高中數(shù)學(xué)第2輪總復(fù)習(xí) 專題2 第3課時(shí) 三角函數(shù)與平面向量綜合課件 文

專 題 三專 題 三 110)20(ABABAB 向量的概念及表示向量的概念：既有大小又有方向的量注意向量和數(shù)量的區(qū)別向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段零向量和單位向量：長度為 的向量叫做零向量，記作 ，注意零向量的方向是任意的；長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量 與共線的單位向量是 11222121()()/4()()()3A xyB xyABxxyy 相等向量和平行向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；平行向量 也叫共線向量 ：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量 也叫共線向量 ，記作，規(guī)定零向量和任一向量平行向量的坐標(biāo)表示：若，則，aba b 121 12223.12向量加減法運(yùn)算幾何運(yùn)算：當(dāng)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí)，用向量加法的三角形法則；當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同時(shí)，用向量加法的平行四邊形法則代數(shù)運(yùn)算：代數(shù)運(yùn)算是指向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即相應(yīng)的坐標(biāo)相減平面向量的基本定理如果 和 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使12eeaaee 11221212|()()|cos .1()()2.4xyaxyxyxyx xy y平面向量的兩種積實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量 的積仍是一個(gè)向量，模等于，與向量 的方向關(guān)系根據(jù) 的符號(hào)確定若， ，則，兩個(gè)向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量 ， ，它們的夾角為 ，則若，則aaaaaaba b= a |bab=a b 11221221112212120/.()()/00.0()015)2xyxyx yx yxyxyx xy y平面向量的兩種位置關(guān)系兩個(gè)向量平行的充要條件是：符號(hào)語言：當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)語言：設(shè)，則，即向量坐標(biāo)“交叉相乘”的差等于兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是：符號(hào)語言：；坐標(biāo)語言：設(shè)，則，即向量坐標(biāo)“同名相乘”的和ba bababa baba babab0.等于 1 212121112221212()()().11.1()()6(1)72PPPP xyxxyyP xyP xyxyOOPOPPPPPOPP xyhkP xy 線段定比分點(diǎn)的兩種形式坐標(biāo)形式：若點(diǎn) 分所成的比為 ，且， ，則，向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，若，則平移公式：如果點(diǎn)， 按向量， 平移至，ababa.xxhyyk，則 122 (sinsinsin)sinsinsinsinsinsinsinsinsin28sin2 sin2 sin .abcR RABCABCaA aA bBbB cC cCa b cABCaRA bRBcRC正弦定理定理表達(dá)式：為的外接圓的半徑定理等價(jià)式：，；， 2222222222222222cos2cos2cos .coscos2222212c s.23o9abcbcA bcaacBcababCbcacabABbccaabcCab余弦定理定理表達(dá)式：，定理等價(jià)式：，功能作用：已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角 1,22 5/522.21b已知向量 、 、 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中若，且，求 的坐標(biāo)；若，且與例1垂直，求 與 的夾角.abcac =a ccb =a+ baab2考點(diǎn)考點(diǎn)1 向量的基本運(yùn)算向量的基本運(yùn)算 12cab第小題，先設(shè)向量 的坐標(biāo)，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的充要條件建立方程即可解答；第小題利用向量垂直的條件確定向量 與 的關(guān)系，然后再結(jié)合向量的夾角公分析：式求解 22()2 52 5/2 -022,4(-142442 - )xyxyx yxxyy c =cc =a c=.=c令， ，則由知，又由知，聯(lián)立可解得，或解析：故或， 2222222222023022cos|1,2125522552cos1.253520, 由與垂直知，即，所以，即，所以，而由知，又，所以因?yàn)椋?22222a + baba + bab =2b2aa + a b2b =a b =32b2abaa b cos =33 aba =a =b =2. ()2本題是一道將平面向量的重點(diǎn)知識(shí) 向量垂直與平行充要條件、數(shù)量積與向量的夾角、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等 融合在一起的綜合題本題的解答主要是待定系數(shù)法的應(yīng)用，而第小題的解答關(guān)鍵是確定【思維啟值迪】的a b 1,2(22)41()23變式題：已知向量，設(shè)，求；若與 垂直，求 的值；求向量 在 方向上的投影abc = a+bb c aa+baab1,2(22)44,8(22)6,62 62()0(1.60)0 b c aabc = a+b cab因?yàn)?