高三數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)及其應用 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應用課件 理

第第9 9節(jié)函數(shù)模型及其應用節(jié)函數(shù)模型及其應用知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀【教材導讀】 1.1.函數(shù)模型應用常見的有哪三種情形函數(shù)模型應用常見的有哪三種情形? ?提示提示: :(1)(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題利用給定的函數(shù)模型解決實際問題; ;(2)(2)建立確定性函數(shù)模型解決實際問題建立確定性函數(shù)模型解決實際問題; ;(3)(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題建立擬合函數(shù)模型解決實際問題. .2.2.應用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟有哪些應用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟有哪些? ?提示提示: :(1)(1)審題審題;(2);(2)建模建模;(3);(3)求模求模;(4);(4)還原還原. .知識梳理知識梳理 1.1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y=ay=ax x(a(a1)1)y=logy=loga ax(ax(a1)1)y=xy=xn n(n(n0)0)在在(0,+)(0,+)上的單調(diào)性上的單調(diào)性單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)單調(diào)單調(diào) 函數(shù)函數(shù)增長速度增長速度越來越越來越 . .越來越越來越 . .相對平穩(wěn)相對平穩(wěn)圖象的圖象的變化變化隨隨x x值增大值增大, ,圖象圖象與與y y軸接近平行軸接近平行隨隨x x值增大值增大, ,圖圖象與象與x x軸接近軸接近平行平行隨隨n n值變化而值變化而不同不同遞增遞增遞增遞增遞增遞增快快慢慢ax+bax+b axax2 2+bx+c+bx+c3.3.解函數(shù)應用問題的步驟解函數(shù)應用問題的步驟(1)(1)審題審題: :弄清題意弄清題意, ,分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關系理順數(shù)量關系, ,初步選擇數(shù)學模型初步選擇數(shù)學模型; ;(2)(2)建模建模: :將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言, ,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言, ,利用利用數(shù)學知識數(shù)學知識, ,建立相應的數(shù)學模型建立相應的數(shù)學模型; ;(3)(3)解模解模: :求解數(shù)學模型求解數(shù)學模型, ,得出數(shù)學結(jié)論得出數(shù)學結(jié)論; ;(4)(4)還原還原: :將數(shù)學問題還原為實際問題的意義將數(shù)學問題還原為實際問題的意義. .以上過程用框圖表示如下以上過程用框圖表示如下: :【重要結(jié)論【重要結(jié)論】 1.1.在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上上, ,盡管函數(shù)盡管函數(shù)y=ax(a1),y=logy=ax(a1),y=loga ax(ax(a1)1)和和y=xy=xn n(n(n0)0)都都是增函數(shù)是增函數(shù), ,但它們的增長速度不同但它們的增長速度不同, ,而且不在同一個而且不在同一個“檔次檔次”上上. .2.2.隨著隨著x x的增大的增大,y=ax(a,y=ax(a1)1)的增長速度越來越快的增長速度越來越快, ,會超過并遠遠大于會超過并遠遠大于y=xy=xn n(n(n0)0)的增長速度的增長速度, ,而而y=logy=loga ax(ax(a1)1)的增長速度則會越來越慢的增長速度則會越來越慢. .3.3.總會存在一個總會存在一個x x0 0, ,使得當使得當xxxx0 0時時, ,有有l(wèi)ogloga axxxxn naax x. .夯基自測夯基自測A A C C2.2.某種細胞某種細胞, ,每每1515分鐘分裂一次分鐘分裂一次(12)(12)這種細胞由這種細胞由1 1個分裂成個分裂成4 0964 096個個需經(jīng)過需經(jīng)過( ( ) )(A)12(A)12小時小時(B)4(B)4小時小時(C)3(C)3小時小時(D)2(D)2小時小時解析解析: :2 21212=4 096,=4 096,分裂了分裂了1212次次. .共用時共用時121215=18015=180分鐘分鐘=3=3小時小時. .A A3.3.某種動物繁殖量某種動物繁殖量y(y(只只) )與時間與時間x(x(年年) )的關系為的關系為y=alogy=alog3 3(x+1),(x+1),設這種動設這種動物第物第2 2年有年有100100只只, ,到第到第8 8年它們發(fā)展到年它們發(fā)展到( ( ) )(A)200(A)200只只(B)300(B)300只只(C)400(C)400只只(D)500(D)500只只解析解析: :由已知得由已知得100=alog100=alog3 3(2+1),(2+1),得得a=100,a=100,則當則當x=8x=8時時,y=100log,y=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).