2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明

第二節(jié)　不等式的證明 [考綱傳真]　通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． 1．基本不等式 定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立． 2．不等式證明的方法 (1)比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種. 名稱 作差比較法 作商比較法 理論依據(jù) a＞b?a－b＞0 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 b＞0，＞1?a＞b b＜0，＞1?a＜b (2)綜合法與分析法 ①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法．即“執(zhí)果索因”的方法． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論．(　　) (2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．(　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．(　　) (4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　) A．x＞y　　　　　 B.x＜y C．x≥y D.x≤y A　[x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝. 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] 3．(教材改編)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi)_______． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.] 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________． 4　[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．] 5．已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [證明]　因?yàn)閤＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，8分 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.10分 比較法證明不等式 　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋. [證明]　法一：－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋.10分 法二：由于＝ ＝＝－1≥－1＝1.8分 又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.10分 [規(guī)律方法]　1.在法一中，采用局部通分，優(yōu)化了解題過(guò)程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明a＞b轉(zhuǎn)化為證明＞1(b＞0)． 2．作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào)． 提醒：在使用作商比較法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào)． [變式訓(xùn)練1]　(2017·莆田模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)， 求證：a2＋b2≥(a＋b). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772447】 [證明]　因?yàn)閍2＋b2－(a＋b) ＝(a2－a)＋(b2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b) ＝.6分 因?yàn)閍≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與同號(hào)，所以(a－b)≥0， 所以a2＋b2≥(a＋b).10分 綜合法證明不等式 　設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772448】 (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.5分 (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 則＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.10分 [規(guī)律方法]　1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”． 2．綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． [變式訓(xùn)練2]　(2017·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3. [解]　(1)當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；2分 當(dāng)－1≤x＜2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6. 綜上，f(x)的最小值m＝3.5分 (2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝3， 因?yàn)椋?a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c).8分 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取“＝”) 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.10分 分析法證明不等式 　(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． [證明]　(1)∵a，b，c，d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d， 欲證＋＞＋， 只需證明(＋)2＞(＋)2， 也就是證明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需證明＞，即證ab＞cd. 由于ab＞cd， 因此＋＞＋.5分 (2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)，得＋>＋.8分 ②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件.10分 [規(guī)律方法]　1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，由于兩個(gè)不等式兩邊都是正數(shù)，可通過(guò)兩邊平方來(lái)證明． 2．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 3．分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為： →→→…→ [變式訓(xùn)練3]　已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：＜a. [證明]　要證＜a，只需證b2－ac＜3a2. ∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)＜3a2， 只需證2a2－ab－b2＞0，4分 只需證(a－b)(2a＋b)＞0， 只需證(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0， ∴(a－b)(a－c)＞0顯然成立， 故原不等式成立.10分 [思想與方法] 1．比較法：作差比較法主要判斷差值與0的大小，作商比較法關(guān)鍵在于判定商值與1的大小(一般要求分母大于0)． 2．分析法：B?B1?B2?…?Bn?A(結(jié)論)． (步步尋求不等式成立的充分條件)(已知)． 3．綜合法：A?B1?B2?…?Bn?B(已知)． (逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論)． [易錯(cuò)與防范] 1．使用平均值不等式時(shí)易忽視等號(hào)成立的條件． 2．用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立．