高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(五十八)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(五十八) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差一、全員必做題1袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X)解：(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A).(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以隨機(jī)變量X的分布列為X2345PE(X)2×3×4×5×.2為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X)解：(1)由已知得，P(A).所以事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234PE(X)1×2×3×4×.3國(guó)慶節(jié)期間，某旅行社組織了14人參加“國(guó)家旅游常識(shí)”知識(shí)競(jìng)賽，每人回答3個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表：答對(duì)題目個(gè)數(shù)0123人數(shù)3254根據(jù)上表信息解答以下問(wèn)題：(1)從14人中任選3人，求3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率；(2)從14人中任選2人，用X表示這2人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和，求隨機(jī)變量X的分布列及E(X)解：(1)記“3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6”為事件A，事件A包含“3人分別答對(duì)2題”，“3人分別答對(duì)1,2,3題”和“3人分別答對(duì)0,3,3題”則P(A)，即3人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為6的概率為.(2)依題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).從而X的分布列為X0123456PE(X)0×1×2×3×4×5×6×.1拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的正方體，記上底面上的數(shù)字分別為x，y.若a表示a的整數(shù)部分，如：2.62，設(shè)為隨機(jī)變量，且.(1)求P(0)；(2)求的分布列，并求其均值E()解：(1)依題意，實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)共有36種情況，使0的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)有以下15種情況：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，所以P(0).(2)隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.1的情況有以下18種：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，所以P(1).2的情況有以下3種：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(2).所以的分布列為012P均值E()0×1×2×.2某商場(chǎng)中的20件不同的商品中有是進(jìn)口商品，其余的是國(guó)產(chǎn)商品在進(jìn)口商品中有是高端商品，在國(guó)產(chǎn)商品中有是高端商品(1)從該批商品中隨機(jī)抽取3件，求恰有1件進(jìn)口高端商品且國(guó)產(chǎn)高端商品少于2件的概率；(2)若銷售1件國(guó)產(chǎn)高端商品獲利80元，1件國(guó)產(chǎn)非高端商品獲利50元，當(dāng)銷售該批國(guó)產(chǎn)商品3件時(shí)，獲利為元，求的分布列及均值E()解：(1)設(shè)事件B為“從該批商品中隨機(jī)抽取3件，恰有1件進(jìn)口高端商品且國(guó)產(chǎn)高端商品少于2件”，事件A1為“抽取的3件商品中，有1件進(jìn)口高端商品，0件國(guó)產(chǎn)高端商品”，事件A2為“抽取的3件商品中，有1件進(jìn)口高端商品，1件國(guó)產(chǎn)高端商品”因?yàn)檫@20件商品中，進(jìn)口高端商品有20××5(件)，國(guó)產(chǎn)高端商品有20××3(件)所以P(B)P(A1)P(A2)，即從該批商品中隨機(jī)抽取3件，恰有1件進(jìn)口高端商品且國(guó)產(chǎn)高端商品少于2件的概率是.(2)由于本批商品中僅有5件國(guó)產(chǎn)商品，其中3件是高端商品，故銷售該批國(guó)產(chǎn)商品3件時(shí)，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是的可能取值為180,210,240.P(180)，P(210)，P(240).所以的分布列為180210240P故E()180×210×240×204.三、沖刺滿分題1袋中裝有黑色球和白色球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白色球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個(gè)球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后終止每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用X表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù)(1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X)；(2)求甲摸到白色球的概率解析：設(shè)袋中白色球共有x個(gè)，xN*且x2，則依題意知，所以，即x2x60，解得x3(x2舍去)(1)袋中的7個(gè)球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P (X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)1×2×3×4×5×2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”依題意知，P(A1)，P(A2)，P(A3)，所以甲摸到白色球的概率為P(A)P(A1)P(A2)P(A3).2某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由廠商承擔(dān)若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬(wàn)元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬(wàn)元為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送牛奶，已知下表內(nèi)的信息：統(tǒng)計(jì)信息汽車行駛路線在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)堵車的概率運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)元)公路1231.6公路2140.8(1)記汽車選擇公路1運(yùn)送牛奶時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為(單位：萬(wàn)元)，求的分布列和均值E()；(2)選擇哪條公路運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？(注：毛收入銷售商支付給牛奶廠的費(fèi)用運(yùn)費(fèi))解：(1)若汽車走公路1，不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入201.618.4(萬(wàn)元)；堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入201.6117.4(萬(wàn)元)，汽車走公路1時(shí)牛奶廠獲得的毛收入的分布列為18.417.4PE()18.4×17.4×18.3(萬(wàn)元)(2)設(shè)汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為，則不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入200.8120.2(萬(wàn)元)；堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入200.8217.2(萬(wàn)元)汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入的分布列為20.217.2PE()20.2×17.2×18.7(萬(wàn)元)E()<E()，選擇公路2運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多