（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題五 解析幾何教學(xué)案 文

專題五 解析幾何 [研高考·明考點(diǎn)] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ T5·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離 T20·直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的方程 T12·橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 卷Ⅱ T5·雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、離心率的取值范圍 T20·點(diǎn)的軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 T12·拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系 卷Ⅲ T11·直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率 T20·直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)、探索性問(wèn)題，定值問(wèn)題 T14·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程 2016 卷Ⅰ T5·橢圓的圖象和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系 T20·拋物線的圖象、性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系 T15·直線與圓的位置關(guān)系，圓的面積 卷Ⅱ T5·拋物線的基本性質(zhì)、兩曲線的交點(diǎn) T21·橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系 T6·圓的方程及性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離 卷Ⅲ T12·橢圓的幾何性質(zhì) T20·直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率，軌跡方程的求法 T15·直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題 2015 卷Ⅰ T5·橢圓與拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) T20·直線的斜率，直線與圓的位置關(guān)系 T16·雙曲線的幾何性質(zhì)、三角形的面積 卷Ⅱ T7·圓的方程、兩點(diǎn)間的距離 T20·橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 T15·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線 [析考情·明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c(diǎn) 1.直線與圓的位置關(guān)系(3年5考) 2.圓錐曲線的方程(3年4考) 3.圓錐曲線的性質(zhì)(3年9考) 常考點(diǎn) 高考對(duì)解析幾何在解答題中的考查，圓錐曲線方程的求法比較簡(jiǎn)單，重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、范圍、探索性問(wèn)題，難度較大，題型主要有： 1.圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題 2.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題 偶考點(diǎn) 1.直線與圓的方程 2.圓錐曲線與圓、直線的綜合問(wèn)題 偶考點(diǎn) 1.某點(diǎn)軌跡方程的求法 2.直線與圓的位置關(guān)系 第一講 小題考法——直線與圓 考點(diǎn)(一) 主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個(gè)距離公式的應(yīng)用. 直 線 的 方 程 [典例感悟] [典例]　(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．－ B．0 C．－或0 D．2 (2)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. (3)過(guò)直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0,4)距離為2的直線方程為_(kāi)_______________________________________________________________. [解析]　(1)由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝0或a＝－時(shí)均有l(wèi)1∥l2，故選C. (2)易知BC所在直線的方程是x＋y＝1，由消去x，得y＝，當(dāng)a＞0時(shí)，直線y＝ax＋b與x軸交于點(diǎn)，結(jié)合圖形知××＝，化簡(jiǎn)得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜. 考慮極限位置，即當(dāng)a＝0時(shí)，易得b＝1－，故b的取值范圍是. (3)由得∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)為(1,2)．當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時(shí)，顯然不滿足題意． 當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵點(diǎn)P(0,4)到直線的距離為2， ∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案]　(1)C　(2)B　(3)y＝2或4x－3y＋2＝0 [方法技巧] 直線方程問(wèn)題的2個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的情況． (2)求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意． [演練沖關(guān)] 1．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)，B(－a,1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：選B　由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B. 2．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2間的距離為d＝＝. 3．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)．當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，因?yàn)镻為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點(diǎn)，且兩直線垂直，則PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考點(diǎn)(二) 主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長(zhǎng)公式、直線與圓相切等問(wèn)題. 圓 的 方 程 [典例感悟] [典例]　(1)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(　　) A. B. C. D. (2)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________． (3)(2017·廣州模擬)若一個(gè)圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________． [解析]　(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴∴ ∴△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2－2x－y＋1＝0，圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 ＝. (2)由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)， 則 解得 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝. (3)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因?yàn)樵搱A與直線y＝x＋3，即x－y＋3＝0相切，所以r＝＝，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝2. [答案]　(1)B　(2)2＋y2＝　(3)x2＋(y－1)2＝2 [方法技巧] 圓的方程的2種求法 (1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程． (2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． [演練沖關(guān)] 1．(2017·長(zhǎng)春質(zhì)檢)圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選D　圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的半徑相同，只需求圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則解得所以圓(x－2)2＋y2＝4的圓心關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4，故選D. 2．(2017·北京西城區(qū)模擬)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：選A　根據(jù)題意直線x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，即圓心為(－1,0)．