同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件__第五章 相似矩陣及二次型

1第五章相似矩陣及二第五章相似矩陣及二次型次型21 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性定義定義1：設(shè)：設(shè) n 維向量維向量1122,nnxyxyxyxy記作記作1122nnx yx yx y1122 , nnx yx yx yx yx y 稱稱為向量為向量 x與與 y的內(nèi)積，的內(nèi)積，3內(nèi)積有下列性質(zhì)：內(nèi)積有下列性質(zhì)：(1) x, y = y, x ;(2) l lx, y = l l x, y ;(3) x + y, z = x, z + y, z ; (4) x, x 0, x 0; x, x = 0, x = 0.柯西柯西-施瓦茨施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式：不等式：2 , , , x yx xy y 22,0, , 2 , , 0 , , , xty xtytx xx y ty y tx yx xy y4定義定義2：稱：稱 為向量為向量 x 的長(zhǎng)度，記作的長(zhǎng)度，記作 , x x|x特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)| 1x 時(shí)，稱時(shí)，稱 x為單位向量。為單位向量。向量長(zhǎng)度有下列性質(zhì)：向量長(zhǎng)度有下列性質(zhì)：(1) | x | 0, x 0; | x | = 0, x = 0;(2) |l lx | = |l l| | x| ;(3) | x + y | | x | + | y|; 5稱稱 , arccos,0,0|x yxyxy 為向量為向量 x與與 y的夾角。的夾角。若若 = 900 , 則稱向量則稱向量 x與與 y 正交，記作正交，記作 x y 。x y x, y = 0 , 11|x yxy , cos,0,0|x yxyxy 設(shè)設(shè)6定理定理1：若向量組：若向量組12,m 中不含零向量，且兩兩正交，中不含零向量，且兩兩正交，則向量組則向量組12,m 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。11220mmxxx1122,0mmjjjjxxxx設(shè)設(shè)0jx7例例1：設(shè)在向量空間：設(shè)在向量空間3R中，中，12111 ,211 求向量求向量3 ，使得，使得123, 兩兩正交。兩兩正交。8解：設(shè)解：設(shè)12111121A 解線性方程組解線性方程組0Ax 則解向量必與則解向量必與12, 都正交，都正交，101010A得得基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系101 3 取取，則，則123, 兩兩正交。兩兩正交。9定義定義 3. 設(shè)設(shè) n 維向量維向量 是向量空間是向量空間 V 的的 一個(gè)基，若一個(gè)基，若 兩兩正交，且都兩兩正交，且都是是 單位向量，則稱單位向量，則稱 是是V 的一個(gè)的一個(gè) 規(guī)范正交基規(guī)范正交基 (標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基).12,re ee12,re ee12,re ee10施密特施密特 ( Schimidt ) 正交化過(guò)程正交化過(guò)程:12,ra aa使得使得與與12,rb bb等價(jià)。等價(jià)。求正交向量組求正交向量組12,rb bb設(shè)向量組設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，12,ra aa11a1= b1a2a2 = b2a2 b1 = a1 b2 = a2- a2 21211222121111,| |,ab abb aaababbb b 12令令111222111121121112211;,;,;,rrrrrrrrrbab ababb bb ab abababbbb bb bbb 則則12,rb bb是正交向量組，并且向量組是正交向量組，并且向量組12,kb bb與與向量組向量組12,(1)ka aakr等價(jià)。等價(jià)。13基的規(guī)范正交化基的規(guī)范正交化設(shè)設(shè)12,ra aa是向量空間是向量空間 V 的一個(gè)基，求的一個(gè)基，求V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范規(guī)范正交基。正交基。首先，利用施密特正交化過(guò)程把首先，利用施密特正交化過(guò)程把正交化正交化為正交向量組為正交向量組12,rb bb然后，再把然后，再把12,rb bb單位化，即單位化，即121212,|rrrbbbeeebbb則則12,re ee是是V 的一個(gè)規(guī)范正交基。的一個(gè)規(guī)范正交基。12,ra aa14例例2: 設(shè)設(shè)1231142 ,3,1110aaa 試用施密特正試用施密特正交化交化過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化。過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化。15解：先正交化，令解：先正交化，令111222111132333121122(1,2, 1) ; ,45( 1,3,1)(1,2, 1)( 1,1,1) ; ,63 , ,2(1,0,1) . , ,bab ababb bb ab ababbb bb b 161112223331(1,2, 1) ,|61( 1,1,1) ,|31(1,0,1) .|2bebbebbeb 再單位化，令再單位化，令則則123,e e e即為所求。即為所求。17定義定義4 若若 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足A AE 則稱則稱 A 為為正交矩陣正交矩陣, 且且121111212212221212(,)(,)1,0,nnnnnnnnnijijijAA Aijij 令令故故1AA 18特征值及二次型問(wèn)題是線性代數(shù)的重要問(wèn)題。特征值及二次型問(wèn)題是線性代數(shù)的重要問(wèn)題。1PAP 12nl ll ll l 12diag(,)nl lll ll 其中其中19設(shè)設(shè) A是是 n 階方陣階方陣, P為為 n 階可逆陣階可逆陣此過(guò)程的逆推在最后一步要求矩陣此過(guò)程的逆推在最后一步要求矩陣 P是可逆的。是可逆的。