數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試：第二部分 專題三 滿分示范課——立體幾何 Word版含解析

滿分示范課立體幾何立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、建系建模將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型及平面化模型；建系依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【典例】(滿分12分)(2018·全國卷)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當三棱錐M­ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值規(guī)范解答(1)由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.由于DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D­xyz.當三棱錐M­ABC體積最大時，M為的中點由題設(shè)得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1，0，2). 又是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值為.高考狀元滿分心得1寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點步驟一定要寫全如第(1)問中BCDM；在證明平面AMD平面BMC時，只寫出DM平面BMC，忽視條件DM平面AMD，均導(dǎo)致扣分2寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，所以在答題時一定要寫清得分關(guān)鍵點，如第(1)問中一定要寫出線面、面面垂直證明過程中的三個條件，否則不得分；第(2)問中不寫出公式cosn，而得出余弦值則要扣1分3正確計算是得滿分的保證：如第(2)問中三棱錐MABC體積最大時，點M的坐標，求平面法向量坐標，以及cosn，的值，否則題目不能得分解題程序第一步：由面面垂直性質(zhì)，證BC平面CMD，與BCDM，第二步：根據(jù)面面垂直判定，證平面AMD平面BMC，第三步：建立空間坐標系，求相應(yīng)點的坐標，第四步：計算平面MAB的法向量，求二面角的正弦值，第五步：檢驗反思，規(guī)范解題步驟跟蹤訓(xùn)練1.(2018·全國卷)如圖，在三棱錐P­ABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(1)證明：PO平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M­PA­C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值(1)證明：因為PAPCAC4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB.因為ABBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)解：如圖，以O(shè)為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系O­xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2).(0，2，2)取平面PAC的一個法向量(2，0，0)設(shè)M(a，2a，0)(0a2)，則(a，4a，0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x，y，z)由·n0，·n0得可取ya，得平面PAM的一個法向量為n(a4)，a，a)，所以cos，n .由已知可得|cos，n|cos 30°，所以，解得a4(舍去)或a.所以n(，)又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.2.(2019·廣州調(diào)研)如圖，直三棱柱ABC­A1B1C1中，CC14，AB2，AC2，BAC45°，點M是棱AA1上不同于A，A1的動點(1)證明：BCB1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成體積相等的兩部分，求此時二面角M­B1C­A的余弦值(1)證明：在ABC中，由余弦定理得，BC2482×2×2×cos 45°4，所以BC2，則有AB2BC28AC2，所以ABC90°，所以BCAB.又因為BCBB1，BB1ABB，所以BC平面ABB1A1，又B1M平面ABB1A1，故BCB1M.(2)解：由題設(shè)知，平面MB1C把此三棱柱分成兩個體積相等的幾何體為四棱錐C­ABB1M和四棱錐B1­A1MCC1.由(1)知四棱錐C­ABB1M的高為BC2，因為V三棱柱ABC­A1B1C1×2×2×48，所以V四棱錐C­ABB1MV柱4，又V四棱錐C­ABB1M·S梯形ABB1M·BCS梯形ABB1M4，所以S梯形ABB1M6×2，所以AM2.此時M為AA1的中點以點B為坐標原點，的方向為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系B­xyz.所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2)所以(0，2，4)，(2，0，2)，(2，2，0)，設(shè)n1(x，y1，z1)是平面CB1M的一個法向量，所以即令z11，可得n1(1，2，1)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面ACB1的一個法向量，所以即令z21，可得n2(2，2，1)，所以cosn1，n2，所以二面角M­B1C­A的余弦值為.