答案答案: :2 5002 500答案答案: :y=a(1+r)y=a(1+r)x x,x,xN N5.5.某種儲蓄按復利計算利息某種儲蓄按復利計算利息, ,若本金為若本金為a a元元, ,每期利率為每期利率為r,r,存期是存期是x,x,本利和本利和( (本金加利息本金加利息) )為為y y元元, ,則本利和則本利和y y隨存期隨存期x x變化的函數(shù)關系式是變化的函數(shù)關系式是.解析解析: :已知本金為已知本金為a a元元, ,利率為利率為r,r,則則1 1期后本利和為期后本利和為y=a+ary=a+ar=a(1+r),=a(1+r),2 2期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3 3期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)3,y=a(1+r)3,x x期后本利和為期后本利和為y=a(1+r)x,xy=a(1+r)x,xN N. .考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型一次函數(shù)、二次函數(shù)模型【例【例1 1】 某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示拋物線某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示拋物線的一段的一段. .已知跳水板已知跳水板ABAB長為長為2 m,2 m,跳水板距水面跳水板距水面CDCD的高的高BCBC為為3 m.3 m.為安全和為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美空中姿態(tài)優(yōu)美, ,訓練時跳水曲線應在離起跳點訓練時跳水曲線應在離起跳點A A處水平距處水平距h m(h1)h m(h1)時達到時達到距水面最大高度距水面最大高度4 m,4 m,規(guī)定規(guī)定: :以以CDCD為橫軸為橫軸,BC,BC為縱軸建立直角坐標系為縱軸建立直角坐標系. .(1)(1)當當h=1h=1時時, ,求跳水曲線所在的拋物線方程求跳水曲線所在的拋物線方程; ;解解: :由題意由題意, ,最高點為最高點為(2+h,4,)(h1).(2+h,4,)(h1).設拋物線方程為設拋物線方程為y=ax-(2+h)y=ax-(2+h)2 2+4.+4.(1)(1)當當h=1h=1時時, ,最高點為最高點為(3,4),(3,4),方程為方程為y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+4. (+4. (* *) )將點將點A(2,3)A(2,3)代入代入( (* *) )式得式得a=-1.a=-1.即所求拋物線的方程為即所求拋物線的方程為y=-xy=-x2 2+6x-5.+6x-5.(2)(2)若跳水運動員在區(qū)域若跳水運動員在區(qū)域EFEF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果, ,求此求此時時h h的取值范圍的取值范圍. .反思歸納反思歸納 解函數(shù)應用題時首先要把求解目標表示為一個變量的函數(shù)解函數(shù)應用題時首先要把求解目標表示為一個變量的函數(shù), ,這這個變量應該把求解目標需要的一切量表示出來個變量應該把求解目標需要的一切量表示出來, ,同時注意實際問題的函數(shù)同時注意實際問題的函數(shù)定義域定義域( (指定的、根據(jù)實際意義的指定的、根據(jù)實際意義的),),一般不是由求出的函數(shù)解析式確定的一般不是由求出的函數(shù)解析式確定的. .考點二考點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型【例【例2 2】 某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥, ,如果成年人按規(guī)定的劑量服用如果成年人按規(guī)定的劑量服用, ,據(jù)監(jiān)測據(jù)監(jiān)測: :服藥后每毫升血液中的含藥量服藥后每毫升血液中的含藥量y(y(微克微克) )與時間與時間t(t(小時小時) )之間近似滿之間近似滿足如圖所示的曲線足如圖所示的曲線. .(1)(1)寫出第一次服藥后寫出第一次服藥后y y與與t t之間的函數(shù)關系式之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(ty=f(t););(2)(2)據(jù)進一步測定據(jù)進一步測定: :每毫升血液中含藥量不少于每毫升血液中含藥量不少于0.250.25微克時治療疾病有微克時治療疾病有效效, ,求服藥一次后治療疾病有效的時間求服藥一次后治療疾病有效的時間. .反思歸納反思歸納 (1) (1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關的與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關的實際問題實際問題, ,在求解時在求解時, ,要先學會合理選擇模型要先學會合理選擇模型, ,在三類模型中在三類模型中, ,指數(shù)函指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快數(shù)模型是增長速度越來越快( (底數(shù)大于底數(shù)大于1)1)的一類函數(shù)模型的一類函數(shù)模型, ,與增長率、與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型. .