1PAP APP121212(,)(,)diag,nnnA ppppppl lll ll121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll,1,2,iiiAppinl l12(,)nset Pppp 20 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量定義定義1: 設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣，若數(shù)階方陣，若數(shù) l l 和非零向量和非零向量 x， (0)Axx xl l則稱則稱 l l 是是 A 的一個(gè)的一個(gè)特征值，特征值，x 為為 A 的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值 l l 的特征向量的特征向量。使得使得21Axxl l 0AE xl l或或 0EA xl l0AEl l0EAl l 由由()l l 而而0,x 既齊次線性方程組既齊次線性方程組 有非零解有非零解()l l 方程組方程組 的解空間稱為對(duì)應(yīng)于的解空間稱為對(duì)應(yīng)于 l l 的的特征子空間特征子空間.()l l 22注：注：（2）一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值。）一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值。（1）方陣的對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值的特征向量不唯一。）方陣的對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值的特征向量不唯一。（3）對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值的若干個(gè)特征向量的線性組）對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值的若干個(gè)特征向量的線性組 合仍是對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的特征向量。合仍是對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的特征向量。23111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 為矩陣為矩陣 A 的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，記作，記作 f (l l)定義定義2：111212122212,nnnnnnaaaaaaAaaa 設(shè)設(shè)則則稱稱2411122( ) |()()()det( )nnnnfAEaaaAllllllll 設(shè)設(shè)( )0fl l 在在 C 中的中的 n 個(gè)根為個(gè)根為12,nl l l ll l即即A的的 n 個(gè)特征值個(gè)特征值則則12112212det( )nnnnaaaAlllllll lll ll 25解：解：1、由矩陣、由矩陣 A 的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例6： 求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.110430102A AEl l11011430(2)43102l ll llllll ll l 特征值為特征值為 l l = 2, 1 2210llll262、把每個(gè)特征值、把每個(gè)特征值 l l 代入線性方程組代入線性方程組 0,AE xl l求出基礎(chǔ)解系。求出基礎(chǔ)解系。當(dāng)當(dāng) l l = 2時(shí)，解線性方程組時(shí)，解線性方程組 20AE x 3102410100AE 1000100001200 xx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:1001p 27解線性方程組解線性方程組當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1l l 0AE x 210420101AE 1010120001323020 xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2121p 28解：解：例例7： 求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量,211020413A AEl l 221102021413l ll ll ll ll l 特征值為特征值為 l l = - -1, 2并求可逆矩陣并求可逆矩陣P, 使使APP1 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.29當(dāng)當(dāng) l l = - -1時(shí)，解線性方程組時(shí)，解線性方程組 0AE x 111030414AE 101010000 13200 xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:1101p 30當(dāng)當(dāng) l l = 2時(shí)，解線性方程組時(shí)，解線性方程組 20AE x 4112000411AE 411000000 12340 xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:2011p 3104p 31 411010101321),(pppP 2211APP設(shè)設(shè)則則32性質(zhì)性質(zhì)：若：若l l 是是 A 的特征值的特征值, 即即 Ax = l lx (x0)，則，則(1) kl l 是是 kA 的特征值的特征值(k是常數(shù)是常數(shù))，且，且 kAx = kl lx(2) l lm 是是 Am 的特征值的特征值(m是正整數(shù)是正整數(shù))，且，且 Amx = l lmx(3) 若若 A可逆，則可逆，則l l- -1是是 A- -1的特征值的特征值, 且且 A- -1x = l l- -1x l l- -1| A| 是是 A* *的特征值，且的特征值，且 A* * x = l l- -1|A|x(4) j j (x)為為 x 的多項(xiàng)式，則的多項(xiàng)式，則 j j (l l)是是 j j (A)的特征值的特征值, 且且 j j (A) x = j j (l l) x(5) 矩陣矩陣 A和和 AT的特征值相同的特征值相同, 特征多項(xiàng)式相同。特征多項(xiàng)式相同。33例例3： (1) 設(shè)設(shè) l l 為矩陣為矩陣 A的特征值，求的特征值，求 的特征值的特征值223AAE (2) 若若 3 階陣階陣 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，求，求 。