中考數(shù)學專題復習 過關(guān)集訓 第四單元 三角形 第7課時 相似三角形的綜合應用課件 新人教版

第第7課時相似三角形的綜合應用課時相似三角形的綜合應用考點考點 1 相似三角形的判定思路相似三角形的判定思路判判定定思思路路 有平行截線有平行截線 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角（或兩邊的延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似形相似有一有一對等對等角角 證另一對等角證另一對等角 證該角的兩邊對應成比例證該角的兩邊對應成比例 證第三邊也對應成比例證第三邊也對應成比例 證夾角相等證夾角相等 證有一對角是直角證有一對角是直角 判判定定思思路路 有兩邊對有兩邊對應成比例應成比例 頂角相等頂角相等 一對底角相等一對底角相等 底和腰對應成比例底和腰對應成比例 已知直角已知直角 證一對銳角相等證一對銳角相等 證兩組對應邊成比例證兩組對應邊成比例已知等腰三角形已知等腰三角形考點考點 2 相似三角形考查比較有特點的題干特征或設(shè)問特征相似三角形考查比較有特點的題干特征或設(shè)問特征1. 題干特征：有平行線；有中位線題干特征：有平行線；有中位線(或兩邊中點或兩邊中點)；已；已知線段比值知線段比值(或銳角三角函數(shù)值或銳角三角函數(shù)值)；已知線段比例關(guān)系；已知線段比例關(guān)系；有等角有等角(或角平分線或角平分線)；2. 設(shè)問特征：直接證相似；求線段比值；證線段比設(shè)問特征：直接證相似；求線段比值；證線段比例關(guān)系、線段乘積關(guān)系例關(guān)系、線段乘積關(guān)系(常通過觀察線段所在三角形將線段常通過觀察線段所在三角形將線段乘積關(guān)系轉(zhuǎn)換為線段比例關(guān)系乘積關(guān)系轉(zhuǎn)換為線段比例關(guān)系)；證線段倍數(shù)關(guān)系；求；證線段倍數(shù)關(guān)系；求兩三角形周長、面積、中線、高線的比值兩三角形周長、面積、中線、高線的比值考點考點 3相似三角形的常見模型相似三角形的常見模型模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論A字字型型有一個公共角有一個公共角(第第1、2個圖個圖)或角或角有公共部分有公共部分(第第3個圖個圖，DAFBADDAFEAF)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論8字型字型有一組對頂角有一組對頂角母子型母子型1. 有一個公共角和公共角的一有一個公共角和公共角的一邊為公共邊邊為公共邊2. AC2ADAB(AC為公共邊為公共邊，AD、AB為有部分重合的邊為有部分重合的邊)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論雙垂直型雙垂直型(母子型母子型特殊形式特殊形式)1. 有一個公共角有一個公共角，角兩角兩邊有重合部分邊有重合部分2. 第第1個圖形個圖形AC2ADAB仍成立仍成立，且且CD2ADBD(射影射影定理定理)模型模型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論(以下三個以下三個模型是以模型是以等腰三角等腰三角形或者等形或者等邊三角形邊三角形為背景為背景)三個等角頂點在三個等角頂點在同一直線上同一直線上，稱稱一線三等角模型一線三等角模型，其中其中123，可根據(jù)可根據(jù)118045，218046得得56，可得圖中兩陰可得圖中兩陰影部分三角形相影部分三角形相似似模模型型圖形圖形特征或結(jié)論特征或結(jié)論結(jié)論推導結(jié)論推導，如第如第1個個圖形圖形，DDBAEEBCDBAEBC90，EBCD，EDBA，且一組直角相等且一組直角相等，用任意兩組等角用任意兩組等角即可證得三角形相即可證得三角形相似似三垂直常存在的圖形背景三垂直常存在的圖形背景 拓展訓練1. (2017黔西南州黔西南州)如圖，點如圖，點A是反比例函數(shù)是反比例函數(shù)y (x0)上的一個動點，連接上的一個動點，連接OA，過點，過點O作作OBOA，并且使，并且使OB2OA，連接，連接AB，當點，當點A在反比例函數(shù)圖象上移動時，點在反比例函數(shù)圖象上移動時，點B也在某一反比例函數(shù)也在某一反比例函數(shù)y 