因?yàn)閳AC與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑r＝＝，則圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2，故選A. 3．(2017·惠州調(diào)研)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.綜上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 考點(diǎn)(三) 主要考查直線與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決參數(shù)問(wèn)題或與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題. 直線與圓的位置關(guān)系 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·昆明模擬)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 (2)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為_(kāi)_______． (3)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝________. [解析]　(1)由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＝2，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，半徑為2.又圓N的圓心為(1,1)，半徑為1，則圓M，圓N的圓心距|MN|＝，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3,1<<3，故兩圓相交． (2)圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝，因?yàn)閨AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距離d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π. (3)如圖所示，∵直線AB的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，∴∠BPD＝30°， 從而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中， ∵|OB|＝2，∴|OD|＝2. 取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OH⊥AB， ∴OH為直角梯形ABDC的中位線， ∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4. [答案]　(1)B　(2)4π　(3)4 [方法技巧] 1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問(wèn)題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)將圓心到直線的距離同半徑做比較實(shí)現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問(wèn)題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算． 2．直線截圓所得弦長(zhǎng)的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)． (3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式求解． [演練沖關(guān)] 1．(2017·南昌模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AOB＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D　因?yàn)閳Ax2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝＝，所以弦長(zhǎng)|AB|＝2＝2. 在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 2．已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k＝________. 解析：如圖，把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圓心為C(0,1)，半徑為r＝1，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值為1. 而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值為2，此時(shí)|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離d，則d＝＝＝，化簡(jiǎn)得k2＝4，因?yàn)閗>0，所以k＝2. 答案：2 3．(2017·云南調(diào)研)已知?jiǎng)訄AC過(guò)A(4,0)，B(0，－2)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(1，－2)的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，|EF|的最小值為_(kāi)_______． 解析：依題意得，動(dòng)圓C的半徑不小于|AB|＝，即當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，AB是圓C的一條直徑，此時(shí)圓心C是線段AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)C(2，－1)，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－2)，且|CM|＝＝<，所以點(diǎn)M位于圓C內(nèi)，所以當(dāng)點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，|EF|最小，其最小值為2＝2. 答案：2 [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 1．直線方程的五種形式 點(diǎn)斜式 y－y1＝k(x－x1)(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 斜截式 y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 兩點(diǎn)式 ＝(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線) 截距式 ＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線) 一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0) 2．點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝. (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. 3．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2))． 4．直線與圓位置關(guān)系的判定方法 (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切． (2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r?相交，d>r?相離，d＝r?相切． 5．圓與圓的位置關(guān)系 已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則 (1)當(dāng)|O1O2|＞r1＋r2時(shí)，兩圓外離； (2)當(dāng)|O1O2|＝r1＋r2時(shí)，兩圓外切； (3)當(dāng)|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時(shí)，兩圓相交； (4)當(dāng)|O1O2|＝|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切； (5)當(dāng)0≤|O1O2|＜|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. [針對(duì)練1]　若直線l1：mx＋y＋8＝0與l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，則m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1 2．若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：x0x＋y0y＝r2. [針對(duì)練2]　過(guò)點(diǎn)(1，)且與圓x2＋y2＝4相切的直線l的方程為_(kāi)___________． 解析：∵點(diǎn)(1，)在圓x2＋y2＝4上， ∴切線方程為x＋y＝4，即x＋y－4＝0. 答案：x＋y－4＝0 (三) 易錯(cuò)易混要明了 1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等． [針對(duì)練3]　已知直線過(guò)點(diǎn)P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_(kāi)_________________． 解析：當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為5x－y＝0； 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，代入P(1,5)，得a＝6，∴直線方程為x＋y－6＝0. 答案：5x－y＝0或x＋y－6＝0 2．討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時(shí)，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免討論． [針對(duì)練4]　已知直線l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，則t的值為_(kāi)_______． 解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1. 答案：－1或1 3．