包頭市2015中考復(fù)習(xí)第8章 第4節(jié) 用列舉法求概率及其應(yīng)用

第4節(jié)　用列舉法求概率及其應(yīng)用 用列舉法求概率 1．列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，可采用列表法列出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝__________計(jì)算概率． 2．畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上因素時(shí)，可采用畫樹狀圖法，表示出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)P(A)＝________計(jì)算概率． 3．用列表法或畫樹狀圖法求概率都應(yīng)注意取出不放回，還是取出后放回再抽取，其總的等可能結(jié)果是不一樣的． 概率的應(yīng)用 1．用概率分析事件發(fā)生的可能性． 2．常見的概率的應(yīng)用有： (1)用概率來評(píng)判游戲是否公平； (2)評(píng)判哪種方式更合算． 3．用概率設(shè)計(jì)游戲方案． 用列舉法求概率 【例1】(2014·營(yíng)口)第20屆世界杯足球賽正在如火如荼地進(jìn)行，爸爸想通過一個(gè)游戲決定小明能否看今晚的比賽：在一個(gè)不透明的盒子中放入三張卡片，每張卡片上寫著一個(gè)實(shí)數(shù)，分別為3，，2(每張卡片除了上面的實(shí)數(shù)不同以外其余均相同)，爸爸讓小明從中任意取一張卡片，如果抽到的卡片上的數(shù)是有理數(shù)，就讓小明看比賽，否則就不能看． (1)請(qǐng)你直接寫出按照爸爸的規(guī)則小明能看比賽的概率； (2)小明想了想，和爸爸重新約定游戲規(guī)則：自己從盒子中隨機(jī)抽取兩次，每次抽取一張卡片，第一次抽取后記下卡片上的數(shù)，再將卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的兩數(shù)之積是有理數(shù)，自己就看比賽，否則就不看．請(qǐng)你用列表法或樹狀圖法求出按照此規(guī)則小明看比賽的概率． 解：(1)　(2)列表(略)，所有等可能的情況有9種，其中抽取的兩數(shù)之積是有理數(shù)的情況有5種，則按照此規(guī)則小明看比賽的概率P＝ 列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出抽取的兩數(shù)之積為有理數(shù)的情況數(shù)，即可求出所求的概率． 概率的應(yīng)用 【例2】(2013·錦州)一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，另有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤，被分成面積相等的3個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3(如圖)．小穎和小亮想通過游戲來決定誰(shuí)代表學(xué)校參加歌詠比賽，游戲規(guī)則為：一人從口袋中摸出一個(gè)小球，另一個(gè)人轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于4，那么小穎去；否則小亮去． (1)用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率； (2)你認(rèn)為該游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由；若不公平，請(qǐng)修改該游戲規(guī)則，使游戲公平． 解：(1)畫樹狀圖： ∵共有12種等可能的結(jié)果，數(shù)字之和小于4的有3種情況，∴P(和小于4)＝＝，∴小穎參加比賽的概率為　(2)不公平，∵P(和小于4)＝，P(和大于等于4)＝，∴游戲不公平．可改為：若數(shù)字之和為偶數(shù)，則小穎獲勝；若數(shù)字之和為奇數(shù)，則小亮獲勝 1．判斷游戲是否公平―→計(jì)算每個(gè)事件概率―→概率相等則公平，否則不公平． 2．修改游戲規(guī)則：①使概率相等；②修改每次得分，使總分相等． 真題熱身 1．(2014·柳州)如圖，每個(gè)燈泡能否通電發(fā)光的概率都是0.5，當(dāng)合上開關(guān)時(shí)，至少有一個(gè)燈泡發(fā)光的概率是( C ) A．0.25　　　B．0.5　　C．0.75　　　D．0.95 2．(2013·泰安)有三張正面分別寫有數(shù)字－1，1，2的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取一張，以其正面數(shù)字作為a的值，然后再?gòu)氖Ｓ嗟膬蓮埧ㄆS機(jī)抽一張，以其正面的數(shù)字作為b的值，則點(diǎn)(a，b)在第二象限的概率為( B ) A. B. C. D. 3．(2014·舟山)有三輛車按1，2，3編號(hào)，舟舟和嘉嘉兩人可任意選坐一輛車，則兩人同坐3號(hào)車的概率為____． 4．(2014·寧夏)在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，隨機(jī)摸取一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球，兩次摸出小球的標(biāo)號(hào)和等于6的概率是____． 5．(2014·臺(tái)州)抽屜里放著黑白兩種顏色的襪子各1雙(除顏色外其余都相同)，在看不見的情況下隨機(jī)摸出兩只襪子，它們恰好同色的概率是____． 6．(2014·隨州)四張撲克牌的牌面如圖1，將撲克牌洗勻后，如圖2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮設(shè)計(jì)了A，B兩種游戲方案： 方案A：隨機(jī)抽一張撲克牌，牌面數(shù)字為5時(shí)小明獲勝；否則小亮獲勝． 方案B：隨機(jī)同時(shí)抽取兩張撲克牌，兩張牌面數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，小明獲勝；否則小亮獲勝． 請(qǐng)你幫小亮選擇其中一種方案，使他獲勝的可能性較大，并說明理由． 解：對(duì)于方案A，PA(小亮獲勝)＝，對(duì)于方案B，PB(小亮獲勝)＝，∵PB(小亮獲勝)＞PA(小亮獲勝)，∴選擇方案B，使小亮獲勝可能性較大 第4節(jié)　用列舉法求概率及其應(yīng)用 基礎(chǔ)過關(guān) 一、精心選一選 1．