圖象上移動，則圖象上移動，則k的值為的值為()A. 4 B. 4 C. 2 D. 2第第1題圖題圖1xkxA【解析解析】如解圖，過點如解圖，過點A作作AMx軸于點軸于點M，過點，過點B作作BNx軸于點軸于點N，BNOAMO90，NBOBON90，又，又OBOA，BONAOM90，NBOAOM，OAMBON， ，又，又OB2OA，ON2AM，BN2OM，點點A在反比例函數(shù)在反比例函數(shù)y (x0)的圖象上，的圖象上，OAAMOMBOONBN1xOMAM1，ONBN2AM2OM4.點點B在反比例在反比例函數(shù)函數(shù)y 的圖象上，的圖象上，|k|ONBN4，k4，反反比例函數(shù)比例函數(shù)y 的圖象在第二象限，的圖象在第二象限，k4.第第1題解圖題解圖kxkx2. (2017河池河池)如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB ，E是是BC的的中點，中點，AEBD于點于點F，則，則CF的長是的長是_第第2題圖題圖22【解析解析】四邊形四邊形ABCD是矩形，是矩形，ABEBCD90，BAEBEA90，AEBD，BEAFBE90，BAECBD，ABEBCD， ，即，即 ，解得，解得BE1，BC2，如解，如解圖，過點圖，過點F作作FGBC，AB ，BE1，AE ，ABBEBCCD 222BEBE 2223ABBEBAEEBF，ABEBFE， ，即即 ，解得，解得FE ，F(xiàn)GAB，EF AE，GF AB ，EG BE ，GC ，由勾股，由勾股定理得，定理得，CF .第第2題解圖題解圖BEAEFEBE 13FE 3313132313134322242333. (2016陜西陜西)已知一次函數(shù)已知一次函數(shù)y2x4的圖象分別交的圖象分別交x軸、軸、y軸軸于于A、B兩點若這個一次函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的兩點若這個一次函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點圖象在第一象限交于點C，且，且AB2BC，則這個反比例函數(shù)，則這個反比例函數(shù)的表達式為的表達式為_6xy【解析解析】根據(jù)題意畫出圖象如解圖，過點根據(jù)題意畫出圖象如解圖，過點C作作CDy軸于點軸于點D，分別令，分別令y0，x0，得，得x2，y4，由題意知點，由題意知點A(2，0)，B(0，4)，則，則OB4，OA2，CDOA，CDBAOB， ，AB2BC， ， ， ，解得，解得CD1，BD2，OD6，點點C的坐標為的坐標為(1，6)，設(shè)反比例函數(shù)的表達式為，設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y ，6 ，解得，解得k6，反比例函數(shù)的表達反比例函數(shù)的表達式為式為y .CDBDBCAOBOAB12BCAB 12CDAO 12BDBO kx1k6x第第3題解圖題解圖一題多解：如解圖，過點一題多解：如解圖，過點C作作CDx軸于點軸于點D，設(shè)點設(shè)點C的坐標為的坐標為(a，b)，則，則CDb，ODa，由題，由題意知點意知點A(2，0)，B(0，4)，則，則OB4，OA2，又又CDOB，AOBADC， ，AB2BC， ， ，解得，解得a1，b6.設(shè)反比例函數(shù)的表設(shè)反比例函數(shù)的表達式為達式為y ，6 ，解得，解得k6，反比例函數(shù)反比例函數(shù)的表達式為的表達式為y .OBOAABDCDAAC23ABAC 42223 bakx1k6x第第3題解圖題解圖4. (2015崇左崇左)一塊材料的形狀是銳角三角形一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊，邊BC120 mm，高，高AD80 mm，將它加工成正方形零件如圖，將它加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在上，其余兩個頂點分別在AB，AC上上第第4題圖題圖(1)求證：求證：AEFABC；(2)求這個正方形零件的邊長；求這個正方形零件的邊長；(3)如果把它加工成矩形零件如圖，問這個矩形的最大面如果把它加工成矩形零件如圖，問這個矩形的最大面積是多少？