教A版選修45

數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證明明不不等等式式第第四四講講 .,|sin|sin|:,., NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例如例如等式等式數(shù)多個正整數(shù)相關的不數(shù)多個正整數(shù)相關的不就出現(xiàn)了與無就出現(xiàn)了與無為表達這樣的關系為表達這樣的關系關系成立關系成立都有某種不等都有某種不等任意正整數(shù)任意正整數(shù)的的或不小于某個數(shù)或不小于某個數(shù)任意正整數(shù)任意正整數(shù)對于對于人們會遇到這樣的情況人們會遇到這樣的情況在數(shù)學研究中在數(shù)學研究中.,數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法方法方法用一種重要的數(shù)學推理用一種重要的數(shù)學推理我們將使我們將使式的證明式的證明這一講將討論這類不等這一講將討論這類不等數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法一一 .?, 97531753153131121531證明你的結論證明你的結論嗎嗎的結果的結果你能猜出你能猜出通過計算下面式子通過計算下面式子思考思考nn ?.:,怎樣證明它呢怎樣證明它呢由此猜想由此猜想別是別是上面四個式子的結果分上面四個式子的結果分nnnn11215315432 .,.,.:成證明成證明通過驗證的方法無法完通過驗證的方法無法完所以所以證證我們無法對它們一一驗我們無法對它們一一驗但是正整數(shù)是無限多個但是正整數(shù)是無限多個時這個等式成立時這個等式成立甚至甚至雖然我們可以驗證雖然我們可以驗證任何正整數(shù)時都成立任何正整數(shù)時都成立為為在在要證不等式要證不等式這個問題的特點是這個問題的特點是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方法法能能夠夠處處理理完完無無限限多多個個對對就就驟驟必必須須尋尋找找一一種種有有限限個個步步要要證證明明這這個個問問題題.,;,.,.都能全部倒下都能全部倒下不論有多少塊骨牌不論有多少塊骨牌后后最最塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導致第就可導致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下而第而第塊骨牌倒下塊骨牌倒下就可導致第就可導致第塊骨牌倒下塊骨牌倒下由于第由于第塊骨牌塊骨牌只要推倒第只要推倒第這樣這樣骨牌倒下骨牌倒下則一定導致后一塊則一定導致后一塊若前一塊骨牌倒下若前一塊骨牌倒下骨牌骨牌兩塊兩塊碼放時保證任意相鄰的碼放時保證任意相鄰的放骨牌的游戲放骨牌的游戲這是一種碼這是一種碼戲說起戲說起我們先從多米諾骨牌游我們先從多米諾骨牌游 32211:,件有兩個件有兩個使所有骨牌都倒下的條使所有骨牌都倒下的條可以看出可以看出 ;第一塊骨牌倒下第一塊骨牌倒下1 .,:,.,塊也倒下塊也倒下相鄰的第相鄰的第倒下時倒下時塊塊當?shù)诋數(shù)谙迪凳聦嵣暇褪且粋€遞推關事實上就是一個遞推關條件條件其中其中倒下倒下一塊一塊前一塊倒下一定導致后前一塊倒下一定導致后任意相鄰的兩塊骨牌任意相鄰的兩塊骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保證證21., 1321kk一一隊隊到到大大依依次次排排列列為為無無限限長長由由小小我我們們設設想想將將全全部部正正整整數(shù)數(shù)類類比比多多米米諾諾骨骨牌牌游游戲戲 .,成成立立式式即即這這時時等等的的左左右右兩兩邊邊都都等等于于等等式式時時當當可可以以驗驗證證 111n ., ,的的自自動動遞遞推推關關系系由由前前到到后后的的諾諾骨骨牌牌那那樣樣則則可可以以建建立立一一種種像像多多米米也也成成立立式式時時等等能能推推出出成成立立時時等等式式若若從從可可以以想想象象 12knkn :,這這個個等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一種種證證明明綜綜合合21 ;成成立立時時等等式式首首先先證證明明 11 n .中中的的遞遞推推關關系系然然后后證證明明 2 .,:,;,成成立立等等式式對對于于任任意意正正整整數(shù)數(shù)就就可可以以說說下下去去如如此此繼繼續(xù)續(xù)自自動動遞遞推推成成立立時時等等式式遞遞推推出出成成立立時時等等式式再再由由成成立立時時等等式式遞遞推推出出成成立立為為起起點點時時等等式式就就可可由由完完成成以以上上兩兩步步后后 nnnnn3221 : 證明等式證明等式下面按照上述思路具體下面按照上述思路具體 .,成立時等式即這左右兩邊都等于式時當證明 111n .,kkkknkk112153112 即成立時等式假設當 .,的左右兩邊時式再考慮在這個假設下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左邊 11211 kkk 111 kk.右邊 .