2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 三角函數(shù)、平面 向量 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案

第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情分析] 三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，考查中以圖象的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值作為熱點(diǎn)，并常與三角變換交匯命題，難度為中檔偏下. 年份 卷別 考查角度及命題位置 2017 Ⅱ卷 三角函數(shù)的周期求法·T3 三角函數(shù)的最值問題·T13 Ⅲ卷 三角函數(shù)的最值問題·T6 2016 Ⅰ卷 三角函數(shù)的圖象變換與性質(zhì)·T6 Ⅱ卷 已知三角函數(shù)圖象求解析式·T3 三角函數(shù)的最值問題·T11 Ⅲ卷 三角函數(shù)圖象變換·T14 2015 Ⅰ卷 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)·T8 [真題自檢] 1．(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期為(　　) A．4π B．2π C．π D. 解析：依題意得，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期T＝＝π，選C. 答案：C 2．(2016·高考全國(guó)卷Ⅰ)將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：函數(shù)y＝2sin的周期為π，將函數(shù)y＝2sin的圖象向右平移個(gè)周期即個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin＝2sin，故選D. 答案：D 3．(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為________． 解析：依題意，得f(x)＝sin(x＋θ)(其中sin θ＝，cos θ＝)．因此函數(shù)f(x)的最大值是. 答案： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與變換 [方法結(jié)論] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得． (2)圖象變換： [題組突破] 1．(2017·呼和浩特調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)＝sin 2x和函數(shù)g(x)的部分圖象，則g(x)的圖象可能是由f(x)的圖象(　　) A．向右平移個(gè)單位得到的 B．向右平移個(gè)單位得到的 C．向右平移個(gè)單位得到的 D．向右平移個(gè)單位得到的 解析：由題意可得，在函數(shù)f(x)＝sin 2x的圖象上，(，y)關(guān)于對(duì)稱軸x＝對(duì)稱的點(diǎn)為(，y)，而－＝，故g(x)的圖象可能是由f(x)的圖象向右平移個(gè)單位得到的． 答案：B 2．(2017·河西五市聯(lián)考)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，將其圖象向左平移m個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y＝2sin(x＋m＋)，由題意得，m＋＝＋kπ，k∈Z，則m＝＋kπ，k∈Z，故取k＝0時(shí)，mmin＝， 故選B. 答案：B 3．(2017·合肥模擬)要想得到函數(shù)y＝sin 2x＋1的圖象，只需將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 解析：先將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即得y＝sin 2x＋1的圖象，故選B. 答案：B [誤區(qū)警示] 作三角函數(shù)圖象左右平移變換時(shí)，平移的單位數(shù)是指單個(gè)變量x的變化量，因此由y＝sin ωx(ω＞0)的圖象得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，應(yīng)將圖象上所有點(diǎn)向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移個(gè)單位，而非|φ|個(gè)單位． 由圖象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 [方法結(jié)論] 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定 利用函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點(diǎn)確定φ. [題組突破] 1．(2017·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f()的值為(　　) A．2 B. C．－ D．－ 解析：依題意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結(jié)合函數(shù)y＝f′(x)的圖象可知，T＝＝4(－)＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因?yàn)?＜φ＜π，＜＋φ＜，且f′()＝cos(＋φ)＝－1，所以＋φ＝π，φ＝ ，f(x)＝sin(2x＋)，f()＝sin(π＋)＝－×＝－，故選D. 答案：D 2．(2017·沈陽模擬)某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝－cos 解析：通解：不妨令該函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由圖知A＝1，＝－＝，于是＝，即ω＝，是函數(shù)的圖象遞減時(shí)經(jīng)過的零點(diǎn)，于是×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是，選C. 優(yōu)解：由圖象知過點(diǎn)，代入選項(xiàng)可排除A、D.又過點(diǎn)，代入B，C知C正確． 答案：C [誤區(qū)警示] 用五點(diǎn)法求φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)為突破口．“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時(shí)ωx＋φ＝2π. 三角函數(shù)的性質(zhì) [方法結(jié)論] 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x的遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．三角函數(shù)奇偶性判斷 y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)． 3．三角函數(shù)周期性的求法 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期為T＝. 4．