積是多少？(1)證明：證明：四邊形四邊形EFHG為正方形，為正方形，BCEF，AEFABC；(2)解：解：四邊形四邊形EFHG為正方形，為正方形，EFBC，EGBC，又又ADBC，EGAD，設(shè)設(shè)EGEFx，則，則KDx，BC120 mm，AD80 mm，AK80 x，AEFABC， ，即即 ，解得解得x48，這個正方形零件的邊長是這個正方形零件的邊長是48 mm；EFAKBCAD 8012080 xx (3)解：設(shè)解：設(shè)EGKDm，則，則AK80m，AEFABC， ，即，即 ，EF120 m，S矩形矩形EFHGEGEFm(120 m) m2120m (m40)22400，故當故當m40時，矩形時，矩形EFHG的面積最大，最大面積為的面積最大，最大面積為2400 mm2.EFAKBCAD 8012080EFm 323232325. (2014柳州柳州)如圖，正方形如圖，正方形ABCD的邊長為的邊長為1，AB邊上有一動邊上有一動點點P，連接，連接PD，將線段，將線段PD繞點繞點P順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到線后，得到線段段PE，且，且PE交交BC于點于點F，連接，連接DF，過點，過點E作作EQAB交交AB的延長線于點的延長線于點Q.(1)求線段求線段PQ的長；的長；(2)問：點問：點P在何處時，在何處時，PFDBFP，并說明理由，并說明理由第第5題圖題圖解：解：(1)四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，A90，ADPAPD90，PE是是PD繞點繞點P順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90得到的，得到的，DPE90，DPPE，APDEPQ90，ADPEPQ.EQAB，PQE90A.又又DPEP，ADP QPE(AAS)，PQAD1；(2)當點當點P為為AB的中點時，的中點時，PFDBFP.理由如下：理由如下：ADPBPF，APBF，ADPBPF， ，設(shè)設(shè)APx，則，則BP1x， ，BFx(1x)PFDBFP，BFPAPD，ADAPBPBF 11xxBF PFDAPD， ， ，DP2x21，AD21，AP2x2，PF2 (x21)x2.又又PF2BP2BF2(1x)2x2(1x)2(1x)2(x21)，(x21)x2(1x)2(x21)，解得，解得x ，當點當點P為為AB的中點時，的中點時，PFDBFP.DPFPDAPA 2222 DPPFADAP222 DPAPAD126. 如圖，如圖，AB為為 O的直徑，直線的直徑，直線CD切切 O于點于點D，AMCD于點于點M，BNCD于點于點N.(1)求證：求證：ADCABD；(2)求證：求證：AD2AMAB；(3)若若AM ，sinABD ，求線段求線段BN的長的長第第6題圖題圖18535(1)證明：如解圖，連接證明：如解圖，連接OD，CD是是 O的切線，的切線，ODCD，ADCADO90，AB是是 O的直徑，的直徑，ADB90，ADOODB90，ADCODB，又又OBOD，ODBABD，ADCABD；第第6題解圖題解圖(2)證明：證明：AMCD，AMDADB90，又又MDADBA，AMDADB， ，即，即AD2AMAB；AMADADAB (3)解：解：在在RtABD中，中，sinABD ，設(shè)設(shè)AD3x，AB5x，又又AD2AMAB，AM ，(3x)2 5x，解得解得x2或或x0(舍去舍去)，AB10，AMCD，ODCD，BNCD，35ADAB 185185AMODBN，O是是AB的中點，的中點，D是是MN的中點，的中點，AMBN2OD，BN2ODAMABAM10 .185325教材母題教材母題(人教九下人教九下44頁習題頁習題14)如圖，在如圖，在ABC中，中，AB8，AC6，BC9.如果動點如果動點D以每秒以每秒2個單位長度的速度，從點個單位長度的速度，從點B出發(fā)沿出發(fā)沿BA向點向點A運動運動(不與不與B、A重合重合)，過點，過點D作作DEBC，交，交AC于點于點E，記，記x秒時秒時DE的長度的長度為為y，寫出，寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式教材母題圖教材母題圖解：依題意得，解：依題意得，BD2x，則，則AD82x，DEBC，ADEABC， ， ，y x9(0 x4)ADDEABBC 8289xy 94【還能這樣考還能這樣考】1. 