高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第46課 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱內(nèi)容要求ABC直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計(jì)算判別式b24ac，>0相交，0相切，<0相離2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩個(gè)圓的方程組成方程組的解的情況相離d>r1r2無(wú)解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r2r1|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無(wú)解1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()解析依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有(4)正確答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為_相交兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交3(2017·南京模擬)若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40始終有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_0,10因?yàn)?x1)2(y2)21，所以由題意得1|m5|50m10.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長(zhǎng)為_圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長(zhǎng)為22.5(2016·全國(guó)卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若AB2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.AB2，點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.直線與圓的位置關(guān)系(1)直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關(guān)系是_(2)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸過(guò)點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB_.(1)相交(2)6(1)法一：圓心(0,1)到直線l的距離d<1<.故直線l與圓相交法二：直線l：mxy1m0過(guò)定點(diǎn)(1,1)，點(diǎn)(1,1)在圓C：x2(y1)25的內(nèi)部，直線l與圓C相交(2)由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.圓心為C(2,1)，半徑r2，由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸，圓心C(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，A(4，1)于是AB2AC2r240436，則AB6.規(guī)律方法1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)注意靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化運(yùn)算如“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直”等2與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解變式訓(xùn)練1(1)(2017·山西忻州模擬)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172250】(2)(2016·全國(guó)卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則CD_.(1)2xy70(2)4(1)依題意知，點(diǎn)(3,1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點(diǎn)圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為.因此切線的斜率k2.故圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.(2)由圓x2y212知圓心O(0,0)，半徑r2.圓心(0,0)到直線xy60的距離d3，AB22.過(guò)C作CEBD于E.如圖所示，則CEAB2.直線l的方程為xy60，kAB，則BPD30°，從而BDP60°.CD4.圓與圓的位置關(guān)系(1)(2016·山東高考改編)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是_(2)(2017·南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點(diǎn)N為圓M上任意一點(diǎn)若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為_(1)相交(2)3(1)法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，MN.r1r21，r1r23,1<MN<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.圓M截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度為2，圓心M到直線xy0的距離d，解得a2.以下同法一(2)由題意得圓N與圓M內(nèi)切或內(nèi)含，即MNON1ON2，又ONOM1，所以O(shè)M3.3a3或a0(舍)因此a的最小值為3.規(guī)律方法1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系2若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到3若兩圓相交，則兩圓心的連線垂直平分公共弦變式訓(xùn)練2若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_4由題意O1與O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過(guò)另一圓的圓心，O1AOA.又OA，O1A2，OO15.又A，B關(guān)于OO1對(duì)稱，AB為RtOAO1斜邊上高的2倍又·OA·O1AOO1·AC，得AC2.AB4.直線與圓的綜合問題(2016·江蘇高考改編)如圖46­1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程圖46­1解圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因?yàn)锽COA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.規(guī)律方法1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求解2求弦長(zhǎng)常用的方法：弦長(zhǎng)公式；半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)變式訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切(1)求圓C的方程；(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x2y0對(duì)稱，且MN2，求直線MN的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172251】解(1)將圓C：x2y24x2ym0化為(x2)2(y1)25m.圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切，圓心(2,1)到直線xy20的距離d2r，圓C的方程為(x2)2(y1)24.(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x2y0對(duì)稱，則可設(shè)直線MN的方程為2xyc0.MN2，半徑r2，圓心(2,1)到直線MN的距離為1.則1，c5±.直線MN的方程為2xy5±0.思想與方法1直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時(shí)要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用2計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法：(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算(2)代數(shù)方法：弦長(zhǎng)公式AB|xAxB|.