(2)(2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時, ,一般需要先通一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式, ,再借助函數(shù)的圖象求解最值問題再借助函數(shù)的圖象求解最值問題, ,必必要時可借助導數(shù)要時可借助導數(shù). .(2)(2)到今年為止到今年為止, ,該森林已砍伐了多少年該森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多還能砍伐多少年今后最多還能砍伐多少年? ?分段函數(shù)模型分段函數(shù)模型考點三考點三 【例【例3 3】 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況, ,在一在一般情況下般情況下, ,大橋上的車流速度大橋上的車流速度v(v(單位單位: :千米千米/ /時時) )是車流密度是車流密度x(x(單位單位: :輛輛/ /千千米米) )的函數(shù)的函數(shù). .當橋上的車流密度達到當橋上的車流密度達到200200輛輛/ /千米時千米時, ,造成堵塞造成堵塞, ,此時車流速此時車流速度為度為0;0;當車流密度不超過當車流密度不超過2020輛輛/ /千米時千米時, ,車流速度為車流速度為6060千米千米/ /時時, ,研究表明研究表明: :當當20 x20020 x200時時, ,車流速度車流速度v v是車流密度是車流密度x x的一次函數(shù)的一次函數(shù). .(1)(1)當當0 x2000 x200時時, ,求函數(shù)求函數(shù)v(xv(x) )的表達式的表達式; ;(2)(2)當車流密度當車流密度x x為多大時為多大時, ,車流量車流量( (單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù), ,單位單位: :輛輛/ /時時)f(x)=xv(x)f(x)=xv(x) )可以達到最大可以達到最大, ,并求出最大值并求出最大值.(.(精確到精確到1 1輛輛/ /時時) )反思歸納反思歸納 本題的難點是函數(shù)模型是一個分段函數(shù)本題的難點是函數(shù)模型是一個分段函數(shù), ,由于月處理由于月處理量在不同范圍內(nèi)量在不同范圍內(nèi), ,處理的成本對應的函數(shù)解析式也不同處理的成本對應的函數(shù)解析式也不同, ,故此類最值故此類最值的求解必須先求出每個區(qū)間內(nèi)的最值的求解必須先求出每個區(qū)間內(nèi)的最值, ,然后將這些區(qū)間內(nèi)的最值進然后將這些區(qū)間內(nèi)的最值進行比較確定最值行比較確定最值. .(2)(2)當河中的堿濃度開始下降時當河中的堿濃度開始下降時, ,即刻第二次投放即刻第二次投放1 1個單位的固體堿個單位的固體堿, ,此后此后, ,每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應的堿濃度的和, ,求河中時堿濃度可能取得的最大值求河中時堿濃度可能取得的最大值. .備選例題備選例題 (2)(2)若物體的溫度總不低于若物體的溫度總不低于2 2攝氏度攝氏度, ,求求m m的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)隔熱層修建多厚時隔熱層修建多厚時, ,總費用總費用f(xf(x) )達到最小達到最小, ,并求最小值并求最小值. .解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化利用函數(shù)模型解決實際問題利用函數(shù)模型解決實際問題審題點撥審題點撥關鍵點關鍵點所獲信息所獲信息利潤利潤利潤利潤= =收入收入- -成本成本求最大利潤求最大利潤求函數(shù)最大值求函數(shù)最大值解題突破解題突破: :轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最大值轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)的最大值答題模板答題模板: :解函數(shù)應用題的一般步驟解函數(shù)應用題的一般步驟: :第一步第一步: :審題審題弄清題意弄清題意, ,分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關系理順數(shù)量關系. .第二步第二步: :建模建模將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言, ,用數(shù)學知識建立相應的數(shù)用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型學模型. .第三步第三步: :求模求模求解數(shù)學模型求解數(shù)學模型, ,得到數(shù)學結(jié)論得到數(shù)學結(jié)論. .第四步第四步: :還原還原將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義. .第五步第五步: :反思回顧反思回顧對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結(jié)果對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結(jié)果, ,必須驗證這個數(shù)學必須驗證這個數(shù)學結(jié)論對實際問題有意義結(jié)論對實際問題有意義. .