2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第32練

第32練　不等式選講[選做大題保分練] [明晰考情]　1.命題角度：絕對(duì)值不等式的解法、求含絕對(duì)值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中的參數(shù)的取值范圍，不等式的應(yīng)用和證明是命題的熱點(diǎn).2.題目難度：中檔難度. 考點(diǎn)一　絕對(duì)值不等式的解法 方法技巧　|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. (2)利用“零點(diǎn)分區(qū)間法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想. (3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 1.(2018·益陽(yáng)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≤3； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥|x－3|在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|x|＋|x－2|. 當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)＝－x＋2－x≤3，得－≤x≤0； 當(dāng)0<x<2時(shí)，由f(x)＝x＋2－x≤3，得0<x<2； 當(dāng)x≥2時(shí)，由f(x)＝x＋x－2≤3，得2≤x≤. 綜上所述，不等式f(x)≤3的解集為. (2)由f(x)≥|x－3|，得|x＋a|≥|x－3|－|x－2|. 令g(x)＝|x－3|－|x－2|＝ 作出g(x)的圖象如圖所示， 由題意知g(x)的圖象恒在函數(shù)y＝|x＋a|的圖象的下方. 由圖象可知，當(dāng)y＝|x＋a|經(jīng)過點(diǎn)(2，1)時(shí)， 解得a＝－3或a＝－1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，y＝|x＋a|的圖象經(jīng)過(1，0)點(diǎn)，顯然不成立； 當(dāng)a＝－3時(shí)，y＝|x＋a|的圖象經(jīng)過(3，0)點(diǎn)，成立， 由圖可知a≤－3， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3]. 2.(2017·全國(guó)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范圍. 解　(1)f(x)＝ 當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)≥1無解； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2； 當(dāng)x＞2時(shí)，由f(x)≥1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x ≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x| ＝－2＋≤， 當(dāng)x＝時(shí)，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝. 故m的取值范圍為. 3.已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|＜5； (2)若對(duì)任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5， 所以－7＜|x－1|＜3，又|x－1|≥0，可得不等式的解集為(－2，4). (2)因?yàn)閷?duì)任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}. 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[－1，＋∞). 考點(diǎn)二　不等式的證明 要點(diǎn)重組　(1)絕對(duì)值三角不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (2)算術(shù)—幾何平均不等式 如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立. 方法技巧　證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法，其中比較法和綜合法是基礎(chǔ)，綜合法證明的關(guān)鍵是找到證明的切入點(diǎn). 4.(2017·全國(guó)Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)， 所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2. 5.(2018·咸陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R). (1)求f(x)的最大值m； (2)設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且2a＋3b＋4c＝m，求證：＋＋≥3. (1)解　方法一　由f(x)＝ 知f(x)∈[－3，3]，即m＝3. 方法二　由絕對(duì)值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3. 方法三　由絕對(duì)值不等式的幾何意義知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3，3](x∈R)，即m＝3. (2)證明　∵2a＋3b＋4c＝3(a，b，c>0)， ∴＋＋＝ ＝≥3. 當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b＝4c，即a＝，b＝，c＝時(shí)取等號(hào)， 即＋＋≥3. 6.已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. (1)解　f(x)＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2，得－2x<2， 解得x>－1，所以－1<x≤－； 當(dāng)－<x<時(shí)，由f(x)<2，得－＜x＜； 當(dāng)x≥時(shí)，由f(x)<2，得2x<2，解得x<1， 所以≤x<1. 綜上知，f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}. (2)證明　由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1<a<1，－1<b<1， 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2， 因此|a＋b|<|1＋ab|. 考點(diǎn)三　不等式的應(yīng)用 方法技巧　利用不等式的性質(zhì)和結(jié)論可以求函數(shù)的最值，解決一些參數(shù)范圍問題，恒成立問題，解題中要注意問題的轉(zhuǎn)化. 7.(2018·海南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋2a. (1)若不等式f(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}，求a的值； (2)在(1)的條件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求k的取值范圍. 解　(1)因?yàn)閨x＋a|＋2a≤1，所以|x＋a|≤1－2a(1－2a>0)， 所以2a－1≤x＋a≤1－2a，所以a－1≤x≤1－3a. 因?yàn)椴坏仁絝(x)≤1的解集為{x|－2≤x≤4}， 所以解得a＝－1，滿足1－2a>0，故a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2，不等式f(x)≥k2－k－4恒成立， 只需f(x)min≥k2－k－4， 所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0， 所以k的取值范圍是[－1，2]. 8.