高一數學（人教A版）必修4能力提升：1-4-2-1 周期函數

能 力 提 升一、選擇題1．定義在R上的函數f(x)，存在無數個實數x滿足f(x＋2)＝f(x)，則f(x)(　　)A．是周期為1的周期函數B．是周期為2的周期函數C．是周期為4的周期函數D．不一定是周期函數[答案]　D2．函數y＝2cos的最小正周期是4π，則ω等于(　　)A．2 B. C．±2 D．±[答案]　D[解析]　4π＝，∴ω＝±.3．(2013山師附中期中)函數y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期為(　　)A. B．π C．2π D．4π[答案]　A[解析]　∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函數的最小正周期為.4．函數y＝的周期是(　　)A．2π B．π C. D.[答案]　C[解析]　T＝·＝.5．函數y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，則正整數k的最小值應是(　　)A．10 B．11 C．12 D．13[答案]　D[解析]　T＝＝≤2　∴k≥4π又k∈N*∴k最小為13，故選D.6．定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，f(x)＝sinx，則f等于(　　)A．－ B．1 C．－ D.[答案]　D[解析]　f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.二、填空題7．(2013·江蘇)函數y＝3sin(2x＋)的最小正周期為________．[答案]　π[解析]　本題考查三角函數的周期．T＝＝π.8．若函數f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期為T，且T∈(1,3)，則正整數ω的最大值是________．[答案]　6[解析]　T＝，又10，x∈(－∞，＋∞)，且以為最小正周期．若f＝，則sinα的值為________．[答案]　±[解析]　∵f(x)的最小正周期為，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝.∴sinα＝±＝±.三、解答題10．求下列函數的周期．(1)y＝sin2x；(2)y＝－cos(x＋)；(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．[解析]　由周期函數的定義求．(1)令f(x)＝sin2x，∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．∴函數y＝sin2x的周期為π.(2)令f(x)＝－cos(x＋)，∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x)．∴函數y＝－cos(x＋)的周期為2π.(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，∵f(x＋)＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ)＝f(x)，∴函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期為.11．已知函數y＝sinx＋|sinx|.(1)畫出函數的簡圖．(2)這個函數是周期函數嗎？如果是，求出它的最小正周期．[解析]　(1)y＝sinx＋|sinx|＝函數圖象如圖所示．(2)由圖象知該函數是周期函數，其圖象每隔2π重復一次，則函數的周期是2π.12．已知函數y＝5cos(其中k∈N)，對任意實數a，在區(qū)間[a，a＋3]上要使函數值出現的次數不少于4次且不多于8次，求k值．[解析]　由5cos(πx－)＝，得cos(πx－)＝.∵函數y＝cosx在每個周期內出現函數值為的有兩次，而區(qū)間[a，a＋3]長度為3，為了使長度為3的區(qū)間內出現函數值不少于4次且不多于8次，必須使3不小于2個周期長度且不大于4個周期長度．即2×≤3，且4×≥3.∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.。