中考數(shù)學(xué) 第38課時(shí) 直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用課件 北師大版

第38課時(shí) 直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用一、直角三角形的邊角關(guān)系一、直角三角形的邊角關(guān)系在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A,B,CA,B,C所對的邊分別記為所對的邊分別記為a,b,ca,b,c. .1.1.三邊之間的關(guān)系：三邊之間的關(guān)系：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .2.2.銳角之間的關(guān)系：銳角之間的關(guān)系：A+B=90A+B=90. .3.3.邊角之間的關(guān)系：邊角之間的關(guān)系：sinA=cosBsinA=cosB= ;= ;cosA=sinB= ;tanAcosA=sinB= ;tanA= = .= = .acbc1tanBab二、解直角三角形二、解直角三角形在直角三角形中由已知元素求在直角三角形中由已知元素求_的過程的過程. .三、用直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程三、用直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程1.1.將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題( (畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題三角形的問題) )；2.2.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用三角函數(shù)去解直角三角形；根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用三角函數(shù)去解直角三角形；3.3.得出數(shù)學(xué)問題的答案；得出數(shù)學(xué)問題的答案；4.4.得到實(shí)際問題的答案得到實(shí)際問題的答案. .未知元素未知元素【核心點(diǎn)撥【核心點(diǎn)撥】1.1.解直角三角形：解直角三角形：除直角外，其余的五個(gè)元素只需知道兩個(gè)除直角外，其余的五個(gè)元素只需知道兩個(gè)( (必須有一條邊必須有一條邊) )，即，即可解三角形可解三角形; ;只知道兩角不能解三角形只知道兩角不能解三角形. .2.2.解直角三角形的應(yīng)用：解直角三角形的應(yīng)用：要熟悉數(shù)學(xué)中常見的要熟悉數(shù)學(xué)中常見的“名詞名詞”，如方位角、仰角、俯角、坡度、，如方位角、仰角、俯角、坡度、坡角等坡角等. 【即時(shí)檢驗(yàn)【即時(shí)檢驗(yàn)】1.1.在在RtRtABCABC中，中，CC9090：（1 1）當(dāng)）當(dāng)c c2020，AA6060，則，則a=a=_；（2 2）當(dāng)）當(dāng)b b3535，AA4545，則，則a=a=_；（3 3）當(dāng)）當(dāng) 則則A=A=_. .10 33535BC5AC15，30302.2.如圖所示，一水庫迎水坡如圖所示，一水庫迎水坡ABAB的坡度的坡度 則該坡的坡角則該坡的坡角=_度度i1 3 ，3030 解直角三角形解直角三角形【例【例1 1】（】（20122012溫州中考）某海濱浴溫州中考）某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線場東西走向的海岸線可近似看作直線l（如圖）（如圖）. .救生員甲在救生員甲在A A處的瞭望臺(tái)上處的瞭望臺(tái)上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B B處處有人發(fā)出求救信號(hào)有人發(fā)出求救信號(hào). .他立即沿他立即沿ABAB方向徑方向徑直前往救援，同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙，乙馬上直前往救援，同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙，乙馬上從從C C處入海，徑直向處入海，徑直向B B處游去處游去. .甲在乙入海甲在乙入海1010秒后趕到海岸線上秒后趕到海岸線上的的D D處，再向處，再向B B處游去處游去. .若若CD=40CD=40米，米，B B在在C C的北偏東的北偏東3535方向，甲、方向，甲、乙的游泳速度都是乙的游泳速度都是2 2米米/ /秒秒. .問誰先到達(dá)問誰先到達(dá)B B處？請說明理由處？請說明理由. .（參（參考數(shù)據(jù)：考數(shù)據(jù)：sin55sin550.82,cos550.82,cos550.57,tan550.57,tan551.431.43）【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】【自主解答【自主解答】由題意得由題意得BCD=55BCD=55,BDC=90,BDC=90, , BD=CD BD=CDtanBCDtanBCD=40=40tan55tan5557.257.2（米）（米）. . 70.2 70.2（米），（米）， =38.6( =38.6(秒），秒）， =35.1=35.1（秒），（秒），t t甲甲t t乙乙. .