年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的解題方法

專題04 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的解題方法一命題陷阱：1復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題陷阱（忽視定義域陷阱）2函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與參數(shù)問題（圖象不完備陷阱）3. 函數(shù)零點(diǎn)中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）4. 函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用（忽視周期性陷阱）5. 函數(shù)零點(diǎn)與不等式綜合（運(yùn)用均值不等式時的條件陷阱）6. 方程的根的求解問題7. 分段函數(shù)的零點(diǎn)問題8. 零點(diǎn)問題中新定義問題9. 零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等的綜合二、陷阱典例及訓(xùn)練1復(fù)合函數(shù)陷阱（忽視定義域陷阱）例1.已知函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖，所以，令，則，又有兩個零點(diǎn)，則有解，則存在解，又，【陷阱防范措施】注意復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的使用，并注意定義域限制練習(xí)1.設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有六個不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，令，則方程化為，要使關(guān)于的方程，恰好有六個不同的實(shí)數(shù)根，則方程在內(nèi)有兩個不同實(shí)數(shù)根， ，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【思路總結(jié)】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題 .練習(xí)2已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象知當(dāng)x0時， 有一個解，則等價為當(dāng)x0時，f（x）=1無解，即若k0，滿足=1無解，若k0，則函數(shù)f（x）=在x0時為增函數(shù)，則函數(shù)的最大值為，此時只要滿足，即，即可，綜上實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，0）（0，+），故選：A【思路總結(jié)】：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度練習(xí)3設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A故答案為A。練習(xí)4. 已知，若關(guān)于的方程恰好有 4 個不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函數(shù)f（x）=在（0，+）上有一個最大值為f（1）=，作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：設(shè)m=f（x），當(dāng)m時，方程m=f（x）有1個解，當(dāng)m=時，方程m=f（x）有2個解，當(dāng)0m時，方程m=f（x）有3個解，當(dāng)m=0時，方程m=f（x），有1個解，當(dāng)m0時，方程m=f（x）有0個解，則方程f2（x）tf（x）+t1=0等價為m2tm+t1=0，要使關(guān)于x的方程f2（x）tf（x）+t1=0恰好有4個不相等的實(shí)數(shù)根，等價為方程m2tm+t1=0有兩個不同的根m1且0m2，設(shè)g（m）=m2tm+t1，則 解得1t1+，故答案選：C。練習(xí)5. 若函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是_.【答案】42.函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與參數(shù)問題（圖象錯誤陷阱）例2若方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由方程得： ，因?yàn)榈淖畹忘c(diǎn)為，當(dāng)過時有一個交點(diǎn)，此時，所以要讓方程兩個不等實(shí)數(shù)根，只需，故選C.【陷阱防范措施】這類問題采用數(shù)形結(jié)合法練習(xí)1. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程與函數(shù)思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)練習(xí)2. 已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ( )A. B. C. D. 1【答案】C函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為，函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為此時函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn)，不成立；當(dāng)時，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)為，函數(shù)的圖象的最低點(diǎn)為此時函數(shù)的圖象與的圖象只有一個交點(diǎn)，即故選C點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：現(xiàn)將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一個平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.練習(xí)3. 已知函數(shù)若方程有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】練習(xí)4. 若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ， ， ， 實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題 .練習(xí)5. 若關(guān)于的方程 有兩個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. ) C. () D. (【答案】B【解析】直線與曲線y=有兩個交點(diǎn),實(shí)數(shù)的取值范圍是)故選：B.點(diǎn)睛：已知方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解練習(xí)6.方程有三個不相等的實(shí)根，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可得函數(shù)與函數(shù)有三個交點(diǎn)，繪制函數(shù)圖象如圖所示，觀察可得的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).練習(xí)7. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】A練習(xí)8. 若函數(shù)在實(shí)數(shù)上有三個不同的零點(diǎn)， 為常數(shù)，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】方法一：函數(shù)為偶函數(shù)，方法二：令,則,令, ,由題意知函數(shù)和的圖象有三個公共點(diǎn)。當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，如下圖所示，結(jié)合圖象可得，若兩函數(shù)圖象有三個公共點(diǎn)，則必有，即,解得或（舍去）。當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得兩函數(shù)圖象不可能有三個公共點(diǎn)。綜上。答案： 3.函數(shù)零點(diǎn)中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）例3已知函數(shù) ，若對任意，總存在使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D【陷阱防范措施】注意函數(shù)的最值，是求最大還是最小值練習(xí)1.若函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】A練習(xí)2. 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù),所以,又，所以函數(shù)關(guān)于x=2軸對稱,即, ,函數(shù)的周期為4,且當(dāng)時， ，分別畫出y=f(x)和g(x)= 的圖象,使其恰有三個交點(diǎn),則需滿足,即,解得 ,故選C.練習(xí)3. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時， ，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C練習(xí)4.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時， ，則函數(shù)（）的所有零點(diǎn)之和等于_【答案】8【解析】函數(shù)關(guān)于對稱構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時， ，則與在時的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可得，當(dāng)時， 與的圖象有4個交點(diǎn)根據(jù)對稱性， 與的圖象在時有8個交點(diǎn).