|32|AAE 223AAE有特征值有特征值223llll解解: (1)(2) 3階陣階陣 A有特征值有特征值 1, - -1, 2，故，故|2A ，A可逆可逆。32AAE 有特征值有特征值 - -1，- -3，3|32| 9AAE 34例：設(shè)例：設(shè)111222111A 求求：(1) A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。(2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P，使得，使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。1PAP 35解解： (1) 21112221112AEl llllll lllll 0,2l l得得36 111222111 000000111 A1230 xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12110 ,110pp 0l l 0Ax 當(dāng)當(dāng)時(shí)，解時(shí)，解37 000210111111202113 0002101011323020 xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3121p 2l l (2)0AE x當(dāng)當(dāng)時(shí)，解時(shí)，解2AE38取取 123Pppp 111012101 002 1PAP 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：矩陣矩陣 P是否唯一？矩陣是否唯一？矩陣 是否唯一？是否唯一？3912,mppp依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。方陣方陣 A 的的屬于不同特征值的特征向量屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。定理定理2：設(shè)：設(shè) 是方陣是方陣 A的的 m 個(gè)特征值，個(gè)特征值，12,ml l l ll l若若 各不相等，則各不相等，則 12,ml l l ll l12,mppp線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。40. 02211 mmpxpxpx則則 ,02211 mmpxpxpxA, 0222111 mmmpxpxpxl ll ll l證明：證明：設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) 使得使得12,mx xx類(lèi)推之，有類(lèi)推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpxl ll ll l 1, 2 , 1 mk41把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpxl ll ll ll ll ll l0 等號(hào)左邊的等號(hào)左邊的Vandermonde矩陣當(dāng)矩陣當(dāng) 各不相同時(shí)是可逆的各不相同時(shí)是可逆的 il l42等號(hào)兩邊同時(shí)右乘它的逆矩陣，有等號(hào)兩邊同時(shí)右乘它的逆矩陣，有 1122,0,mmx px pxp 即即 01,2,.jjx pjm又因?yàn)橛忠驗(yàn)?為特征向量，為特征向量，0,jp jp所以所以0jx 12,mppp線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。433 相似矩陣相似矩陣定義定義: 設(shè)設(shè) A, B 都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣 P，使得，使得1PAPB 則稱則稱 A 相似于矩陣相似于矩陣 B ，或稱矩陣，或稱矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 相似。相似。運(yùn)算運(yùn)算 稱為對(duì)稱為對(duì) A 作相似變換，作相似變換，1PAP可逆矩陣可逆矩陣 P 稱為相似變換矩陣。稱為相似變換矩陣。44注：注：矩陣相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系矩陣相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系（1）反身性：）反身性： A 與與 A 相似。相似。（2）對(duì)稱性：若）對(duì)稱性：若 A 與與 B 相似，則相似，則 B 與與 A 相似。相似。（3）傳遞性：若）傳遞性：若 A 與與 B 相似，相似，B 與與 C 相似，相似， 則則 A 與與 C 相似相似45定理定理3: 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、特征值相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、特征值.111| | |()| |PAPBBEPAPEPAE PAEllllllll 46（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。注注：（1）與單位矩陣相似的與單位矩陣相似的n 階矩陣只有單位陣本身，階矩陣只有單位陣本身， 與數(shù)量矩陣與數(shù)量矩陣kE 相似的相似的n階方陣只有數(shù)量陣階方陣只有數(shù)量陣kE。推論：若矩陣推論：若矩陣 A與對(duì)角陣與對(duì)角陣 相似，相似，12nl ll ll l 則則 是是 A 的的 n個(gè)特征值。個(gè)特征值。12,nl lll ll47矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件（利用相似變換把方陣對(duì)角化）（利用相似變換把方陣對(duì)角化）定理定理4： n 階矩陣階矩陣 A 與對(duì)角陣相似（與對(duì)角陣相似（A可對(duì)角化）可對(duì)角化）A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。481PAP ,1,2,iiiAppinl l121122(,)(,)nnnAp ApAppppllllll121212(,)(,)nnnA ppppppl ll ll lAPP12(,)nset Pppp 49(2) 可逆矩陣可逆矩陣 P由由 A的的 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量做為個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量做為 列向量構(gòu)成。列向量構(gòu)成。