答：乙先到達(dá)答：乙先到達(dá)B B處處. .BDBC 據(jù)三角函數(shù)求，計(jì)算甲、乙二人用的時(shí)間 結(jié)論BDtan BCD,CDCDCD40cos BCD,BCBCcos BCDcos5557.2t102甲70.2t2乙【規(guī)律總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】直角三角形解法的三種類型直角三角形解法的三種類型在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,A，B,CB,C所對的邊分別記為所對的邊分別記為a,b,ca,b,c. .1.1.已知一個(gè)銳角已知一個(gè)銳角AA和一條直角邊和一條直角邊a a時(shí)，則時(shí)，則B=90B=90-A-A，2.2.已知兩直角邊已知兩直角邊a a，b.b.則則 由由 可求可求AA，則，則B=90B=90-A.-A.3.3.已知一斜邊已知一斜邊c c和一銳角和一銳角AA，則，則B=90B=90-A-A，a=ca=csinAsinA, ,b=cb=ccosAcosA( (或或 ).).22aac,b(bca ).sinAtanA或22cab，atanAb，22bca【對點(diǎn)訓(xùn)練【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.1.（20122012綿陽中考）已知綿陽中考）已知ABCABC，C C=90=90， D D是是ACAC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，CBD=CBD=AA，則，則sinABDsinABD=( )=( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)1tanA2，351053103 1010【解析【解析】選選A A如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)D D作作DEABDEAB，垂，垂足為足為E E，設(shè)，設(shè)BC=2xBC=2x，C=90C=90， AC=4xAC=4x，由勾股定理可知，由勾股定理可知C=90C=90，tanCBD=tanAtanCBD=tanA= CD=x= CD=x，由勾股定理可知，由勾股定理可知 A=AA=A，ADEADEABCABC， 故選故選A A 1tanA2，AB2 5x.12，BD5x.DEADBCAB，3 5DEx5，3 5x35sin ABD55x2.2.（20122012嘉興中考）如圖，嘉興中考）如圖，A A，B B兩兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量這兩點(diǎn)之間的點(diǎn)在河的兩岸，要測量這兩點(diǎn)之間的距離，測量者在與距離，測量者在與A A同側(cè)的河岸邊選同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)定一點(diǎn)C C，測出，測出AC=aAC=a米，米，A=90A=90，C=40C=40，則，則ABAB等于等于( )( )米米（A A）asin40asin40 （B B）acos40acos40（C C）atan40atan40 （D D）【解析【解析】選選C.C.在在RtRtABCABC中，中，AB=atan40AB=atan40. .atan40ABtanC,AC3.3.（20122012安徽中考）如圖，在安徽中考）如圖，在ABCABC中，中，A=30A=30,B=45,B=45, , 求求ABAB的長的長. .【解析【解析】如圖，作如圖，作CDAB,CDAB,垂足為垂足為D D，在在RtRtACDACD中，中， A=30 A=30, ,AD=ACAD=ACcos30cos30= =在在RtRtBCDBCD中，中，AC2 3,AC2 3,32 32 33,CD3.22CD3,B45 ,BD3ABADBD33.，【特別提醒【特別提醒】解直角三角形時(shí)兩注意解直角三角形時(shí)兩注意1.1.解直角三角形時(shí)，選擇關(guān)系式原則解直角三角形時(shí)，選擇關(guān)系式原則(1)(1)盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；(2)(2)設(shè)法選擇便于計(jì)算的關(guān)系式，若能用乘法計(jì)算就避免用除法設(shè)法選擇便于計(jì)算的關(guān)系式，若能用乘法計(jì)算就避免用除法計(jì)算計(jì)算. .2.2.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(1)(1)從全等的角度看，一個(gè)三角形只要具備全等的條件，這個(gè)三從全等的角度看，一個(gè)三角形只要具備全等的條件，這個(gè)三角形就可以求解角形就可以求解. .(2)(2)當(dāng)三角形不是直角三角形時(shí)，可以通過作高構(gòu)造直角三角形當(dāng)三角形不是直角三角形時(shí)，可以通過作高構(gòu)造直角三角形. . 