求解兩條平行線之間的距離時(shí)，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯(cuò)解． [針對(duì)練5]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為_(kāi)_______． 解析：把直線6x＋4y＋5＝0化為3x＋2y＋＝0，故兩平行線間的距離d＝＝. 答案： 4．易誤認(rèn)為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解． [針對(duì)練6]　已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0相切，則m＝________. 解析：由x2＋y2－2x－6y－1＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，由x2＋y2－10x－12y＋m＝0，得(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.當(dāng)兩圓外切時(shí)，有＝＋，解得m＝25＋10；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有＝，解得m＝25－10. 答案：25±10 [課時(shí)跟蹤檢測(cè)] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝(　　) A．0 B. C.或0 D.或0 解析：選D　因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d＝＝1，解得k＝0或k＝，故選D. 2．(2017·陜西質(zhì)檢)圓：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 解析：選A　將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，故圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝＋1. 3．(2017·洛陽(yáng)統(tǒng)考)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k＝1”是“|AB|＝”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　依題意，注意到|AB|＝＝等價(jià)于圓心O到直線l的距離等于，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要條件． 4．若三條直線l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值最多有(　　) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè) 解析：選C　三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)．若l1∥l2，則m＝4；若l1∥l3，則m＝－；若l2∥l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，則m＝1或－.故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè)，故選C. 5．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：選C　由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即該直線恒過(guò)點(diǎn)(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 6．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析：選D　由題意知，曲線方程為(x－6)2＋(y－6)2＝(3)2，過(guò)圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又圓心(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5，故最小圓的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 7．已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且被y軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為2∶1，則圓的方程為(　　) A．x2＋2＝ B．x2＋2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ 解析：選C　設(shè)圓的方程為(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圓C與y軸交于A(0,1)，B(0，－1)，由弧長(zhǎng)之比為2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，則tan 60°＝＝＝，所以a＝|OC|＝，即圓心坐標(biāo)為，r2＝|AC|2＝12＋2＝.所以圓的方程為2＋y2＝，故選C. 8．(2017·合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(guò)(0,3)且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：選B　由題可知，圓心C(1,1)，半徑r＝2.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝0，計(jì)算出弦長(zhǎng)為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長(zhǎng)為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0. 綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B. 9．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)關(guān)于曲線C：x2＋y4＝1，給出下列四個(gè)命題： ①曲線C有兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心； ②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為1； ③曲線C的長(zhǎng)度l滿足l>4； ④曲線C所圍成圖形的面積S滿足π<S<4. 上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選A?、賹?x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不變，則可以確定曲線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①是真命題． ②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為≥1，故②是真命題． ③由②知，x2＋y4＝1的圖象位于單位圓x2＋y2＝1和邊長(zhǎng)為2的正方形之間，如圖所示，其每一段弧長(zhǎng)均大于，所以l>4，故③是真命題． ④由③知，π×12<S<2×2，即π<S<4，故④是真命題．綜上，真命題的個(gè)數(shù)為4. 10．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸．過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 解析：選C　由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，解得a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36，即|AB|＝6. 11．兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：選B　兩個(gè)圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9. 由2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)等號(hào)成立．所以a＋b的最小值為－3. 12．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(　　) A．(4,6) B．[4,6] C．(4,5) D．(4,5] 解析：選A　設(shè)直線4x－3y＋m＝0與直線4x－3y－2＝0之間的距離為1，則有＝1，m＝3或m＝－7.圓心(3，－5)到直線4x－3y＋3＝0的距離等于6，圓心(3，－5)到直線4x－3y－7＝0的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A. 二、填空題 13．(2017·河北調(diào)研)若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對(duì)的圓心角相等，均為90°，因此圓心到兩直線的距離均為r＝2，即＝＝2，得a2＋b2＝(2＋1)2＋(1－2)2＝18. 答案：18 14．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)___________． 解析：因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 15．設(shè)直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程為_(kāi)___________． 解析：因?yàn)橹本€l恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，由x2＋y2－2x－3＝0變形為(x－1)2＋y2＝4，易知點(diǎn)(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，依題意，k·＝－1，即k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1. 答案：y＝x＋1 16．已知A(－2,0)，B(0,2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上不同的兩點(diǎn)，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動(dòng)點(diǎn)，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則△PAB面積的最大值是________． 解析：由題意知圓心在直線x－y－1＝0上，所以－－1＝0，解得k＝－2，得圓心的坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1.