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)解不等式f(x)＞1； (2)當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g(x)＝(a＞0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為x－2－x－1＞1，此時(shí)不成立； 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2－x－x－1＞1，解得－1≤x＜0； 當(dāng)x＜－1時(shí)，原不等式可化為2－x＋x＋1＞1，解得x＜－1. 綜上，原不等式的解集是{x|x＜0}. (2)因?yàn)間(x)＝ax＋－1≥2－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立， 所以g(x)min＝g＝2－1. 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ 所以f(x)∈[－3，1). 所以2－1≥1，解得a≥1. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞). 9.已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－a|，g(x)＝3x－2. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)＞g(x)的解集； (2)設(shè)a＜－，存在x∈使f(x)≥g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，不等式f(x)＞g(x)可化為|2x＋1|－|x－2|－3x＋2＞0， 設(shè)y＝|2x＋1|－|x－2|－3x＋2， 則y＝由y＞0，解得x＜， 所以原不等式的解集為. (2)當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝－2x－1－x＋a＝－3x－1＋a，不等式f(x)≥g(x)可化為a≥6x－1. 設(shè)h(x)＝6x－1， 則h(x)min＝h(a)＝6a－1， 由題意知a≥h(x)min＝6a－1， 解得a≤. 又a＜－， 所以a的取值范圍是. 典例　(10分)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式f(x)＜4－|x－1|； (2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 審題路線圖 (1)―→ (2)? ―→ 規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1)不等式f(x)＜4－|x－1|， 即|3x＋2|＋|x－1|＜4， 當(dāng)x＜－時(shí)，不等式可化為－3x－2－x＋1＜4， 解得－＜x＜－；……………………………………………………………………………1分 當(dāng)－≤x≤1時(shí)，不等式可化為3x＋2－x＋1＜4， 解得－≤x＜；………………………………………………………………………………2分 當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為3x＋2＋x－1＜4，無解. ………………………………………3分 綜上所述，不等式的解集為.……………………………………………………4分 (2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)，等號(hào)成立. ………………………………………………………5分 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ ∴當(dāng)x＝－時(shí)，g(x)max＝＋a. ………………………………………………………8分 要使不等式|x－a|－f(x)≤＋對(duì)任意的x∈R恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4， 即0＜a≤.……………………………………………………………………………10分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　解不等式； [第二步]　轉(zhuǎn)化：將恒成立問題或有解問題轉(zhuǎn)化成最值問題； [第三步]　求解：利用求得的最值求解取值范圍. 1.(2018·全國(guó)Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集； (2)若x∈(0，1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集為. (2)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，|x＋1|－|ax－1|＞x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，|ax－1|＜1成立. 若a≤0，則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，|ax－1|≥1； 若a＞0，則|ax－1|＜1的解集為， 所以≥1，故0＜a≤2. 綜上，a的取值范圍為(0，2]. 2.已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍. 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)， f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為x－4>0，無解； 當(dāng)－1<x<1時(shí)，不等式化為3x－2>0， 解得<x<1； 當(dāng)x≥1時(shí)，不等式化為－x＋2>0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得f(x)＝ 如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)， △ABC的面積為S＝××(a＋1)＝(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范圍為(2，＋∞). 3.設(shè)實(shí)數(shù)a，b均滿足不等式組 (1)證明：＜； (2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由. (1)證明　解不等式|x－1|＋2＞|x＋2|， 得或或 解得x＜. 解不等式|x－1|＜|x＋2|，得(x－1)2＜(x＋2)2， 解得x＞－. 所以原不等式組的解集為. 則a，b∈，|a|＜，|b|＜， 所以≤|a|＋|b| ＜×＋×＝， 即＜. (2)解　|1－4ab|＞2|a－b|，理由如下： 由(1)得a2＜，b2＜，則4a2－1＜0，4b2－1＜0. 因?yàn)閨1－4ab|2－(2|a－b|)2 ＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2) ＝1＋16a2b2－4a2－4b2 ＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 所以|1－4ab|2＞(2|a－b|)2，即|1－4ab|＞2|a－b|. 4.已知不等式|x－m|<|x|的解集為(1，＋∞). (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若不等式<－<對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)由|x－m|<|x|，得|x－m|2<|x|2， 即2mx>m2， 又不等式|x－m|<|x|的解集為(1，＋∞)， 則1是方程2mx＝m2的解，即2m＝m2， 解得m＝2(m＝0舍去). (2)∵m＝2，∴不等式<－<對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立等價(jià)于不等式a－5<|x＋1|－|x－2|<a＋2對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立. 設(shè)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ 當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，－1<f(x)<3， 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3. 因此函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，3]. 從而原不等式等價(jià)于解得1<a≤4. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，4].