高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （教材回扣夯實(shí)雙基+考點(diǎn)探究+把脈高考）第七章第5課時 空間中的垂直關(guān)系課件

第5課時空間中的垂直關(guān)系教材回扣夯實(shí)雙基教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1直線與平面垂直直線與平面垂直(1)定義：如果直線定義：如果直線l與平面與平面內(nèi)的內(nèi)的_直線都垂直，則直線直線都垂直，則直線l與此平面與此平面垂直垂直任意一條任意一條(2)判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，則該直線與此平面垂直直線都垂直，則該直線與此平面垂直(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線_相交相交平行平行2二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的二面角：從一條直線出發(fā)的_所所組成的圖形叫做二面角組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作_的的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角兩個半平面兩個半平面垂直于棱垂直于棱3平面與平面垂直平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是定義：如果兩個平面所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直，就說這兩個平面互相垂直(2)判定定理：一個平面過另一個平面的判定定理：一個平面過另一個平面的_，則這兩個平面垂直，則這兩個平面垂直直二面角直二面角垂線垂線(3)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)_的直線與另一個平面垂直的直線與另一個平面垂直垂直于交線垂直于交線 思考探究 垂直于同一平面的兩平面是否平行？ 提示：可能平行，也可能相交4直線和平面所成的角直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角銳角叫做這條直線和這個平面所成的角當(dāng)直線與平面垂直和平行當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi)含直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為_.90和和0 課前熱身 1將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是() A相交且垂直B相交但不垂直 C異面且垂直 D異面但不垂直 解析：選C.在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則ADBC，翻折后如圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC. 2設(shè)a，b，c是三條不同的直線，,是兩個不同的平面，則ab的一個充分條件是() Aac，bc B，a，b Ca，b Da，b 解析：選C.對于選項C，在平面內(nèi)作cb，因為a，所以ac，故ab；A,B選項中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項中一定有ab.故選C. 3一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個平面的位置關(guān)系是_ 解析：由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行，再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論 答案：垂直相交 4ABC中，ABC90，PA平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)是_ 答案：4考點(diǎn)探究講練互動考點(diǎn)探究講練互動直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定與性質(zhì) (1)證明：PQ平面DCQ； (2)求棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值 【解】(1)證明：由條件知四邊形PDAQ為直角梯形 因為QA平面ABCD，QA平面PDAQ， 所以平面PDAQ平面ABCD， 交線為AD. 又四邊形ABCD為正方形，DCAD， (2)設(shè)ABa. 由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高， 故棱錐QABCD的體積與棱錐PDCQ的體積的比值為1.【題后感悟題后感悟】證線面垂直的方法：證線面垂直的方法：(1)利用線面垂直定義：證一直線垂直于平利用線面垂直定義：證一直線垂直于平面內(nèi)任意一直線，則這條直線垂直于該平面面內(nèi)任意一直線，則這條直線垂直于該平面；(2)用線面垂直的判定定理：證一直線與用線面垂直的判定定理：證一直線與平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則這條直線與平平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直；面垂直； (3)用線面垂直的性質(zhì)：兩平行線之一垂直于這個平面，則另一條也必垂直于這個平面；(4)用面面垂直的性質(zhì)定理：兩平面垂直，在一個面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一平面；(5)用面面平行的性質(zhì)：一直線垂直于兩平行平面之一，則必垂直于另一平面 備選例題如圖所示，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，AFDE，DEDA2AF2. 