第一部分題型專項(xiàng)練壓軸題提分練(一)

壓軸題提分練（一） 1. （2018威海模擬）已知橢圓 C: 2 2 x y 孑+ b2= i@> b> 0)的離心率為 且過點(diǎn) ，③ ,動(dòng)直線I: y= kx+ m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A, B,且OA OB= 0（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1） 求橢圓C的方程. （2） 討論3m2 — 2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由. 解析：（1）由題意可知C = ¥，所以a2= 2c2= 2（a2 — b2），即a2 = 2b2,① a 2 又點(diǎn)p（¥，中）在橢圓上，所以有4^+4b2=1，② 2 2 由①②聯(lián)立，解得b = 1， a = 2, 2 故所求的橢圓方程為2+y2= 1. (2)設(shè) A(x1, y1)，B(X2, y2)，由 OA OB= 0, 可知 X1X2 + y〔y2 = 0. y= kx+ m, 聯(lián)立方程組x2 2 G+y =1, 2 2 2 消去y化簡(jiǎn)整理得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m — 2 = 0, . 2 2 2 2 /口 2 2 十「、‘ 4km 由△= 16k m — 8(m —1)(1 + 2k )>0,得 1+ 2k >m ,所以 X1 + x2 = — 2, X1x2 1+ 2k 2 2m2 — 2 2 1 + 2k2 又由題知X1X2 + y1y2= 0, 即 X1X2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = 0, 2 2 整理為(1+ k )x1x2 + km(x1 + X2)+ m = 0. 2 2 2m — 2 4km 2 將③代入上式，得(1 + k ) 2 — km + m = 0. 1 + 2k2 1+ 2k2 2 2 3m — 2 — 2k 2 2 2 1+ 2k2 化簡(jiǎn)整理得 —=0,從而得到3m2 — 2k2 = 2. 2 2 2. (2018 南寧二中模擬)設(shè)函數(shù) f(x)= — a lnx+x — ax(a€ R). (1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; ⑵設(shè)(Kx) = 2x+ (a2— a)ln € R)有兩個(gè)不相等的實(shí)根 xi , X2,證明 h' 解析：(1)由 f(x) = — a2ln x+ x2 — ax,可知 2 2 2 a 2x 一 ax一 a f' (x)= —— + 2x— a= x 2x+ a x— a x . 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+x)，所以, ①若a>0,當(dāng)x€0, a)時(shí)，f' (x)v0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xG(a, +^)時(shí), >0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; ②若a = 0時(shí)，f' (x) = 2x>0在xq0,+8)內(nèi)恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; ③若av0,當(dāng)xq0,— a ,f' (x)v0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x€(—2 時(shí)，f' (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 2 (2)證明：由題可知 h(x) = f(x) + K(x) = x + (2 — a)x— aln x(x> 0), 2 a 2x + 2— ax— a 2x— a x+ 1 所以 h (x) = 2x+ (2 — a) — x= 入 所以當(dāng) x€0, |)時(shí)，h' (x)v0； 當(dāng) xq|,+8)時(shí)，h' (x)>0「x="2時(shí)，h' © x1 + x2 欲證h' (一^ )>0,只需證h'( x1 + x2 a a ~^~) >h'⑥，又 h〃(x)二 2+ 子>0,即 h' (x) x,記 h(x)= f(x) + K(x),當(dāng) a>0 時(shí)，若方程 h(x) = m(m Xi + X2 a 單調(diào)遞增，故只需證明 >|. 設(shè)xi, X2是方程h(x) = m的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為 0<xi<X2, + , 21 2 X f njjyn 則 aln xi= m, aln X2= m, 2 2 兩式相減并整理得 a(xi — X2+ In xi— In X2)= xi — X2 + 2xi — 2x2, 2 2 Xi — X2+ 2xi — 2x2 從而a = xi — x2+ In xi — In x2 2 2 故只需證明 2 xi — x2 + In xi — In X2 xi + x2 xi — X2+ 2xi — 2x2 2 2 X1 — X2+ 2xi — 2X2 即 Xi + X2> .(*) xi — X2 + In xi — In X2 因?yàn)?xi — X2+ In xi — In X2V0, 2xi — 2x2 所以(*)式可化為In xi — In X2V Xi + X2 即 InXi< xi Li 因?yàn)?0<Xi<X2,所以 0<：< i, 不妨令t=予，所以得到In t<2^~2, t qo,i). X2 t+ i 記 R(t) = In t— 2t^, tqo,i)，所以 R' (t) = f — 匕=上 i 2>0,當(dāng)且僅當(dāng) t t+ i t (t+ i)2 t(t + if =i時(shí)，等號(hào)成立，因此R(t)在(0,i)單調(diào)遞增. 又 R(i)= 0,因此 R(t)<0, tqo,i). 2t — 2 故 Intv , tqo,i)得證, t+1 X1 + X2 從而h' (—2 )>0得證.