(2014·徐州)拋擲一枚均勻的硬幣，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率( B ) A．大于 B．等于 C．小于 D．不能確定 2．(2014·臨沂)從1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其乘積大于4的概率是( C ) A. B. C. D. 3．(2014·黃石)學(xué)校團(tuán)委在“五四青年節(jié)”舉行“感動(dòng)校園十大人物”頒獎(jiǎng)活動(dòng)中，九(4)班決定從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)派兩名代表參加此活動(dòng)，則甲、乙兩人恰有一人參加此活動(dòng)的概率是( A ) A. B. C. D. 4．(2014·杭州)讓圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)指針分別落在某兩個(gè)數(shù)所表示的區(qū)域，則這兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率等于( C ) A. B. C. D. 5．用圖中兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( D ) A. B. C. D. ,第5題圖)　,第6題圖) 6．(2013·安徽)如圖，隨機(jī)閉合開關(guān)K1，K2，K3中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為( B ) A. B. C. D. 二、細(xì)心填一填 7．(2013·麗水)合作小組的4位同學(xué)坐在課桌旁討論問題，學(xué)生A的座位如圖所示，學(xué)生B, C，D隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則學(xué)生B坐在2號(hào)座位的概率是____． 8．(2014·咸寧)小亮與小明一起玩“石頭、剪刀、布”的游戲，兩同學(xué)同時(shí)出“剪刀”的概率是____． 9．(2013·濟(jì)寧)甲、乙、丙三人站成一排合影留念，則甲、乙二人相鄰的概率是____． 10．(2013·佛山)在1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選兩個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，則組成的兩位數(shù)大于40的概率是____． 11．(2013·巴中)在－1，3，－2這三個(gè)數(shù)中，任選兩個(gè)數(shù)的積作為k的值，使反比例函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限的概率是____． 12．(2014·巴中)在四邊形ABCD中，(1)AB∥CD，(2)AD∥BC，(3)AB＝CD，(4)AD＝BC，在這四個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的概率是____． 13．(2013·黃石)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，游戲規(guī)則如下：有四個(gè)數(shù)字0，1，2，3，先由甲心中任選一個(gè)數(shù)字，記為m，再由乙猜甲剛才所選的數(shù)字，記為n.若m，n滿足|m－n|≤1，則稱甲、乙兩人“心有靈犀”，則甲、乙兩人“心有靈犀”的概率是____． 三、用心做一做 14．(2014·南京)從甲、乙、丙3名同學(xué)中隨機(jī)抽取環(huán)保志愿者，求下列事件的概率． (1)抽取1名，恰好是甲； (2)抽取2名，甲在其中． 解：(1)　(2) 15．(2014·揚(yáng)州)商店只有雪碧、可樂、果汁、奶汁四種飲料，每種飲料數(shù)量充足，某同學(xué)去該店購(gòu)買飲料，每種飲料被選中的可能性相同． (1)若他去買一瓶飲料，則他買到奶汁的概率是____； (2)若他兩次去買飲料，每次買一瓶，且兩次所買飲料品種不同，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出他恰好買到雪碧和奶汁的概率． 解： 16．(2014·白銀)在一個(gè)不透明的布袋里裝有4個(gè)標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的小球，它們的材質(zhì)、形狀、大小完全相同，小凱從布袋里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為x，小敏從剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為y，這樣確定了點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)． (1)請(qǐng)你運(yùn)用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)； (2)求點(diǎn)(x，y)在函數(shù)y＝－x＋5圖象上的概率． 解：點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12種　(2)∵共有12種等可能的結(jié)果，其中在函數(shù)y＝－x＋5圖象上的有4種，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，∴點(diǎn)P(x，y)在函數(shù)y＝－x＋5圖象上的概率為P＝＝ 17．(2014·成都)第十五屆中國(guó)“西博會(huì)”將于2014年10月底在成都召開，現(xiàn)有20名志愿者準(zhǔn)備參加某分會(huì)場(chǎng)的工作，其中男生8人，女生12人． (1)若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，求選到女生的概率； (2)若該分會(huì)場(chǎng)的某項(xiàng)工作只在甲、乙兩人中選一人，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰(shuí)參加，游戲規(guī)則如下：將四張牌面數(shù)字分別為2，3，4，5的撲克牌洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，從中任取2張，若牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則乙參加．