，所以，所以，以解所析?22231,2(22)(21,22 )212(22 )0cos .1 2222cos.|25.222222 ，由于與 垂直，所以，所以設(shè)向量 與 的夾角為 ，向量 在 方向上的投影為所以a+ ba+ baababaa bab 4223.cos(212)3ABCABCABACSABCB.已 知中 ，求外 接 圓 的 面 積 ；求例 2的 值 12AAA首 先 利 用 三 角 形 面 積 求 得 角， 然 后 對(duì) 第小 題 分 角的 兩 種 取 值 結(jié) 合 余 弦 定 理 與分 析圓 的 面積 分 別 求 解 ； 第小 題 同 樣 根 據(jù) 角的 兩 種 取 值利 用 三 角 恒 等 變 換 公：式 求 值 考點(diǎn)考點(diǎn)2 解斜三角形解斜三角形 222211sin4 2sin22322 3sin.2332 332242322cos16482832 72 21.2sin31283ABCSAB ACAAAAAABCABCABCABACAB ACBCBCABCRA 依題意，所以，所以或當(dāng)時(shí)，是直角三角形，其外接圓半徑為 ，面積為；當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，故，外接圓半徑為面積為，解析： 21.33321cos(2)cos.6332222 723sin3221sin14AAAABCBBABB 由知或當(dāng)時(shí)，是直角三角形，所以，當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，所以，本題主要涉及到正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，在選用公式時(shí)注意分析條件和結(jié)論及相互之間的關(guān)系，正確選用正弦定理與余弦定理【思維啟迪】進(jìn)行求解2cos(2)cos2cossin2 sin33312sincos2sincossin332 211215 73(1)214221414.172BBBBBB .2.3132sinsin2sin2ABCA BCabccCABCabCBAAABC在中，內(nèi)角 ， ， 對(duì)邊的邊長分別是 ， 已知，若的面積等于，求 ， ；若變式求題：，的面積 2222431sin3422441.2ababABCabCabababaabb由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，解析所以，得聯(lián)，解得：立方程組 22sinsin4sin cossin cos2sin cos4 32 3cos02633cos0sin2sin22 3412 3sin.233.24 332BABAAABAAAAABabABAbaaababSbabABCabC由題意得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得所以的面積 (cossinsin )cossin ,2cos1244xxxxxxfxxfx 已 知，求 證 ： 向 量與 向 量不 可 能 平 行 ；若， 且， 時(shí) ， 求 函 數(shù)的最 大 值 及 最例 3.小 值ababa b考點(diǎn)考點(diǎn)3 三角函數(shù)與平面向量的綜合三角函數(shù)與平面向量的綜合 sin(12)yAx第小 題 利 用 反 證 法 求 解 ， 即 先 假 設(shè)兩 向 量 平 行 ， 然 后 利 用 兩 向 量 平 行 的 充 要 條件 建 立 等 式 ， 再 通 過 三 角 恒 等 變 換 轉(zhuǎn) 化 ， 進(jìn)而 導(dǎo) 出 矛 盾 ； 第小 題 先 用 數(shù) 量 積 公 式 將 函數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 關(guān) 于 正 余 弦 的 函 數(shù) ， 再 利 用 同 角 三角 函 數(shù) 的 基 本 關(guān) 系 與 二 倍 角 公 式 進(jìn) 行 轉(zhuǎn) 化 ，轉(zhuǎn) 化 為 形 如的 函 數(shù) ， 問 題 基本 上 就分 析 ：解 決 了 22/2coscossinsincossin02cossin cossin01 cos211 cos22sin20222in2cos232sin1(2)3|sin(2)|244xxxxxxxxxxxxxsxxxx 假設(shè)，則，所以，則，即，所以，解析：故向證明：量 與向量 不可能平行與矛盾，aba b 22cossincossinsin2coscossin2sin coscos2sin2222(cos2sin2 )2sin(2)2243244444224221844.24f xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xxx 因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，有最大值有最；當(dāng)，即時(shí)，小值= a b本題主要考查平面向量平行的充要條件、數(shù)量積，以及考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和差的正余弦公式，同時(shí)考查方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想【思維啟迪】及反證法 24,00,4(3cos3sin )(0)002sinsin22sinsin12tancos1 tanOAOBOCOC ABAC BC 已知，若，求角 的值；若變式題：，求的值 4,4(3cos3sin )012cos12sin01sincos(0)t.4an1ABOCOC AB ，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以解析?2(3cos4,3sin )(3cos3sin4)03cos (3cos4)3sin (3sin4)037sincos2sin cos4162sinsin22sinsintancos1tan2sincos (cossin)2s2inACBCAC BC ，因?yàn)?