2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.2 隨機(jī)事 件的頻率與概率大題狂練 文

命題角度3.2 隨機(jī)事件的頻率與概率 1.隨機(jī)抽取了40輛汽車在經(jīng)過路段上某點(diǎn)時(shí)的車速（km/h），現(xiàn)將其分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如圖所示的頻率分布直方圖. （Ⅰ）現(xiàn)有某汽車途經(jīng)該點(diǎn)，則其速度低于80km/h的概率約是多少？ （Ⅱ）根據(jù)直方圖可知，抽取的40輛汽車經(jīng)過該點(diǎn)的平均速度約是多少？ （Ⅲ）在抽取的40輛且速度在（km/h）內(nèi)的汽車中任取2輛，求這2輛車車速都在（km/h）內(nèi)的概率. 【答案】（I）；（II）（km/h）；（III）. 試題解析：（Ⅰ）速度低于80km/h的概率約為： . （Ⅱ）這40輛小型車輛的平均車速為： （km/h）， （Ⅲ）車速在內(nèi)的有2輛，記為車速在內(nèi)的有4輛，記為，從中抽2輛，抽法為共15種， 其中車速都在內(nèi)的有6種，故所求概率. 2.一汽車廠生產(chǎn)三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）： 轎車 轎車 轎車 舒適型 100 150 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛． （I）求的值； （II）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； （III）用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，設(shè)樣本平均數(shù)為，求的概率． 【答案】（I）400；（II）；（III）． 試題解析： （I）設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車輛，由題意得，所以． 則2000－（100＋300）－（150＋450）－600＝400． （II）設(shè)所抽樣本中有輛舒適型轎車，由題意，得． 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車． 用表示2輛舒適型轎車，用表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10個(gè)． 事件的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ，共7個(gè)． 故，即所求概率為． 3.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表： 若抽取學(xué)生人，成績(jī)分為（優(yōu)秀），（良好），（及格）三個(gè)等次，設(shè)分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與地理成績(jī)，例如：表中地理成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的共有（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榈燃?jí)且地理成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的共有8人.已知與均為等級(jí)的概率是. （1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是，求的值； （2）已知，，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榈燃?jí)的人數(shù)比等級(jí)的人數(shù)多的概率. 【答案】（1）（2） 試題解析：（1），∴，故 而 所以 （2）且由得 則的所有可能結(jié)果為，，...共有18種，可能結(jié)果為，...共有8種，則所求. 點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法 (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目. 4.某中學(xué)為了解高中入學(xué)新生的身高情況，從高一年級(jí)學(xué)生中按分層抽樣共抽取了50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，分組統(tǒng)計(jì)后得到了這50名學(xué)生身高的頻數(shù)分布表： （Ⅰ）在答題卡上作出這50名學(xué)生身高的頻率分布直方圖； （Ⅱ）估計(jì)這50名學(xué)生身高的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （Ⅲ）現(xiàn)從身高在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求至少抽到1名女生的概率. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）估計(jì)這50名學(xué)生身高的方差為80；（Ⅲ） . 試題解析：（Ⅰ）這50名學(xué)生身高的頻率分布直方圖如下圖所示： （Ⅱ）由題意可估計(jì)這50名學(xué)生的平均身高為 . 所以估計(jì)這50名學(xué)生身高的方差為 . 所以估計(jì)這50名學(xué)生身高的方差為80. （Ⅱ）記身高在的4名男生為， ， ， ，2名女生為， . 從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生的情況有： ， ， ， ， ,,,,,,,, ,,,,,,,共20個(gè)基本事件. 其中至少抽到1名女生的情況有： ,,,,, ,,,,,,,, ,,共16個(gè)基本事件. 所以至少抽到1名女生的概率為（Ⅰ）這50名學(xué)生身高的頻率分布直方圖如下圖所示： （Ⅲ）記身高在的4名男生為， ， ， ，2名女生為， . 從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生的情況有： ， ， ， ， ,,,,,,,, ,,,,,,,共20個(gè)基本事件. 其中至少抽到1名女生的情況有： ,,,,, ,,,,,,,, ,,共16個(gè)基本事件. 所以至少抽到1名女生的概率為. 5.如圖是某市2017年3月1日至16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于表示空氣重度污染. （1）若該人隨機(jī)選擇3月1日至3月14日中的某一天到達(dá)該市，到達(dá)后停留天（到達(dá)當(dāng)日算天)，求此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)為天的概率； （2）若該人隨機(jī)選擇3月7日至3月12日中的天到達(dá)該市，求這天中空氣質(zhì)量恰有天是重度污染的概率. 【答案】（1）（2） (2) 記3月7日至3月12日中重度污染的天為，另外天記為，則天中選天到達(dá)的基本事件如下： ， 共種，其中天恰有天是空氣質(zhì)量重度污染包含 這個(gè)基本事件，故所求事件的概率為. 6.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文樂隊(duì)理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個(gè)同軌班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人） （1）能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？ （2）經(jīng)過多次測(cè)試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在5—7分鐘，小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在6—8分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率； 【答案】（1）見解析；（2）. 7.某學(xué)校在一次第二課堂活動(dòng)中，特意設(shè)置了過關(guān)智力游戲，游戲共五關(guān)．規(guī)定第一關(guān)沒過者沒獎(jiǎng)勵(lì)，過關(guān)者獎(jiǎng)勵(lì)件小獎(jiǎng)品（獎(jiǎng)品都一樣）．下圖是小明在10次過關(guān)游戲中過關(guān)數(shù)的條形圖，以此頻率估計(jì)概率． (Ⅰ)求小明在這十次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)的均值； (Ⅱ)規(guī)定過三關(guān)者才能玩另一個(gè)高級(jí)別的游戲，估計(jì)小明一次游戲后能玩另一個(gè)游戲的概率； (Ⅲ)已知小明在某四次游戲中所過關(guān)數(shù)為{2,2,3,4}，小聰在某四次游戲中所過關(guān)數(shù)為{3,3,4,5}，現(xiàn)從中各選一次游戲，求小明和小聰所得獎(jiǎng)品總數(shù)超過10的概率． 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) ； (Ⅲ) 試題解析： (Ⅰ)小明的過關(guān)數(shù)與獎(jiǎng)品數(shù)如下表： 過關(guān)數(shù) 0 1 2 3 4 5 獎(jiǎng)品數(shù) 0 1 2 4 8 16 小明在這十次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)的均值為 ； (Ⅱ)小明一次游戲后能玩另一個(gè)游戲的概率約為； (Ⅲ)小明在四次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)為{2,2,4,8}， 小聰在四次游戲中所得獎(jiǎng)品數(shù)為{4,4,8,16}， 現(xiàn)從中各選一次游戲，獎(jiǎng)品總數(shù)如下表： 2 2 4 8 4 6 6 8 12 4 6 6 8 12 8 10 10 12 16 16 18 18 20 24 共16個(gè)基本事件，總數(shù)超過10的有8個(gè)基本事件，故所求的概率為． 8.某銷售公司為了解員工的月工資水平，從1000位員工中隨機(jī)抽取100位員工進(jìn)行調(diào)查，得到如下的頻率分布直方圖： （1）試由此圖估計(jì)該公司員工的月平均工資； （2）該公司工資發(fā)放是以員工的營(yíng)銷水平為重要依據(jù)來確定的，一般認(rèn)為，工資低于4500。元的員工屬于學(xué)徒階段，沒有營(yíng)銷經(jīng)驗(yàn)，若進(jìn)行營(yíng)銷將會(huì)失敗;高于4500元的員工是具備營(yíng)銷成熟員工，基進(jìn)行營(yíng)銷將會(huì)成功?，F(xiàn)將該樣本按照“學(xué)徒階段工資”、“成熟員工工資”分成兩層，進(jìn)行分層抽樣，從中抽出5人，在這5人中任選2人進(jìn)行營(yíng)銷活動(dòng)?；顒?dòng)中，每位員工若營(yíng)銷成功，將為公司贏得3萬元，否則公司將損失1萬元。試問在此次比賽中公司收入多少萬元的可能性最大？ 【答案】（1）（2）收入2萬元的可能性最大. 試題解析：（1）由此圖估計(jì)該公司員工的月平均工資： 元. （2）抽取比為， 從工資在[1500,4500)區(qū)間內(nèi)抽人，設(shè)這兩位員工分別為1,2；從工資在[4500,7500]區(qū)間內(nèi)抽人，設(shè)這三位員工分別為. 從中任選2人，共有以下10種不同的等可能結(jié)果：（1,2），， ， . 兩人營(yíng)銷都成功，公司收入6萬元，有以下3種不同的等可能結(jié)果： ；概率為； 其中一人營(yíng)銷成功，公司收入為2萬元，有以下6種不同的等可能結(jié)果： ， ，概率為； 兩人營(yíng)銷都失敗，公司收入-2萬元，即損失2萬元，有1種結(jié)果：（1,2），概率為. ∵，∴收入2萬元的可能性最大. 9.某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r(shí)間（單位：小時(shí)），如果?？繒r(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，以此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表： ?？繒r(shí)間 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 輪船數(shù)量 12 12 17 20 15 13 8 3 （Ⅰ）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r(shí)間為小時(shí)，求的值； （Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？啃r(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率． 【答案】（1）4；（2） 答：這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率為． 10. 在測(cè)試中，客觀題難題的計(jì)算公式為，其中為第題的難度， 為答對(duì)該題的人數(shù)， 為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示： 測(cè)試后，從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對(duì)，“×”表示答錯(cuò)）： （1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表，并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)； （2）從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人答對(duì)第5題的概率； （3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度， 為第題的預(yù)估難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理. 【答案】(1)見解析，24 (2) （3）該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的. 試題解析： (1) 每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表： 所以，估計(jì)120人中有人答對(duì)第5題. (2) 記編號(hào)為的學(xué)生為（），從這5人中隨機(jī)抽取2人，不同的抽取方法有10種. 其中恰好有1人答對(duì)第5題的抽取方法為，共6種. 所以，從抽樣的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名答對(duì)至少4道題的學(xué)生，恰好有1人答對(duì)第5題的概率為. （3）為抽樣的10名學(xué)生中第題的實(shí)測(cè)難度，用作為這120名學(xué)生第題的實(shí)測(cè)難度. 因?yàn)?，所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的. 13