易錯(cuò)與防范1求圓的弦長(zhǎng)問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“1”列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算2過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解課時(shí)分層訓(xùn)練(四十六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是_相交由題意知點(diǎn)在圓外，則a2b2>1，圓心到直線的距離d<1，故直線與圓相交2若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172252】9圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r11，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2(m<25)從而C1C25.兩圓外切得C1C2r1r2，即15，解得m9.3已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是_4由x2y22x2ya0，得(x1)2(y1)22a，所以圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑r，圓心到直線xy20的距離為，所以22()22a，解得a4.4過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2y24的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB外接圓的方程是_(x2)2(y1)25由題意知，O，A，B，P四點(diǎn)共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(diǎn)(2,1)又圓的半徑rOP，所以所求圓的方程為(x2)2(y1)25.5已知圓C：(x1)2y225，則過(guò)點(diǎn)P(2，1)的圓C的所有弦中，以最長(zhǎng)弦和最短弦為對(duì)角線的四邊形的面積是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172253】10易知最長(zhǎng)弦為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長(zhǎng)弦垂直，且PC，最短弦的長(zhǎng)為222.故所求四邊形的面積S×10×2106已知圓C1：x2y26x70與圓C2：x2y26y270相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為_xy30圓C1的圓心C1(3,0)，圓C2的圓心C2(0,3)，直線C1C2的方程為xy30，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為xy30.7若直線3x4y50與圓x2y2r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且AOB120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r_.2如圖，過(guò)點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D，則OD1.AOB120°，OAOB，OBD30°，OB2OD2，即r2.8(2017·南通模擬)過(guò)點(diǎn)(1，2)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172254】y圓(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1，以2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.9(2017·南京模擬)直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2b2_.2依題意，不妨設(shè)直線yxa與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，則AOB90°.如圖，此時(shí)a1，b1，滿足題意，所以a2b22.10(2017·徐州聯(lián)考)已知圓C：(x2)2y24，直線l：kxy2k0(kR)，若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最小值是_圓心C(2,0)，半徑r2.又圓C與直線l恒有公共點(diǎn)所以圓心C(2,0)到直線l的距離dr.因此2，解得k.所以實(shí)數(shù)k的最小值為.二、解答題11(2017·徐州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)(1)求圓M的方程；(2)若直線l：mx2y(2m1)0與圓M交于點(diǎn)P，Q，且·0，求實(shí)數(shù)m的值解(1)法一：設(shè)圓M的方程為x2y2DxEyF0，則解得所以圓M的方程x2y24x4y30.法二：線段AC的垂直平分線的方程為yx，線段AB的垂直平分線的方程為x2，由解得M(2,2)所以圓M的半徑rAM，所以圓M的方程為(x2)2(y2)25.(2)因?yàn)?#183;0，所以PMQ.又由(1)得MPMQr，所以點(diǎn)M到直線l的距離d.由點(diǎn)到直線的距離公式可知，解得m±.12已知圓C：x2y24x6y120，點(diǎn)A(3,5)(1)求過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程；(2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)OA，OC，求AOC的面積S.解(1)由圓C：x2y24x6y120，得(x2)2(y3)21，圓心C(2,3)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為y5k(x3)，即kxy53k0.由d1，得k.又斜率不存在時(shí)直線x3也與圓相切，故所求切線方程為x3或3x4y110.(2)直線OA的方程為yx，即5x3y0，又點(diǎn)C到OA的距離d.又OA.所以SOAd.B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2017·南通調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)若直線xym0上存在點(diǎn)P，使得PAPB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_2，2法一：設(shè)滿足條件PB2PA的P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x4)2y24(x1)24y2，化簡(jiǎn)得x2y24.要使直線xym0有交點(diǎn)，則2.即2m2.法二：設(shè)直線xym0有一點(diǎn)(x，xm)滿足PB2PA，則(x4)2(xm)24(x1)24(xm)2.整理得2x22mxm240(*)方程(*)有解，則4m28(m24)0，解之得：2m2.2(2017·泰州模擬)已知圓C1：x2y24ax4a240和圓C2：x2y22byb210只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為_9圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2a)2y24，其圓心為(2a,0)，半徑為2；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)21，其圓心為(0，b)，半徑為1.因?yàn)閳AC1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以21，得4a2b21，所以(4a2b2)5529，當(dāng)且僅當(dāng)，且4a2b21，即a2，b2時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為9.3如圖46­2，已知以點(diǎn)A(1,2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過(guò)點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.圖46­2(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN2時(shí)， 求直線l的方程解(1)設(shè)圓A的半徑為R.由于圓A與直線l1：x2y70相切，R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.連結(jié)AQ，則AQMNMN2，AQ1，則由AQ1，得k，直線l：3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.4(2013·江蘇高考)如圖46­3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上圖46­3(1)若圓心C也在直線yx1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3.由題意，得1，解得k0或k，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即13.整理，得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.