又知直線AB的方程為x－y＋2＝0，所以圓心(1,0)到直線AB的最大距離為，所以P到直線AB的最大距離，即△PAB的AB邊上的高的最大值為1＋，又|AB|＝2，所以△PAB面積的最大值為×2×＝3＋. 答案：3＋ B組——能力小題保分練 1．(2017·石家莊模擬)若a，b是正數(shù)，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為2，則t＝a取得最大值時(shí)a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　因?yàn)閳A心到直線的距離d＝，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.則t＝a＝·(2a)·≤××＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a＝，故選D. 2．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2) 解析：選C　當(dāng)|＋|＝||時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形AOB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，即＝1，解得k＝；當(dāng)k>時(shí)，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故<2，即k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)． 3．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．設(shè)條件p：0<r<3，條件q：圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2. 當(dāng)2－r>1，即0<r<1時(shí)，直線在圓外，圓上沒(méi)有點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)2－r＝1，即r＝1時(shí)，直線在圓外，圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)0<2－r<1，即1<r<2時(shí)，直線在圓外，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)2－r＝0，即r＝2時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)0<r－2<1，即2<r<3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)r－2＝1，即r＝3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1； 當(dāng)r－2>1，即r>3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1. 綜上，當(dāng)0<r<3時(shí)，圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1；由圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1可得0<r<3.故p是q的充要條件，故選C. 4．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心在直線ax－by＋1＝0上，則ab的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心坐標(biāo)為(－1,2)，根據(jù)題意可知，圓心在直線ax－by＋1＝0上，把圓心坐標(biāo)代入直線方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，則ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，當(dāng)b＝時(shí)，ab有最大值，故ab的取值范圍為. 5．已知點(diǎn)A(3,0)，若圓C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在點(diǎn)P，使|PA|＝2|PO|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)閨PA|＝2|PO|，所以＝2，化簡(jiǎn)得(x＋1)2＋y2＝4，所以點(diǎn)P在以M(－1,0)為圓心，2為半徑的圓上．由題意知，點(diǎn)P(x，y)在圓C上，所以圓C與圓M有公共點(diǎn)，則1≤|CM|≤3，即1≤≤3,1≤5t2－14t＋17≤9.不等式5t2－14t＋16≥0的解集為R；由5t2－14t＋8≤0，得≤t≤2.所以圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為. 答案： 6．設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：由題意可知M在直線y＝1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)N(±1，0)符合要求；當(dāng)x0≠0時(shí)，過(guò)M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)P，此時(shí)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當(dāng)∠OMP＝45°時(shí)，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1] 第二講 小題考法——圓錐曲線的方程與性質(zhì) 考點(diǎn)(一) 主要考查圓錐曲線的定義及其應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求法. 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·合肥模擬)已知雙曲線－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(　　) A．1 B. C. D. (2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b≥1)的離心率e＝，且橢圓C1上一點(diǎn)M到點(diǎn)Q(0,3)的距離的最大值為4.則橢圓C1的方程為(　　) A．x2＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (3)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. [解析]　(1)在雙曲線－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2.不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1.故選A. (2)因?yàn)閑2＝＝＝，所以a2＝4b2，則橢圓方程為＋＝1，即x2＋4y2＝4b2. 設(shè)M(x，y)，則|MQ|＝＝ ＝＝. 所以當(dāng)y＝－1時(shí)，|MQ|有最大值，為＝4，解得b2＝1，則a2＝4，所以橢圓C1的方程是＋y2＝1.故選B. (3)法一：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，因?yàn)镸是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，M為FN的中點(diǎn)，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6. 法二：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3， 故|FN|＝2|MF|＝6. [答案]　(1)A　(2)B　(3)6 [方法技巧] 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路方法 (1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)． [演練沖關(guān)] 1．(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 解析：選A　由題可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，而拋物線y2＝－4x 的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.故選A. 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選B　根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝x，可知＝.① 又橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9.② 根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5， 所以C的方程為－＝1. 3．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)P作PA⊥l于點(diǎn)A，當(dāng)∠AFO＝30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|PF|＝________. 解析：法一：令l與y軸的交點(diǎn)為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.設(shè)P(x0，y0)，則x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，所以|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 法二：如圖所示，∠AFO＝30°， ∴∠PAF＝30°， 又|PA|＝|PF|，∴△APF為頂角∠APF＝120°的等腰三角形， 而|AF|＝＝， ∴|PF|＝＝. 答案： 考點(diǎn)(二) 主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計(jì)算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線的有關(guān)性質(zhì). 