高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第3章 第66課 課時分層訓練10

課時分層訓練(十) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x2＋y2＝9相交，公共弦MN的長為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標與準線方程． [解]　由題意，設(shè)拋物線方程為x2＝2ay(a≠0)． 設(shè)公共弦MN交y軸于A，則MA＝AN， 且AN＝. ∵ON＝3，∴OA＝＝2， ∴N(，±2)． ∵N點在拋物線上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±， 故拋物線的方程為x2＝y(tǒng)或x2＝－y. 拋物線x2＝y(tǒng)的焦點坐標為， 準線方程為y＝－. 拋物線x2＝－y的焦點坐標為， 準線方程為y＝. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p， 則x1x2＝＝4， 因為·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2， 則拋物線的方程為y2＝4x. (2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 設(shè)AB的中點為M， 則AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.① 又AB＝|y1－y2|＝.② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±， 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 3．(2017·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點F，直線l：x＝－，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡方程C； (2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當M運動時，弦長TS是否為定值？請說明理由. 【導學號：62172352】 [解]　(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP， 所以RQ是線段FP的垂直平分線． 因為|PQ|是點Q到直線l的距離．點Q在線段FP的垂直平分線上，所以PQ＝QF. 故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2＝2x(x>0)． (2)弦長TS為定值．理由如下：取曲線C上一點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0， 圓的半徑r＝MA＝， 則TS＝2 ＝2， 因為點M在曲線C上，所以x0＝， 所以TS＝2＝2，是定值． 4．(2017·蘇北四市摸底)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)過點(2,1)，直線l過點P(0，－1)與拋物線C交于A，B兩點．點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，連結(jié)A′B. 圖66­3 (1)求拋物線C的標準方程； (2)問直線A′B是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由． [解]　(1)將點(2,1)代入拋物線C：x2＝2py的方程得，p＝2. 所以，拋物線C的標準方程為x2＝4y. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx－1，又設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(－x1，y1)． 由得x2－4kx＋4＝0. 則Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k. 所以kA′B＝＝＝. 于是直線A′B的方程為y－＝(x－x2)． 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1. 當x＝0時，y＝1， 所以直線A′B過定點(0,1)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·泰州模擬)如圖66­4，拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上． 圖66­4 (1)求拋物線的方程； (2)若∠APB的平分線垂直于y軸，求證：直線AB的斜率為定值. 【導學號：62172353】 [解]　(1)由已知條件可設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)． 因為點P(2,1)在拋物線上， 所以22＝2p·1，解得p＝2， 故所求拋物線的方程是x2＝4y. (2)由題知kAP＋kBP＝0， 所以＋＝0， 所以＋＝0， 所以＋＝0， 所以x1＋x2＝－4， 所以kAB＝＝＝＝－1，所以直線AB的斜率為定值． 2．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點． (1)若＝2 ，求直線AB的斜率； (2)設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值． [解]　(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得 y2－4my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 因為＝2 ，所以y1＝－2y2. 聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點， 從而點O與點C到直線AB的距離相等， 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2| ＝＝4， 所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 3．(2017·揚州模擬)如圖66­5，在平面直角坐標系xOy中，點A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在拋物線y2＝2px(p>0)上． 圖66­5 (1)求p，t的值； (2)過點P作PM⊥x軸，垂足為M，直線AM與拋物線的另一個交點為B，點C在直線AM上．若PA，PB，PC的斜率分別為k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求點C的坐標． [解]　(1)將點A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以拋物線的方程為y2＝2x. 將點P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2. 因為t<0，所以t＝－2. (2)依題意知點M的坐標為(2,0)， 直線AM的方程為y＝－x＋. 聯(lián)立解得B， 所以k1＝－，k2＝－2. 由k1＋k2＝2k3，得k3＝－， 從而直線PC的方程為y＝－x＋， 聯(lián)立解得C. 4．(2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程． [解]　由題意知F， 設(shè)直線l1的方程為y＝a，直線l2的方程為y＝b， 則ab≠0，且A，B，P，Q，R. 記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a|FD＝|b－a|，S△PQF＝. 由題意可得|b－a|＝， 所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)． 當AB與x軸不垂直時， 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1. 所以，所求的軌跡方程為y2＝x－1.