2017年 江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2017屆 江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題考試用時(shí)：120分 全卷滿(mǎn)分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 3. 已知變量呈現(xiàn)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則變量是（ ）A線(xiàn)性正相關(guān)關(guān)系 B由回歸方程無(wú)法判斷其正負(fù)相關(guān)關(guān)系 C線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系 D不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系 4. 若直線(xiàn)過(guò)三角形內(nèi)心（三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心），則“直線(xiàn)平分三角形周長(zhǎng)”是“直線(xiàn)平分三角形面積”的（ ） 條件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要5. 如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，輸出，則（ ）A+為，的和 B和分別是，中最大的數(shù)和最小的數(shù) C為，的算術(shù)平均數(shù) D和分別是，中最小的數(shù)和最大的數(shù)6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D7. 若一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，且已知該幾何體的體積為 ，則其表面積為（ ） A. B. C. D. 8. 已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最大值（ ） A2 B4 C5 D69. 已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于 三點(diǎn)，則的面積是（ ） A. B. C. D.10. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，則（） A B C D11. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理敘述道 :“夫疊棋成立積，緣 冪勢(shì)既同，則積不容異?！币馑际牵簥A在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè) 平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積 相等。其最著名之處是解決了“牟合方蓋”中的體積問(wèn)題，其核心過(guò)程為：如下圖正方 體 ，求圖中四分之一圓柱體和四分之一圓柱體 公共部分的體積 ，若圖中正方體的棱長(zhǎng)為2，則（ ） （在高度 處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為 ，截得正方體所得面積為 ，截得錐體所得面積為 ， ，） A B C D12. 設(shè)、分別為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，則取得最小值時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率為（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分.13二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)為 14如右圖所示矩形邊長(zhǎng)，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則從矩形內(nèi)任取一點(diǎn)落在拋物線(xiàn)與邊圍成的封閉區(qū)域（包含邊界上的點(diǎn)）內(nèi)的概率是 15. 已知向量滿(mǎn)足：，且，若，其中且，則最小值是 16已知銳角中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿(mǎn)足：，則的取值范圍是 三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. （本小題滿(mǎn)分12分）數(shù)列滿(mǎn)足，（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18. （本小題滿(mǎn)分12分）2016年11月20日-22日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國(guó)際馬拉松賽事，賽后某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運(yùn)動(dòng)員，政府官員，組織者，志愿者等）對(duì)此項(xiàng)賽事的滿(mǎn)意度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若滿(mǎn)意度不低于9.5分，則稱(chēng)該被調(diào)查者的滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極滿(mǎn)意”的概率；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極滿(mǎn)意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在棱臺(tái)中，與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，平面平面，四邊形為直角梯形，點(diǎn)為的重心，為中點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，求證：/平面；（2）若直線(xiàn)與所成角為，試求二面角的余弦值.20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于 兩點(diǎn)，若且（1）求橢圓的方程；（2）已知圓為原點(diǎn)，圓與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)與軸分別交于點(diǎn)求證：為常數(shù).21.（本小題滿(mǎn)分12分）若總有則稱(chēng)為與在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”.（1）求證：是和在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”；（2）函數(shù)，若存在最大整數(shù)使得在恒成立，求的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（）寫(xiě)出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為（），過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，若，求的弦長(zhǎng)23.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講選修4-5：不等式選講設(shè)，（）（1）求證：；（2）若不等式對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2017屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案一、選擇題1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD12.詳解：解析：設(shè)點(diǎn)則，所以，即，又，即，所以，則，令則，考查函數(shù)，由，知時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得唯一極小值即為最小值，此時(shí)，所以二、填空題13. 14. 15. 16. 16.詳解：由得，則，所以，可化為，則，又為銳角三角形，所以，又，所以，則，所以，解得三、解答題17.解：（1）由，得，即，所以為等差數(shù)列，且···································5(分) （2）因?yàn)椋?#183;······························8(分)所以，則·······12(分)18.解：（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75 ·······································2(分) （2）由莖葉圖可知，滿(mǎn)意度為“極滿(mǎn)意”的人有4人。設(shè)表示所取3人中有個(gè)人是“極滿(mǎn)意”，至多有1人是“極滿(mǎn)意”記為事件， ································6(分) （3）從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極滿(mǎn)意”的人的概率為，故依題意可知，從該顧客群體中任選1人，抽到“極滿(mǎn)意”的人的概率.的可能取值為0，1，2，3； ·······························9(分) 所以的分布列為 . 另解：由題可知， 所以=.·····················12(分)19.解：（）連延長(zhǎng)交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以又，所以，所以/；···················3(分)為中點(diǎn)，為中點(diǎn), /,又/，所以/，得四點(diǎn)共面/平面··································6(分)（）平面平面，平面，連接易得，以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)， ，因?yàn)榕c所成角為，所以，得，··············8(分)設(shè)平面的法向量，則，取，平面的法向量，所以二面角的余弦值····················12(分)20.解：(1)設(shè)，則， 則有，解得·······················3(分)，于是，在中，所以，所以，橢圓的方程為.········6(分)(2)由條件可知、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則，所以，直線(xiàn)的方程為，······················9(分)令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo).于是，所以，為常數(shù)····················12(分)21.解：（1）證明：令，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上為減函數(shù)，因此，故···················2(分)再令，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，故是和在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”···················5(分)（2） 由（1）知.又，···················7分)令解得，易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則···················9(分)又在存在使得，故在上先減后增，則有，則，所以，則····················12(分)22.解析：（1）由（為參數(shù)），得，即，所以···················5(分)（2）設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是，（2）聯(lián)立方程可得，所以，且，所以，則或，所以···················10(分)23.解析：（1） ····················4(分)（2）即，化簡(jiǎn)或或解得或，即為所求····················10(分)- 12 -