仰角、俯角問題仰角、俯角問題【例【例2 2】(10(10分）（分）（20112011宿遷中考）如圖，為了測量某建筑物宿遷中考）如圖，為了測量某建筑物CDCD的高度，先在地面上用測角儀自的高度，先在地面上用測角儀自A A處測得建筑物頂部的仰角處測得建筑物頂部的仰角是是3030，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100 m100 m，此時(shí)自，此時(shí)自B B處處測得建筑物頂部的仰角是測得建筑物頂部的仰角是4545已知測角儀的高度是已知測角儀的高度是1.5 m1.5 m，請你計(jì)算出該建筑物的高度（取請你計(jì)算出該建筑物的高度（取 結(jié)果精確到結(jié)果精確到1 m1 m）3 1.732，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè)設(shè)CECEx mx m，在，在RtRtBCEBCE中，中，CBE=45CBE=45，BEBE_m m，AEAE( (_)m.)m.3 3分分在在RtRtAECAEC中，中，tanCAEtanCAE ，tan30tan30 ，即，即 = = 4 4分分解得解得x x_. .6 6分分x xx x100100CEAExx100 xx10033，50 50 3經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn)_是原方程的解是原方程的解. .7 7分分CDCDCECEEDED_+1.5=+1.5=_1.51.5_(m).(m).9 9分分答：該建筑物的高度約為答：該建筑物的高度約為_ m. m.1010分分x50 50 3 50 50 3136.6136.6138138138138【自主歸納【自主歸納】1.1.仰角與俯角仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫_，視線在水平線下方的角叫視線在水平線下方的角叫_( (如圖如圖).).仰角仰角俯角俯角2.2.解答有關(guān)仰角、俯角問題的基本思路解答有關(guān)仰角、俯角問題的基本思路習(xí)慣上分兩步，先在一個(gè)直角三角形中利用一個(gè)三角函數(shù)建立習(xí)慣上分兩步，先在一個(gè)直角三角形中利用一個(gè)三角函數(shù)建立邊的關(guān)系，再在另一個(gè)直角三角形中利用三角函數(shù)邊的關(guān)系，再在另一個(gè)直角三角形中利用三角函數(shù)_求求解解. .列方程列方程【對點(diǎn)訓(xùn)練【對點(diǎn)訓(xùn)練】4.4.（20122012株洲中考）數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，株洲中考）數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，老師布置同學(xué)們測量學(xué)校旗桿的高度老師布置同學(xué)們測量學(xué)校旗桿的高度. .小民小民所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部1010米的地米的地方，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為方，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為6060，則旗桿的高度是則旗桿的高度是_米米. .【解析【解析】1010tan60tan60= = （米）（米）. .答案：答案：10310 310 35.5.（20122012鹽城中考）如圖所示鹽城中考）如圖所示, ,當(dāng)小華站立在鏡子當(dāng)小華站立在鏡子EFEF前前A A處時(shí)處時(shí), ,他看自己的腳在鏡中的像的俯角為他看自己的腳在鏡中的像的俯角為4545；如果小華向后退；如果小華向后退0.50.5米到米到B B處處, ,這時(shí)他看自己的腳在鏡中的像的俯角為這時(shí)他看自己的腳在鏡中的像的俯角為3030. .求小華求小華的眼睛到地面的距離的眼睛到地面的距離.(.(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.10.1米米, ,參考數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù): ): )31.73【解析【解析】設(shè)設(shè)AC=x mAC=x m，則在，則在RtRtCAACAA1 1中，中，CACA1 1A=45A=45, ,AC=AAAC=AA1 1=x,=x,又在又在RtRtDBDB1 1B B中，中，DBDB1 1B=30B=30, ,tanDBtanDB1 1B=B=BBBB1 1= =由對稱性知：由對稱性知：AE=AAE=A1 1E E，BE=BBE=B1 1E E，BBBB1 1=AA=AA1 1+1,+1,即即解得解得 小華的眼睛到地面的距離約為小華的眼睛到地面的距離約為1.4 m.1.4 m.1DB3,BB33x.3xx1,31x1.4,2【技巧點(diǎn)撥【技巧點(diǎn)撥】仰角與俯角常見的兩類基本圖形仰角與俯角常見的兩類基本圖形1.1.存在一個(gè)存在一個(gè)3030的直角三角形和一個(gè)的直角三角形和一個(gè) 4545的等腰直角三角形的等腰直角三角形. .2.2.存在兩個(gè)存在兩個(gè)3030的直角三角形和一個(gè)等腰三角形的直角三角形和一個(gè)等腰三角形. . 