(但逆命題不成立但逆命題不成立)推論：若推論：若 n 階方陣階方陣 A有有 n個(gè)互不相同的特征值個(gè)互不相同的特征值,則則 A可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）注注：(1) 若若 A與與 相似相似, 則則 的主對(duì)角元素即為的主對(duì)角元素即為 A的特征值，的特征值，50例例1:1: 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？122(1) 224242A 212(2) 533102A 51解解: : 722 l ll l122(1)224242AEl ll ll ll l 得得2, 7l l52得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12221 ,0 .01pp 當(dāng)當(dāng) l l = 2 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 20AE x 1222244244AE 122000000 123220 xxx53得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3122p 13231020 xxxx 當(dāng)當(dāng) l l = 7 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 70AE x 8227254245AE 101 2011000 54123,ppp線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)即即 A有有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以所以 A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。55212(2)533102AEl llllll l 310l l 1l l 56得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以所以 A不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.當(dāng)當(dāng) l l = 1 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 0AE x 312523101AE 101011000 132300 xxxx 57定理：設(shè)定理：設(shè) A為為 n 階矩陣，階矩陣，l l為為A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 |A- -l lE| = 0 的的k重根，則重根，則 A相似于對(duì)角陣的充要條件是相似于對(duì)角陣的充要條件是 R(A- -l lE) = n- -k581. 由特征值、特征向量求矩陣由特征值、特征向量求矩陣?yán)?：已知方陣：已知方陣 的特征值是的特征值是A1230,1,3,llllll相應(yīng)的特征向量是相應(yīng)的特征向量是1231111 ,0 ,2 ,111 求矩陣求矩陣 A59解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?A有有 3 個(gè)不同的特征值，所以個(gè)不同的特征值，所以 A可以對(duì)角化。可以對(duì)角化。即存在可矩陣即存在可矩陣P , 使得使得1PAP 其中其中111102 ,111P 01,3 1111333110,22111636P 601AP P 11133311101110210221113111636 110121011 612. 求方陣的冪求方陣的冪例例4：設(shè)：設(shè) 求求45,23A 100.A解：解：4523AEl ll ll l (2)(1)0llll121,2.llll A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，11l l 0AE x12xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 111p 62齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，22l l 20AE x1252xx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:252p 令令12(,)Ppp 1512 得得1251311P 112PAP 631001001APP 10015102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 64例例2 設(shè)設(shè),()m nn mARBRnm, 證明證明n mnmEBAEABllllll 111110( )0000rrrr rrm rrn mn rrErank ArPAQIPABPPAQQ BPI Q BPCCI C 證明：設(shè)證明：設(shè)65 1111111110mmrn mmrn mrmrrrrrmr rm rrrEABEPI CPEI CccccccccEClllllll ll ll ll lllll 66 11111100rrrn mrn r rn rnnn mrrrn rr mn mnmmQ BAQQ BPPAQQ BPICCICEBAEQCI QECEBAEABEABllllllllllllllllllll 同同理理：674 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，它們一定可實(shí)對(duì)稱矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，它們一定可以對(duì)角化。以對(duì)角化。即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 P, 使得使得1PAP 找到正交矩陣找到正交矩陣 Q，使得，使得1Q AQQ AQ 68定理定理5：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證：設(shè)證：設(shè) 是是 的任一特征值，的任一特征值，l lA是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于 的特征向量，的特征向量，l l 則則All 12(,)0nxxx 用用 表示表示 的共軛復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)， 表示表示 的共軛復(fù)向量。的共軛復(fù)向量。l ll l 69考慮考慮1212(,)nnxxx xxx 1122nnxxxxxx222120nxxx因因Allll =AAA 故故 = ,Al l 及及700llllllll即即 為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。