成立時等式所以當 1kn . Nnnnnn1121531 可知由21 ,.:.,;,:,都成立都成立命題命題正整數(shù)正整數(shù)對于從起點向后的所有對于從起點向后的所有由這兩步保證由這兩步保證的遞推關系的遞推關系由前向后由前向后證明證明然后然后先作歸納假設先作歸納假設第二步第二步立的一個起點立的一個起點從而奠定了命題成從而奠定了命題成時命題成立時命題成立證明證明第一步第一步我們用了兩個步驟我們用了兩個步驟總結上述過程總結上述過程 Nnn1:,下兩個步驟下兩個步驟可以用以可以用以都成立時都成立時的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)對于不小于某個對于不小于某個當要證明一個命題當要證明一個命題一般地一般地nn0 ;時命題成立時命題成立證明當證明當01nn .,時命題也成立時命題也成立證明證明時命題成立時命題成立且且假設當假設當120 knnkNkkn .,inductionalmathematicn法稱為法稱為這種證明方這種證明方的所有正整數(shù)都成立的所有正整數(shù)都成立不小于不小于就可以斷定命題對于就可以斷定命題對于在完成這兩個步驟后在完成這兩個步驟后0數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法?,基本思想是什么基本思想是什么你認為數(shù)學歸納法的你認為數(shù)學歸納法的結合上面的證明結合上面的證明思考思考;,.,.,水水沒有它遞推就成無源之沒有它遞推就成無源之后面遞推的出發(fā)點后面遞推的出發(fā)點成為成為時命題成立時命題成立第一步確定了第一步確定了可可缺一不缺一不這兩步都非常重要這兩步都非常重要二步是假設與遞推二步是假設與遞推第第第一步是奠基第一步是奠基驟中驟中在數(shù)學歸納法的兩個步在數(shù)學歸納法的兩個步00nnnn .,成證明成證明從而完從而完以后的每一個正整數(shù)以后的每一個正整數(shù)數(shù)無限傳遞到數(shù)無限傳遞到向后一個數(shù)一個向后一個數(shù)一個開始開始的范圍就能從正整數(shù)的范圍就能從正整數(shù)立立成成命題命題借助它借助它推關系推關系一種遞一種遞確認確認第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是數(shù)學歸納法的以上就是數(shù)學歸納法的握上握上的把的把在對有限情況在對有限情況沒有它我們就只能停留沒有它我們就只能停留的關鍵的關鍵限的飛躍限的飛躍遞推是實現(xiàn)從有限到無遞推是實現(xiàn)從有限到無因此因此,.歸納法的基本過程下面的框圖表示了數(shù)學 .,命題成立對所有的0nnNnn 奠基假設與遞推 .:時命題成立證明 Nnnn001 .,:時命題也成立則時命題成立若證明120 knnkkn.,?到到較較好好的的效效果果用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法可可能能會會收收的的方方法法證證明明如如果果不不易易用用以以前前學學習習過過相相關關的的命命題題數(shù)數(shù)整整些些與與無無限限多多個個正正對對于于一一呢呢題題用用于于證證明明什什么么樣樣的的命命學學歸歸納納法法適適數(shù)數(shù)?,為為什什么么為為何何值值應應取取對對于于全全體體正正整整數(shù)數(shù)都都成成立立明明某某命命題題如如果果要要用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證思思考考0n .:整除整除能被能被證明證明例例6512 Nnnn .,;,整除整除被被也能夠也能夠證明證明整除的前提下整除的前提下夠被夠被能能即在假設即在假設第二步應明確目標第二步應明確目標命題成立命題成立時時第一步應證第一步應證若用數(shù)學歸納法證明若用數(shù)學歸納法證明正整數(shù)正整數(shù)體體它涉及全它涉及全的命題的命題除有關除有關這是一個與整這是一個與整分析分析615165133 kkkkn .,命題成立整除顯然能夠被時當證明65112nnn .,整除夠被能即命題成立時假設當65123kkkkn 551331511233 kkkkkkkn,時當 633523 kkkk . 61353 kkkk .,.,命題成立時當因此整除能夠被即從而整除能夠被故是偶數(shù)而整除能夠被由假設知161516135613165333 knkkkkkkkkkkkk .,整除能夠被即命題對一切正整數(shù)成立知由65213 Nnnn.,牢牢記記在在心心的的目目標標證證明明把把要要注注意意使使用用歸歸納納假假設設在在證證明明歸歸納納遞遞推推時時 .?,.,證證明明你你的的結結論論這這樣樣的的直直線線共共有有多多少少條條直直線線過過這這些些點點中中任任意意兩兩點點作作都都不不在在同同一一條條直直線線上上其其中中任任意意三三點點個個點點平平面面上上有有例例32 nNnn.:,猜猜想想成成立立然然后后再再用用數(shù)數(shù)學學歸歸法法證證明明歸歸納納出出一一個個猜猜想想形形中中可可以以先先從從有有限限個個點點的的情情分分析析.,條的直線共有這樣個點中任意兩點作直線過時當解333 n.,.,.,條直線個點共有過因此條共有作直線中任意一個點與點過條直線有過點記它為個點共有時當334334443213214321 PPPPPPPPPPPn,.,21432154321655PPPPPPPPPPPn過條直線的基礎上的在過點同前記它為個點共有時當 .,.,條直線個點共有過因此條共有作直線中任意一個點與點43354543 PPP .,下面用數(shù)學歸納法證明條共有作直線中任意兩點任意三點不共線個點過我們猜想1211433 nnnn .,命題成立由上述過程知時當31 n .,)(,條這樣的直線共有中任意兩點作直線三點不共線任意個點即過命題成立時假設12132 kkkkkn .,.,;,),(,1112112121211211112111121121 kkkkkkkkkkkPkkkkPPPkPPPPkknkkkk的直線共有這樣個點中任意兩點作直線過這因此條這樣的直線共有作直線個點意一點與第個點中任過這條這樣的直線共有線中任意兩點作直個點過三點不共線任意個點共有時當.時命題成立所以當1 kn .,條線共有相應的直個點對于可知由121321 nnnNnn?,作作用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法有有什什么么特特殊殊你你認認為為結結合合上上述述證證明明過過程程思思考考 .,躍躍到到無無限限的的飛飛實實現(xiàn)現(xiàn)了了由由有有限限證證驗驗代代了了難難以以實實現(xiàn)現(xiàn)的的無無限限取取推推遞遞奠奠基基和和它它用用有有限限的的步步驟驟有有力力工工具具個個正正整整數(shù)數(shù)相相關關的的命命題題的的與與無無限限多多數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法是是證證明明一一些些21