，所以，所以，兩邊平方得，所?2cossincoscossin732sincos51sincos.1646 5(33)45606020 330/ABABDBBCD如圖， ， 是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于 點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西的 點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于點(diǎn)南偏西且與 點(diǎn)相距海里的 點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為海里 小時(shí)，求該備選救援船到達(dá) 點(diǎn)需要多例題：長時(shí)間？5(33)()906030904545180(4530 )105 .sinsinsin5(33) sin45sinsin1055(33) sin455 3sin45 cos60cos45 sin60ABDBADABADBDBABDABDABADBABDABDBADB 由題意知海里 ，所以在中，由正弦定理，解得所以析：( 31)31210 3()海里 22230(9060 )6020 3()2cos1300 12301()30002 10 3 20 3900230()1DBCDBAABCBCDBCCDBDBCBD BCDBCCDDt 又，海里 ，在中，由余弦定理得，所以海里 ，則需要的時(shí)間答：該救援船到達(dá) 點(diǎn)時(shí) 需要小小時(shí)本題是一道典型的利用正弦定理與余弦定理解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用題是利用正弦定理還是利用余弦定理，必須分析條件與所求，結(jié)合正余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)【思維啟迪】作出選擇 1()()2121()2向量加減法及其幾何法則的應(yīng)用應(yīng)用主要有兩種途徑：根據(jù)已有圖形結(jié)構(gòu)利用法則表示向量、證明幾何問題等相關(guān)問題；利用法則將所要解決的向量問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形來解決向量平行 共線 的充要條件的應(yīng)用主要有兩種用法：直接利用平行條件判斷兩向量是否平行 共線 ；根據(jù)向量平行的充要條件建立方程 組 解決坐標(biāo)、參數(shù)等問題 1234()(1)2123向量垂直的充要條件的應(yīng)用與平行一樣主要有兩個(gè)用法：直接利用垂直條件判斷向量的垂直；根據(jù)向量垂直的充要條件建立方程 組 解決坐標(biāo)、參數(shù)等問題利用數(shù)量積的應(yīng)用常見的題型： 求數(shù)量積； 求向量的模； 求兩個(gè)向量的夾角解題有兩種途徑：利用向量的數(shù)量積公式；根據(jù)向量的幾何意義，將相關(guān)的向量等式或向量間的垂直、平行等關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形 矩形、正方形、菱形等 12251向量的平移問題主要有兩種題型：求已知向量平移前后的點(diǎn)的坐標(biāo)或函數(shù)的解析式；根據(jù)平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)或函數(shù)的解析式求平移向量解答主要有兩種途徑：利用平移公式；作出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合法直觀求解 12261利用向量的投影解題主要有兩種題型：求向量的投影；根據(jù)向量的投影求向量相關(guān)的問題此類題一般難度不大，解答也有兩種途徑：直接利用投影公式解決；利用數(shù)量積公式的變形公式解答7向量與三角函數(shù)的交匯此類題型主要表現(xiàn)為以向量為載體，在考查平面向量知識(shí)的同時(shí)考查三角函數(shù)知識(shí)，解答時(shí)一般是首先利用向量的知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)求解 1(2812)正余弦定理的應(yīng)用正弦定理與余弦定理的應(yīng)用主要題型：根據(jù)三角形的已知元素求未知元素；判斷三角形的形狀 或確定三角形六個(gè)基本量之間的關(guān)系 等利用正余弦定理主要有兩種途徑： 化角為邊；化邊為角222sinsinsinsin sin A (0 B )66C (0 1.(20D )3311)ABCABCBCA在中，則 的取值范圍是， ，四，川卷222222222.1cos.2032abcbcbcabcbcaAcAb由正弦定理角化邊得，即所所以解以，析： 26122.(2011). 安已知向量 ， 滿足，則 與 的夾角為徽_卷ababababab 222262612 2611cos|.|260| ，即，即，得，所以 ， 解析：，所以， 2ababa +a bab- ba ba ba babab