l l又又 是實(shí)對(duì)稱矩陣，是實(shí)對(duì)稱矩陣，AAA.TAA 于是于是()()()()0AAl ll l ll ll ll 且且71定理定理6：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的 特征向量正交。特征向量正交。12,pp是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量，是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量，證：設(shè)證：設(shè) 是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 的兩個(gè)特征值，且的兩個(gè)特征值，且12,llllA12,llll 111222,AppAppllll72112112121212122212()()()()p pppAppp A ppApppp pllllllll 12120.Tp pllll121212,0,0Tp pppllllA為實(shí)對(duì)稱矩陣，為實(shí)對(duì)稱矩陣，TAA即即 正交。正交。12,pp73定理定理7：設(shè)設(shè) A 為為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在則必存在 n 階正交矩陣階正交矩陣 P 使得使得1PAP 其中其中 是以是以 A 的的 n個(gè)特征值為對(duì)角元素的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。對(duì)角陣。74()knR AEl l推論推論: 設(shè)設(shè) A 為為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，階實(shí)對(duì)稱矩陣，l l 為為 A 的特征方的特征方 程的程的 k 重根，則重根，則()R AEnkl l即即75例例1：設(shè)：設(shè)問(wèn)問(wèn) x =？，矩陣？，矩陣 A可以對(duì)角化？可以對(duì)角化？00111100Ax 解解：011110AExl ll ll ll l 2(1) (1)l ll l 0 761l l 是特征方程是特征方程| |A - - l lE| |= 0的二重根。的二重根。于是于是( (Al lE )x = 0 的基礎(chǔ)解系應(yīng)有二個(gè)解向量，即的基礎(chǔ)解系應(yīng)有二個(gè)解向量，即R( (Al lE ) = 110110110001101000AExx 1x 77例例1：設(shè)：設(shè)求正交矩陣求正交矩陣 P ，使得，使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。1PAP 解解：32422423AEl ll ll ll l 218l ll l 0 1231,8.llllll 324202423A 78當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為121llll 0AE x 424212424AE 212000000 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系112 ,0p 202 .1p 123220 xxx79先正交化：先正交化：1112,0bp 1222111014,41222,55105bpbpbbb 再單位化：再單位化：1112,50 2412355 80當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為38l l 80AE x 5248282425AE 101011 2000 132312xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系311 2 ,1p 單位化得單位化得3211,32 81123(,)P 得正交矩陣得正交矩陣14235352213535520335 有有1118PAP 82例例2：設(shè)：設(shè)220212 ,020A 解：解：l ll ll ll l 20212022EA 214 l ll ll l0 1234,1,2.llllll 求正交矩陣求正交矩陣 P ，使得，使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。1PAP 83當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由14l l 40,AE x2204232024AE 102012000 122 .1p 即即13232020 xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系把把 單位化，得單位化，得1p1212 ,31 84當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由21l l 0,AE x120202021AE 120021000 221.2p 即即12322020 xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系把把 單位化，得單位化，得2p2211,32 85當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由22l l 20,AE x4202232022AE 201210000 312 .2p 即即13122020 xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系把把 單位化，得單位化，得3p3112 .32 86 1232211,212 ,3122P 得正交矩陣得正交矩陣1400010.002PAP 有有875 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1. 二次型、二次型的矩陣、二次型的秩二次型、二次型的矩陣、二次型的秩稱為二次型。稱為二次型。22212111222121213131123231,1(,)222 22 nnnnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xa x xa x xaxx含有含有 個(gè)變量個(gè)變量 的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式12,nx xxn定義定義1：88例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x是二次型。是二次型。22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx不是二次型。不是二次型。