故答案為84.函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用例4.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時， ，則關(guān)于的方程在上實(shí)根的個數(shù)是（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【陷阱防范措施】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題練習(xí)1. 已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)解為，則（ ）A. B. C. D. 以上答案都不對【答案】B【解析】【思路總結(jié)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)練習(xí)2. 若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”.若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】即方程 有解令 ，則 ，所以 在上有解因此 5.函數(shù)零點(diǎn)與不等式綜合（均值不等式的條件陷阱）例5. 已知 ，函數(shù) 的零點(diǎn)分別為 ， （），函數(shù) 的零點(diǎn)分別為 ， （），則 的最小值為 A. B. C. D. 【答案】B【解析】x1x2，2x11k，2x21+k，又x3x4，2x31 又， 故選B 【陷阱防范措施】注意運(yùn)用均值不等式時，要保證“正、定、等”三條練習(xí)1.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有個不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B則函數(shù)與在區(qū)間（-2，6）上有四個不同的交點(diǎn)，如下圖所示.又，則對于函數(shù)，根據(jù)題意可得，當(dāng)時的函數(shù)值小于1，即，由此計(jì)算得出a>8.a的范圍是（8，+）.本題選擇B選項(xiàng).【思路規(guī)律總結(jié)】：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用練習(xí)2. 已知函數(shù)若關(guān)于的方程有且只有個不同的根，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】練習(xí)3. 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且時， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程有四個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D則函數(shù)是以為周期的函數(shù)，結(jié)合題意畫出函數(shù)在上的圖象與函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析可知，要使與的圖象有四個不同的交點(diǎn)，則 解得即的取值范圍是故答案選練習(xí)4. 已知函數(shù)，若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱， 又當(dāng)時， 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù). 因?yàn)樵谏嫌薪?，即有解?又，即在上有解，練習(xí)5. 已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題可知 ，由于，由，由，又，所以，從而， ，故選D練習(xí)6. 已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)且滿足： ，則的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象：故選：A6.方程的根的求解問題例6.如果方程的兩根為，那么的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)榉匠痰膬筛鶠椋?， ， ，故選C.【陷阱防范措施】注意使用韋達(dá)定理和零點(diǎn)存在定理及數(shù)形結(jié)合練習(xí)1已知函數(shù)，若（互不相等），則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】練習(xí)2已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：若滿足，其中，則01，13，則log3=-log3，即log3+log3=log3=0，則=1，同時（3，6），（12，15）， 關(guān)于x=9對稱，+=18，則=18-，則=-3（+）+9=（18-）-45=-2+18-45=-（-9）2+36，（3，6），-（-9）2+36（0，27），即（0，27）故選A練習(xí)3. 已知函數(shù)若存在， 且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】故答案為： 。練習(xí)4已知函數(shù)，實(shí)數(shù)且，滿足，則的取值范圍是_【答案】【解析】 畫出函數(shù)的圖象（如圖所示），且，且,，。故所求范圍為。答案： 練習(xí)5函數(shù)在區(qū)間上可找到個不同數(shù)，使得，則的最大值等于_?！敬鸢浮?0【解析】7.分段函數(shù)的零點(diǎn)問題例7. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】當(dāng)時，由得，所以當(dāng)時， 有一個零點(diǎn)當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，由時有三個零點(diǎn)，所以選A.【陷阱防范措施】分段函數(shù)問題毫不猶豫畫出函數(shù)圖象，再由圖象與性質(zhì)進(jìn)行解題對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等練習(xí)1直線yx與函數(shù)f(x)的圖象恰有三個公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. 1,2) B. 1,2 C. 2，) D. (，1【答案】A【解析】由題意知，方程x24x2x(xm)與x2(xm)共有三個根x24x2x的解為x12，x21，畫出圖像當(dāng)1m2時滿足條件故選A.練習(xí)2已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有7個不同實(shí)數(shù)解則（ ）A. 且 B. 且 C. 且 D. 且【答案】A練習(xí)3. 已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】練習(xí)4. 設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的函數(shù)有8個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】令t=f(x)，則原函數(shù)等價為。作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，圖象可知當(dāng)由時，函數(shù)有四個交點(diǎn)。要使關(guān)于x的函數(shù)有8個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)在（0,1）上有兩個不同的實(shí)根，令，則由根的分布可得，整理得，解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案： 練習(xí)5. 已知,函數(shù)， ，若函數(shù)有6個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】函數(shù)， 當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，即時，則當(dāng)即時，8.零點(diǎn)問題中新定義問題例8.已知表示不大于的最大整數(shù)，若函數(shù)在上僅有一個零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若，當(dāng)， ， .，當(dāng)，即時， 在上有一個零點(diǎn).【陷阱防范措施】首先弄清新定義，然后再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解答練習(xí)1定義一種新運(yùn)算： ，已知函數(shù)，若方程恰好有兩個根，則的取值范圍為_【答案】 【解析】函數(shù) ，作出函數(shù)的圖象如上圖，方程恰好有兩個根等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，故。練習(xí)29.零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等的綜合例9. 25若方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，且，則 的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意作出函數(shù)的圖象如下：故在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 的取值范圍是故選D【陷阱防范措施】把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列聯(lián)系在一起，注意使用數(shù)列相關(guān)知識練習(xí)1已知函數(shù)，把方程的根按從小到大順序排成一個數(shù)列，則該數(shù)列的前項(xiàng)和_【答案】【解析】當(dāng)時，有，有 ，當(dāng)時，有 ，有 當(dāng)時，有 ，有 當(dāng)時，有 ，有 依次類推，當(dāng)時，則 ，所以 ，故 ，所以通項(xiàng)公式， .32