圓錐曲線的幾何性質(zhì) [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為_(kāi)_______． [解析]　(1)由題，不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5， ∴p＝4(負(fù)值舍去)，∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. (2)雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0)，一條漸近線的方程為y＝x，即bx－ay＝0，則圓心A到此漸近線的距離d＝＝.又因?yàn)椤螹AN＝60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝. [答案]　(1)B　(2) [方法技巧] 1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值；②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． [演練沖關(guān)] 1．(2017·成都模擬)設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以O(shè)F1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　如圖，在圓O中，F(xiàn)1F2為直徑，P是圓O上一點(diǎn)，所以PF1⊥PF2，設(shè)以O(shè)F1為直徑的圓的圓心為M，且圓M與直線PF2相切于點(diǎn)Q，則M，MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以＝，即＝，可得|PF1|＝，所以|PF2|＝＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以＋2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝，e＝(舍去)．故選D. 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞) 解析：選A　當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.當(dāng)m＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 3．(2017·貴陽(yáng)檢測(cè))如圖，拋物線y2＝4x的一條弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，取線段OB的中點(diǎn)D，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)C，使|OA|＝|AC|，過(guò)點(diǎn)C，D作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，G，則|EG|的最小值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則y3＝2y1，y4＝y(tǒng)2，|EG|＝y(tǒng)4－y3＝y(tǒng)2－2y1.因?yàn)锳B為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝y(tǒng)2－2×＝y(tǒng)2＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝，即y2＝4時(shí)取等號(hào)，所以|EG|的最小值為4. 答案：4 考點(diǎn)(三) 主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線與圓相結(jié)合的問(wèn)題. 圓錐曲線與圓、直線的綜合問(wèn)題 [典例感悟] [典例]　(1)(2018屆高三·河南九校聯(lián)考)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) 　 B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3,0) 　 D．(－2,0) (2)(2017·寶雞質(zhì)檢)已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一條漸近線與圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 [解析]　(1)因?yàn)橹本€與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故選A. (2)圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－1)2＝1，則圓心為M(3,1)，半徑r＝1.當(dāng)m<0，n>0時(shí)，由mx2＋ny2＝1得－＝1，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，不妨設(shè)雙曲線與圓相切的漸近線方程為y＝x，即ax－by＝0，則圓心到直線的距離d＝＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，則b＝a，平方得b2＝a2＝c2－a2，即c2＝a2，則c＝a，離心率e＝＝；當(dāng)m>0，n<0時(shí)，同理可得e＝，故選D. [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧] 處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問(wèn)題的注意點(diǎn) (1)注意圓心、半徑和平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如直徑所對(duì)的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等． (2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長(zhǎng)軸(短軸)，與雙曲線的實(shí)軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過(guò)定點(diǎn)的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等． [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，若直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：選B　取線段PF1的中點(diǎn)為A，連接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，則AF2⊥PF1，∵直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝·|PF1|＝a＋c，則在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化簡(jiǎn)得(3c－5a)(a＋c)＝0，則雙曲線的離心率為. 2．已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，則直線OM與直線l的斜率之積為_(kāi)_______． 解析：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，故直線OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－9，即直線OM與直線l的斜率之積為－9. 答案：－9 [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a， 短軸長(zhǎng)2b　 實(shí)軸長(zhǎng)2a， 虛軸長(zhǎng)2b　 離心率 e＝ ＝ (0<e<1) e＝ ＝ (e>1) e＝1 漸近線 y＝±x (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．橢圓焦點(diǎn)三角形的3個(gè)規(guī)律 設(shè)橢圓方程是＋＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)． (1)三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e為橢圓的離心率． (2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個(gè)三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan . (3)橢圓的離心率e＝. 2．雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個(gè)結(jié)論 P(x0，y0)為雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，△PF1F2為焦點(diǎn)三角形． (1)面積公式 S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)． (2)焦半徑 若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a. 3．拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB的4個(gè)結(jié)論 (1)xA·xB＝； (2)yA·yB＝－p2； (3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. 4．圓錐曲線的通徑 (1)橢圓通徑長(zhǎng)為； (2)雙曲線通徑長(zhǎng)為； (3)拋物線通徑長(zhǎng)為2p. 5．圓錐曲線中的最值 (1)橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離為2a(長(zhǎng)軸長(zhǎng))． (2)雙曲線上兩點(diǎn)間的最小距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng))． (3)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最小距離與最大距離． (4)拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離最短． (三) 易錯(cuò)易混要明了 1．利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個(gè)條件，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． [針對(duì)練1]　△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________． 解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3