試問這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用樹狀圖或列表法說明理由． 解：(1)P＝＝　(2)甲參加的概率為＝，而乙參加的概率為，≠，故這個(gè)游戲不公平 18．(2013·武漢)有兩把不同的鎖和四把不同的鑰匙，其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖，其余的鑰匙不能打開這兩把鎖．現(xiàn)在任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖． (1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述試驗(yàn)所有可能結(jié)果； (2)求一次打開鎖的概率． 解：(1)設(shè)兩把不同的鎖分別為A，B，能把兩鎖打開的鑰匙分別為a，b，其余兩把鑰匙分別為m，n，根據(jù)題意，可以畫出如下樹狀圖： 由上圖可知，上述試驗(yàn)共有8種等可能結(jié)果　(2)由(1)可知，任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖共有8種等可能的結(jié)果，一次打開鎖的結(jié)果有2種，且所有結(jié)果的可能性相等，∴P(一次打開鎖)＝＝ 挑戰(zhàn)技能 19．(2013·淄博)假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌與雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，則三只雛鳥中恰有兩只雌鳥的概率是( B ) A. B. C. D. 20．(2014·安徽)如圖，管中放置著三根同樣繩子AA1，BB1，CC1. (1)小明從這三根繩子中隨機(jī)選一根，恰好選中繩子AA1的概率是多少？ (2)小明先從左端A，B，C三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié)，再?gòu)挠叶薃1，B1，C1三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié)，求這三根繩子連結(jié)成一根長(zhǎng)繩的概率． 解：(1)　(2)畫樹狀圖： 其中左、右結(jié)是相同字母(不考慮下標(biāo))的情況，不可能連結(jié)成為一根長(zhǎng)繩，所以能連結(jié)成為一根長(zhǎng)繩的情況有6種：①左端連AB，右端連A1C1或B1C1；②左端連BC，右端連A1B1或A1C1；③左端連AC，右端連A1B1或B1C1，故這三根繩子連結(jié)成為一根長(zhǎng)繩的概率P＝＝ 21．(2013·遵義)一不透明的布袋里，裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球(除顏色外其余都相同)，其中有紅球2個(gè)，藍(lán)球1個(gè)，黃球若干個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為. (1)求口袋中黃球的個(gè)數(shù)； (2)甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球(不放回)，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法，求兩次摸出都是紅球的概率； (3)現(xiàn)規(guī)定：摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，摸到藍(lán)球得2分(每次摸后放回)，乙同學(xué)在一次摸球游戲中，第一次隨機(jī)摸到一個(gè)紅球，第二次又隨機(jī)摸到一個(gè)藍(lán)球，若隨機(jī)再摸一次，求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的概率． 解：(1)1個(gè)　(2)兩次摸到都是紅球的概率為＝　(3)第三次從袋子里摸球共有4種等可能結(jié)果，而滿足3次摸得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的結(jié)果有3種，∴符合題意的概率是 22．(2013·荊門)經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種情況是等可能的，當(dāng)三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口時(shí)． (1)求三輛車全部同向而行的概率； (2)求至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率； (3)由于十字路口右拐彎處是通往新建經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的，因此交管部門在汽車行駛高峰時(shí)段對(duì)車流量作了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)汽車在此十字路口向右轉(zhuǎn)的頻率為，向左轉(zhuǎn)和直行的頻率均為.目前在此路口，汽車左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行的綠燈亮的時(shí)間分別為30秒，在綠燈亮總時(shí)間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請(qǐng)你用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)對(duì)此路口三個(gè)方向的綠燈亮的時(shí)間做出合理的調(diào)整． 解：(1)P(三車全部同向而行)＝　(2)P(至少兩輛車向左轉(zhuǎn))＝　(3)∵汽車向右轉(zhuǎn)、向左轉(zhuǎn)、直行的概率分別為，，，∴在不改變各方向綠燈亮的總時(shí)間的條件下，可調(diào)整綠燈亮的時(shí)間如下：左轉(zhuǎn)綠燈亮?xí)r間為90×＝27(秒)，直行綠燈亮?xí)r間為90×＝27(秒)，右轉(zhuǎn)綠燈亮的時(shí)間為90×＝36(秒)