坡度、坡角、坡比問題坡度、坡角、坡比問題【例【例3 3】（】（20112011隨州中考）如圖，防洪大堤的橫斷面是梯隨州中考）如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形，背水坡形，背水坡ABAB的坡比的坡比 （指坡面的鉛直高度與水平寬度的（指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），且比），且ABAB20 m20 m身高為身高為1.7 m1.7 m的小明站在大堤的小明站在大堤A A點(diǎn)，測得高點(diǎn)，測得高壓電線桿頂端點(diǎn)壓電線桿頂端點(diǎn)D D的仰角為的仰角為3030已知地面已知地面CBCB寬寬30 m30 m，求高壓，求高壓電線桿電線桿CDCD的高度（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，的高度（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字， ）i1 331.732【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】由由i i的值求得大堤的高度的值求得大堤的高度h h，以及點(diǎn)，以及點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)B B的水平的水平距離距離a a，從而求得，從而求得MNMN的長度，由仰角求得的長度，由仰角求得DNDN的高度，從而由的高度，從而由DNDN，AMAM，h h求得高度求得高度CDCD【自主解答【自主解答】設(shè)大堤的高度設(shè)大堤的高度h h，以及點(diǎn)，以及點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)B B的水平距離的水平距離a a， 坡坡ABAB與水平面的角度為與水平面的角度為3030， 即得即得即得即得MNMNBC+aBC+a（30+ 30+ ）m m，3i3，hsin30AB，1ahAB10 mcos302AB，3aAB10 3 m2，10 3測得高壓電線桿頂端點(diǎn)測得高壓電線桿頂端點(diǎn)D D的仰角為的仰角為3030，解得：解得：DNDN +1027.32+1027.32（m m），），CDCDDN+AM+hDN+AM+h27.32+1.7+1027.32+1.7+1039.0239.039.0239.0（m m）答：高壓電線桿答：高壓電線桿CDCD的高度約為的高度約為39.0 m39.0 mDNtan30 .MN10 3【規(guī)律總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】坡度與坡角坡度與坡角1.1.坡面的鉛直高度坡面的鉛直高度h h和水平寬度和水平寬度l的比叫做坡度的比叫做坡度( (或叫做坡比或叫做坡比) )，用字母用字母i i表示表示. .2.2.把坡面與水平面的夾角叫做坡角把坡面與水平面的夾角叫做坡角( (記作記作)，則，則i itantan. .【對點(diǎn)訓(xùn)練【對點(diǎn)訓(xùn)練】6.6.（20122012廣安中考）如圖，某水庫廣安中考）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡堤壩橫斷面迎水坡ABAB的坡比是的坡比是堤壩高堤壩高BC=50 mBC=50 m，則迎水坡面，則迎水坡面ABAB的長的長度是度是( )( )（A A）100 m 100 m （B B） （C C）150 m 150 m （D D） 【解析【解析】選選A.A.迎水坡迎水坡ABAB的坡比是的坡比是 BC=50 m,BC=50 m,AB=100 m.AB=100 m.1 3 ，100 3m50 3m1 3 ，AC50 3 m,7.7.（20112011蘭州中考）某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜蘭州中考）某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度坡的坡度 壩外斜坡的坡度壩外斜坡的坡度i=11i=11，則兩個(gè)坡角的和為，則兩個(gè)坡角的和為_._.【解析【解析】壩內(nèi)斜坡的坡度壩內(nèi)斜坡的坡度 若設(shè)該坡的坡角為若設(shè)該坡的坡角為，則，則 則則=30=30，壩外斜坡的坡度，壩外斜坡的坡度i=11i=11，若設(shè)該坡，若設(shè)該坡的坡角為的坡角為，則，則tantan=1=1，=45=45，所以，所以+=75=75答案：答案：7575i1 3 ，i1 3 ，3tan3 ，8.8.（8 8分）（分）（20122012麗水中考）學(xué)校麗水中考）學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡，經(jīng)測量，坡角校園內(nèi)有一小山坡，經(jīng)測量，坡角ABC=30ABC=30，斜坡，斜坡ABAB長為長為1212米米. .為方為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，使斜坡便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，使斜坡BDBD的坡比為的坡比為1313（即為（即為CDCD與與BCBC的長度之比），的長度之比），A A，D D兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開挖后兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度小山坡下降的高度AD.AD.【解析【解析】在在RtRtABCABC中，中，ABC=30ABC=30，斜坡斜坡BDBD的坡比是的坡比是1313，答：開挖后小山坡下降的高度答：開挖后小山坡下降的高度ADAD為為 米米. .13ACAB6BCABcos ABC126 3.22，1CDBC2 3ADACCD62 3.3，62 3（）【特別提醒【特別提醒】坡度與坡角問題需要注意的三個(gè)問題坡度與坡角問題需要注意的三個(gè)問題1.1.坡度是一個(gè)比值，而不是斜坡的角度；坡度是一個(gè)比值，而不是斜坡的角度；2.2.坡度是反映了斜坡的傾斜程度；坡度是反映了斜坡的傾斜程度；3.3.坡度涉及坡的鉛直高度與水平寬度，所以常過坡的頂端向水坡度涉及坡的鉛直高度與水平寬度，所以常過坡的頂端向水平面作高平面作高. .