求證： (1)AC平面BDE； (2)AC平面BEF. 【證明】(1)因為平面ABCD平面ADEF，ADE90， 所以DE平面ABCD， 所以DEAC. 因為ABCD是正方形，所以ACBD， 又DEBDD， 所以AC平面BDE.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1如圖，已知三棱錐如圖，已知三棱錐ABPC中，中，APPC，ACBC，M為為AB中點(diǎn)，中點(diǎn)，D為為PB中點(diǎn)，且中點(diǎn)，且PMB為正三角形為正三角形 求證： (1)MD平面APC； (2)BC平面APC. 證明：(1)M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn), MDAP.又MD 平面APC，AP平面APC,MD平面APC. (2)PMB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，MDPB.又由(1)知MDAP，APPB,又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC.而ACBC，ACAPA, BC平面APC. (2011高考江蘇卷)如圖，在四 棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E, F分別是AP，AD的中點(diǎn)平面與平面垂直的判定與性平面與平面垂直的判定與性質(zhì)質(zhì)求證：求證：(1)直線直線EF平面平面PCD；(2)平面平面BEF平面平面PAD.【證明證明】 (1)在在PAD中，因為中，因為E，F(xiàn)分別為分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以EFPD.又因為又因為EF 平平面面PCD，PD平面平面PCD，所以直線所以直線EF平面平面PCD. (2)連接BD.因為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形 因為F是AD的中點(diǎn)，所以BFAD. 因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD. 又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【題后感悟題后感悟】證明兩個平面垂直，一般要證明兩個平面垂直，一般要轉(zhuǎn)化成線面垂直，即證其中一個平面經(jīng)過另轉(zhuǎn)化成線面垂直，即證其中一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線可以先找到其中一個平一平面的一條垂線可以先找到其中一個平面的一條垂線，再說明這條垂線在另一平面面的一條垂線，再說明這條垂線在另一平面內(nèi)或與另一平面的一條垂線平行內(nèi)或與另一平面的一條垂線平行 備選例題如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1ABBC3，AC2，D是AC的中點(diǎn) (1)求證：B1C平面A1BD； (2)求證：平面A1BD平面ACC1A1； (3)求三棱錐AA1BD的體積 【解】(1)證明：設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)E，連接DE，則E為AB1的中點(diǎn) 在AB1C中，D為AC的中點(diǎn)，E為AB1的中點(diǎn), DEB1C. 又DE平面A1BD，B1C 平面A1BD, B1C平面A1BD. (2)證明：在ABC中，ABBC，ADDC, BDAC. AA1平面ABC，AA1BD， 又AA1ACA， BD平面ACC1A1，又BD平面A1BD， 平面A1BD平面ACC1A1.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2如圖，四棱錐如圖，四棱錐PABCD中，中，ABCD為矩為矩形，形，PAD為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，APD90，而，而PAD面面ABCD，AB1，AD2. (1)求證：面PDC面PAD； (2)求四棱錐PABCD的體積 解：(1)證明：面PAD面ABCD，CDAD，面PAD面ABCDAD， 又AD面PAD，CD面PAD， CDPA. APPD，PDCDD， AP面PCD. 又AP面PAD， 面PDC面PAD. (2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO， 面PAD面ABCD及PAD為等腰直角三角形，PO面ABCD， 即PO為四棱錐PABCD的高如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.線面垂直的綜合應(yīng)用線面垂直的綜合應(yīng)用 (1)求證：ADPB； (2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結(jié)論 【解】(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD. PAD為等邊三角形， PGAD， 又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD. 在ABD中，DAB60， ADAB， ABD為等邊三角形， BGAD， 又PGBGG， AD平面PBG， ADPB. (2)連接CG，DE，且CG與DE相交于H點(diǎn)， 在PGC中作HFPG，交PC于F點(diǎn),連接DF,EF， FH平面ABCD， 又FH平面DEF， 平面DEF平面ABCD. H是CG的中點(diǎn)， F是PC的中點(diǎn)， 在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC的中點(diǎn),使得平面DEF平面ABCD.