如圖，在如圖，在RtABC中，中，A90，AB8，AC6.若動若動點點D從點從點B出發(fā)，沿線段出發(fā)，沿線段BA運動到點運動到點A為止，運動速度為每為止，運動速度為每秒秒2個單位長度過點個單位長度過點D作作DEBC交交AC于點于點E，設(shè)動點，設(shè)動點D運運動的時間為動的時間為x秒，秒，AE的長為的長為y.(1)求出求出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；的取值范圍；(2)當當x為何值時，為何值時，BDE的面積的面積S有最大值，最大值為多少？有最大值，最大值為多少？第第1題圖題圖 解：解：(1)DEBC，ADEABC， ，AB8，AC6，AD82x，AEy. ，y x6(0 x4)；(2)S BDAE 2x( x6) x26x (x2)26，當當x2時，時，S有最大值，且最大值為有最大值，且最大值為6.ADAEABAC 8286xy 3212123232322. 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC5，BC8，點，點D為為BC邊邊上一動點上一動點(不與點不與點B，C重合重合)，過點，過點D 作射線作射線DE交交AB于點于點E，使使ADEB.設(shè)設(shè)CDx，BEy，求，求y與與x的函數(shù)解析式，的函數(shù)解析式，并求并求BE的取值范圍的取值范圍第第2題圖題圖解：解：EDCBEDBADEADC，且且ADEB，BEDADC，ABAC，BC，BDECAD， ，BEBDCDAC CDx，BEy，BD8x，AC5， ，y x(8x) (x4)2 (0 x8)，0 x8，當當x4時，時，y取最大值取最大值 ，0y ，即，即0BE .85yxx 15151651651651653. 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC5，BC8，點，點E為為AB邊邊上一點，上一點，BE3，點，點D為為BC邊上一動點邊上一動點(不與點不與點B，C重合重合)，過點過點D 作射線作射線DF交交AC于點于點F，使，使EDFB，設(shè)，設(shè)BDx，CFy，求，求y與與x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式第第3題圖題圖解：解：EDCBEDBFDEFDC，且，且FDEB，BEDFDC，ABAC，BC，BDECFD， ，BDx，CFy，CD8x，BE3， ，y x(8x) (x4)2 . BEBDCDCF 38xxy 13131634. 已知在梯形已知在梯形ABCD中，中，ADBC，ADBC，且，且AD5，ABDC2.點點P在在AD邊上移動邊上移動(點點P與點與點A、D不重合不重合)，且滿足，且滿足BPEA，PE交直線交直線BC于點于點E，同時交直線，同時交直線DC于點于點Q，設(shè)，設(shè)APx，CQy.(1)當點當點Q在線段在線段DC上時，求上時，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；(2)當點當點Q在線段在線段DC的延長線上時，的延長線上時，求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式第第4題圖題圖解：解：(1)如解圖，當點如解圖，當點Q在線段在線段DC上時，上時，BPDABPABPEDPQ，且，且BPEA，ABPDPQ，ABCD，AD，第第4題解圖題解圖ABPDPQ， ，APx，CQy，AD5，ABDC2，PD5x，DQ2y， ，即，即2(2y)x(5x)，y x2 x2；ABAPPDDQ 252xxy 1252(2)如解圖，當點如解圖，當點Q在線段在線段DC的延長線上時，的延長線上時，BPDABPABPEDPQ，且，且BPEA，ABPDPQ，ABCD，AD，ABPDPQ，第第4題解圖題解圖 ，APx，CQy，AD5，ABDC2，PD5x，DQ2y， ，即，即2(2y)x(5x)，y x2 x2.ABAPPDDQ 252xxy 1252