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． [典例](2017·綿陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)求f(x)在[－，]上的最大值和最小值． 解析：由已知有f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin(2x－)． (1)f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)因?yàn)閥＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 所以2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (3)因?yàn)閤∈[－，]，所以2x－∈[－π，]， 所以sin(2x－)∈[－1，]，所以f(x)＝sin(2x－)∈[－，]． 故f(x)在[－，]上的最大值為，最小值為－. [類題通法] 1．整體思想在三角函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性及已知區(qū)間上的最值問題時(shí)往往將ωx＋φ看作整體，利用y＝Asin x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解． 2．研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用． [演練沖關(guān)] 1．(2017·石家莊模擬)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的圖象關(guān)于(，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在[－，]上的最小值是(　　) A．－1　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，則由題意，知f()＝2sin(π＋θ＋)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在[－，]上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[－，]上的最小值為f()＝－2sin ＝－，故選B. 答案：B 2．(2017·長(zhǎng)春質(zhì)檢)函數(shù)y＝sin與y＝cos的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則a可能是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意，函數(shù)y＝sin的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝sin，利用誘導(dǎo)公式將其化為余弦表達(dá)式為y＝cos＝cos，則y＝cos＝cos，得a＝.故選A. 答案：A 3．(2017·上海普陀區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin2 x＋bsin xcos x滿足f＝2. (1)求實(shí)數(shù)b的值以及函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)記g(x)＝f(x＋t)，若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的值． 解析：(1)由f＝2，得2×＋b××＝2， 解得b＝2. 則f(x)＝2sin2 x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)得f(x＋t)＝2sin＋1， 所以g(x)＝2sin＋1， 又函數(shù)g(x)是偶函數(shù)， 則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，均有g(shù)(－x)＝g(x)成立． 所以sin＝sin， 整理得cossin 2x＝0. 則cos＝0，解得2t－＝kπ＋，k∈Z， 所以t＝＋，k∈Z. 三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，近年來，三角函數(shù)與其他知識(shí)交匯命題成為高考的熱點(diǎn)，由原來三角函數(shù)與平面向量的交匯滲透到三角函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列、不等式、向量、方程等知識(shí)的交匯． [典例]　函數(shù)y＝2sin ＋1的部分圖象如圖所示，則(＋2)·＝(　　) A．－10 B．－5 C．5 D．10 解析：令y＝1，可得sinx＝0，由五點(diǎn)作圖法知x＝π，解得x＝2，故A(2,1)．令y＝2sin x＋1＝－1，得sin x＝－1，由五點(diǎn)作圖法得x＝3，故B(3，－1)．所以(＋2)·＝(8，－1)·(1，－2)＝8＋2＝10，故選D. 答案：D [類題通法] 解決三角函數(shù)與其他知識(shí)的交匯問題，要充分利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，如本例充分利用了數(shù)形結(jié)合思想． [演練沖關(guān)] 1．已知定義在區(qū)間[0，]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，當(dāng)x≥時(shí)，f(x)＝cos x，如果關(guān)于x的方程f(x)＝a有解，記所有解的和為S，則S不可能為(　　) A.π B.π C.π D．3π 解析：依題意作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的簡(jiǎn)圖，當(dāng)直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象有交點(diǎn)時(shí)， 方程f(x)＝a有解，所以－1≤a≤0.①當(dāng)－＜a≤0時(shí)，f(x)＝a有2個(gè)解，此時(shí)S＝.②當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)＝a有3個(gè)解，此時(shí)S＝＋＝.③當(dāng)－1＜a＜－時(shí)，f(x)＝a有4個(gè)解，此時(shí)S＝2×＝3π.④當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝a有2個(gè)解，此時(shí)S＝.故選A. 答案：A 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin.若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足x＋[f(x0)]2＜m2，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由正弦型函數(shù)的圖象可知：f(x)的極值點(diǎn)x0滿足f(x0)＝±，則＝＋kπ(k∈Z)，從而得x0＝m(k∈Z)．所以不等式x＋[f(x0)]2＜m2即為2m2＋3＜m2，變形得m2＞3，其中k∈Z.由題意，存在整數(shù)k使得不等式m2＞3成立．當(dāng)k≠－1且k≠0時(shí)，必有2＞1，此時(shí)不等式顯然不能成立，故k＝－1或k＝0，此時(shí)，不等式即為m2＞3，解得m＜－2或m＞2. 答案：C - 10 -