【題后感悟題后感悟】對于這類問題應(yīng)先把題目中對于這類問題應(yīng)先把題目中已確定的位置、大小關(guān)系作出全面認(rèn)識和正已確定的位置、大小關(guān)系作出全面認(rèn)識和正確的推理，再對變化不定的線面關(guān)系進(jìn)行觀確的推理，再對變化不定的線面關(guān)系進(jìn)行觀察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔助面進(jìn)察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔助面進(jìn)行判斷，行判斷， 另外還要靈活運(yùn)用觀察、聯(lián)想、類比、猜想、分析、綜合、一般化、特殊化等科學(xué)的思維方法，才能使開放性問題快速有效地解決 備選例題如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn),F為線段BD1的中點(diǎn), 【解】(1)證明：E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，EFAB. EF 平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD. ABCD是正方形，ACBD. D1D平面ABC，D1DAC. AC平面BB1D1D，ACDF. F，M分別是BD1，CC1中點(diǎn)，F(xiàn)MAC.DFFM.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是CD、A1D1的中點(diǎn)的中點(diǎn) (1)求證：AB1BF； (2)求證：AEBF； (3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由 解：(1)證明：連接A1B，則AB1A1B， 又AB1A1F，且A1BA1FA1， AB1平面A1BF. AB1BF. (2)證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG,則FGAE， 又BAG ADE， ABGDAE. AEBG.又BGFGG， AE平面BFG.AEBF. (3)存在取CC1中點(diǎn)P，即為所求連接EP,AP，C1D， EPC1D，C1DAB1，EPAB1. 由(1)知AB1BF， BFEP. 又由(2)知AEBF，且AEEPE， BF平面AEP. 方法技巧 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直， 然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵 失誤防范 1在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化 2面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考 命題預(yù)測 從近幾年的高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)等是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高客觀題突出“小而巧”,主要考查垂直的判定 及性質(zhì)；主觀題考查較全面，在考查上述知識的同時，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力 預(yù)測2013年高考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象以及邏輯推理能力 (本題滿分12分)(2011高考山東卷) 如圖,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB2AD,ADA1B1，BAD60.規(guī)范解答規(guī)范解答 求證： (1)AA1BD； (2)CC1平面A1BD. 【證明】(1)法一：因為D1D平面ABCD,且BD平面ABCD， 所以D1DBD.1分 在ABD中，由余弦定理，得 BD2AD2AB22ADABcosBAD. 又因為AB2AD，BAD60， 所以BD23AD2，3分 所以AD2BD2AB2，因此ADBD. 又ADD1DD， 所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1， 所以AA1BD.6分 法二：因為DD1平面ABCD，且BD平面ABCD， 所以BDD1D.1分 如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG. 在ABD中，由AB2AD，得AGAD.又BAD60， 所以ADG為等邊三角形，2分 所以GDGB，故DBGGDB. 又AGD60，所以GDB30, 所以ADBADGGDB603090， 所以BDAD.4分 又ADD1DD， 所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1， 所以AA1BD.6分 (2)如圖，連接AC、A1C1. 設(shè)ACBD于點(diǎn)E，連接EA1. 由棱臺的定義及AB2AD2A1B1， 知A1C1EC，且A1C1EC， 所以四邊形A1ECC1為平行四邊形， 因此CC1EA1.10分 又因為EA1平面A1BD， CC1 平面A1BD， 所以CC1平面A1BD.12分 【得分技巧】解答本題關(guān)鍵：首先證明ABD是直角三角形，即ADBD，其方法利用余弦定理推出BD23AD2或利用平面幾何知識證明ADG為等邊三角形，再進(jìn)一步說明ABD為直角三角形，其次要證CC1平面A1BD，只要在平面內(nèi)找出A1EC1C便可【失分溯源失分溯源】解答本題易失分處：一是解答不解答本題易失分處：一是解答不規(guī)范，定理條件寫不全面規(guī)范，定理條件寫不全面,例如本題中易漏寫例如本題中易漏寫“BD平面平面ABD，或，或ADD1DD”等；二是作等；二是作圖不規(guī)范，輔助線圖不規(guī)范，輔助線AC、DG、A1E虛實(shí)不分虛實(shí)不分