89只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。例如：例如： 222123123,245fx xxxxx 222123123,44fx xxxxx 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。902211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x則則則二次型可以表示為則二次型可以表示為,1nijiji ja x x 9111112211()nna xa xxxa21122222()nna xxxaa x 1122()nnnnnna xa xxa x9211112212112222112221(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xax xxx 1111121212222122(,) nnnnnnnnxaaaaaaxaaxxxxa 9312 nxxxx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令T fx Ax 則則其中其中 A 為對(duì)稱矩陣。為對(duì)稱矩陣。二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示941123231201(,)20 21032xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如：二次型例如：二次型95 任給一個(gè)二次型，就唯一確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；任給一個(gè)二次型，就唯一確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一確定一個(gè)二次型反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一確定一個(gè)二次型因此二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系因此二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系1 1T fx AxA 96則對(duì)稱矩陣則對(duì)稱矩陣 A 稱為二次型稱為二次型 f 的矩陣，的矩陣，二次型二次型 f 稱為對(duì)稱矩陣稱為對(duì)稱矩陣 A 的二次型，的二次型，對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A 的秩稱為二次型的秩稱為二次型 f 的秩。的秩。T fx Ax 設(shè)二次型設(shè)二次型定義定義2：97例例1：求二次型：求二次型 f 的矩陣的矩陣22212412233427224fxxxx xx xx x 1100121001020027A 解：解：98231310101A 例例2：求對(duì)稱矩陣：求對(duì)稱矩陣 A 所對(duì)應(yīng)的二次型所對(duì)應(yīng)的二次型2221231213262fxxxx xx x 解：解：99( )2 0 3r AAc 例例3：已知二次型：已知二次型 f 的秩為的秩為2，求參數(shù)，求參數(shù)c。22212312132355266fxxcxx xx xx x 51315333Ac 解：解：1002. 非退化線性變換（可逆線性變換）非退化線性變換（可逆線性變換） nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111線性變換線性變換（2）101系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 nnnnnncccccccccC2122221112111122,nnxyxyxyxy則線性變換可寫(xiě)成：則線性變換可寫(xiě)成：x = Cy102若若 C 是可逆矩陣，則稱線性變換是可逆矩陣，則稱線性變換 x = Cy 是非退化線性變換，是非退化線性變換，若若 C 是正交矩陣，則稱線性變換是正交矩陣，則稱線性變換 x = Cy 是正交變換。是正交變換。二次型的主要問(wèn)題是：二次型的主要問(wèn)題是： 求可逆的線性變換求可逆的線性變換 x = Cy 把二次型把二次型 f 變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形.2221122nnxCyfx Axk yk yk y 1033. 矩陣的合同矩陣的合同若有非退化線性變換若有非退化線性變換 x = Cy ， ()()()xCyfx AxCyA CyyC AC y 則有則有 )2( )1(仍是對(duì)稱矩陣仍是對(duì)稱矩陣C AC ()( )R C ACR A 104合同的性質(zhì)：合同的性質(zhì)：(1) 反身性：反身性： A 與與 A合同。合同。(2) 對(duì)稱性：若對(duì)稱性：若 A 與與 B 合同，則合同，則 B 與與 A合同。合同。(3) 傳遞性：若傳遞性：若 A 與與 B 合同，合同，B 與與 C合同，合同， 則則 A 與與 C 合同。合同。矩陣的合同：設(shè)矩陣的合同：設(shè) A, B 都是都是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣C， 使得使得 , 則稱矩陣則稱矩陣 A 與矩陣與矩陣 B 合同合同.C ACB 矩陣的合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。矩陣的合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。105將此結(jié)論用于二次型化標(biāo)準(zhǔn)形將此結(jié)論用于二次型化標(biāo)準(zhǔn)形, 即利用正交變換即利用正交變換 x = P y對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣 A，總存在正交矩陣，總存在正交矩陣 P使得，使得，1PAPP AP ()()xPyfx AxPyA Py 1()()yP AP yyPAP y1066 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnykykyk yyT ()yC AC y112212nnn(,)kykyy yyky fx Ax xCy 非退化線性變換非退化線性變換1071. 正交相似變換法正交相似變換法主軸定理：主軸定理： 任給二次型任給二次型T,1,nijiji jfa x xx Ax 總有正交變換總有正交變換,xPy 使之化為標(biāo)準(zhǔn)形使之化為標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnyyyfl ll ll l 全部特征值全部特征值. .是二次型是二次型 f 的矩陣的矩陣 A 的的其中其中12n,l lll ll108例例14 求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換,xPy 把二次型把二次型121323222fx xx xx x化為標(biāo)準(zhǔn)形?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。解：二次型的矩陣解：二次型的矩陣011101110A 10921111|11111101120(1) 110(1) (2)011AElllllllllllllllll lllllllll 特征值為特征值為 l l = - -1, 2110當(dāng)當(dāng) l l = 1 時(shí)，解方程時(shí)，解方程()0AE x123111111111000111000-0AExxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12111001pp ，111正交化正交化1112221111,11,22ppp 單位化單位化1211111,12602 112當(dāng)當(dāng) l l = 2 2 時(shí)，解方程時(shí)，解方程(2)0AE x1323211101021210110112000 xxAExx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3111p 單位化單位化311131 11312221231112631111,12632210632PPAPP APfyyy 1142. 拉格朗日配方法拉格朗日配方法用二個(gè)例題來(lái)介紹拉格朗日用二個(gè)例題來(lái)介紹拉格朗日 ( Lagrange ) 配方法。配方法。例例15 把二次型把二次型22212312132325226fxxxx xx xx x化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求合同變換矩陣?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形，并求合同變換矩陣。115解：注意到解：注意到 f 中含有中含有 x1 的平方項(xiàng)，把含的平方項(xiàng)，把含 x1 的項(xiàng)合并配方，的項(xiàng)合并配方，22222123232323232221232233()2256()44fxxxxxx xxxx xxxxxx xx11231122223333111,010001uxxxxuuxxuuxxu 令令116222221223312344(2)fuuu uuuuu再類(lèi)似地考慮含再類(lèi)似地考慮含 u2 的項(xiàng)的項(xiàng), 11112232233331002,012001yuuyyuuuyyuuy 令令于是標(biāo)準(zhǔn)形為于是標(biāo)準(zhǔn)形為2212fyy，合同變換矩陣為，合同變換矩陣為111100111010012012001001001C117例例16 把二次型把二次型121323226fx xx xx x化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求合同變換矩陣。化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求合同變換矩陣。118解：注意到解：注意到 f 中不含中不含 x1 的平方項(xiàng)，但含有的平方項(xiàng)，但含有 x1 x2 項(xiàng)，項(xiàng)，令令11211212223333110,110001xuuxuxuuxuxuxu 則則221213232248fuuu uu u再利用前例的作法再利用前例的作法2221332232()228fuuuuu u1131122223333101,010001vuuuvvuuvvuuv 令令119再令再令則則222222132231233222822(2)6fvvvv vvvvv11112232233331002,012001yvvyyvvvyyvvy 因此因此222123226fyyy，合同變換矩陣為，合同變換矩陣為110101100113110010012111001001001001C1207 正定二次型正定二次型定理定理9: 設(shè)二次型設(shè)二次型T,fx Ax 秩為秩為 r ，可逆變換，可逆變換,xCy xPz分別把二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形分別把二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形2221122(0)rnifk yk yk yk 2221122(0)rrifyyyl ll ll ll l 則則12,rk kk與與12,rl lll ll中值為正的個(gè)數(shù)相等。中值為正的個(gè)數(shù)相等。并把其中值為正的個(gè)數(shù)稱為二次型的并把其中值為正的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)，正慣性指數(shù)，其中值為負(fù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的其中值為負(fù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)。負(fù)慣性指數(shù)。121定義定義10: 設(shè)二次型設(shè)二次型T( ),f xx Ax 若對(duì)任意若對(duì)任意0 x都有都有( )0f x ，則稱，則稱 f 為正定為正定二次型，并二次型，并稱稱 A 為正定矩陣；為正定矩陣；若對(duì)任意若對(duì)任意0 x都有都有( )0f x ，則稱，則稱 f 為負(fù)定為負(fù)定二次型二次型并并稱稱 A 為負(fù)定矩陣為負(fù)定矩陣 ，也記作也記作 A 0 .122定理定理10: 二次型二次型T( )f xx Ax 為正定為正定二次型的充要條件是二次型的充要條件是 f 標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形的 n 個(gè)系數(shù)全是正的，即其正慣性指數(shù)是個(gè)系數(shù)全是正的，即其正慣性指數(shù)是 n 。2221122( )()0nnxCyf xf Cyyyyllllll 推論推論: 對(duì)稱對(duì)稱矩陣矩陣 A 為正定的為正定的充要條件是充要條件是 A 的特征值的特征值全是全是 正的。正的。123定理定理11: 對(duì)稱對(duì)稱矩陣矩陣 A 為正定的為正定的充要條件是：充要條件是： A 的各階主子的各階主子 式式全是正的；全是正的； 對(duì)稱對(duì)稱矩陣矩陣 A 為負(fù)定的為負(fù)定的充要條件是：充要條件是： A 的奇數(shù)階主的奇數(shù)階主 子式子式是負(fù)的，偶是負(fù)的，偶奇數(shù)階主子式奇數(shù)階主子式是正的。是正的。