廣東學(xué)導(dǎo)練八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 1.4 角平分線課件 (新版)北師大版
第一章第一章 三角形的證明三角形的證明4 4 角平分線角平分線課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1 如圖1-4-1,OP平分AOB,PCOA于點(diǎn)C,PDOB于點(diǎn)D,則PC與PD的大小關(guān)系是()A PCPDB PC=PDC PCPDD 不能確定2 到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形()A 三條中線的交點(diǎn)B 三條高的交點(diǎn)C 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D 三條角平分線的交點(diǎn)BD3 用尺規(guī)作AOB的平分線的步驟:在OA和OB上分別截取OD,OE,使_;分別以_為圓心,以_的長(zhǎng)為半徑作弧,弧在AOB的_交于一點(diǎn)C;作_,OC就是AOB的平分線4 在RtABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)D,則ADB=_.5.如圖1-4-2,ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于點(diǎn)D,DEAB于點(diǎn)E,且AB=10 cm,則DEB的周長(zhǎng)是_.OD=OE點(diǎn)點(diǎn)D,E內(nèi)部?jī)?nèi)部射線射線OC4510 cm名師導(dǎo)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)新知新知 1 1角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理定理定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等注意:注意:用語(yǔ)言符號(hào)表示:如圖1-4-3,如果點(diǎn)P在AOB的平分線上,且PMOA于點(diǎn)M,PNOB于點(diǎn)N,那么PM=PN;點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng);角平分線的性質(zhì)能夠證明線段相等或?yàn)樽C三角形全等準(zhǔn)備條件.【例例1 1】如圖1-4-4,已知OD平分AOB,在OA,OB邊上取OA=OB,P是OD上一點(diǎn),PMBD,PNAD,垂足分別是點(diǎn)M,N求證:PM=PN解析解析已知PMBD,PNAD,根據(jù)角平分線的性質(zhì),只要證3=4即可證明證明 OD平分AOB, 1=2.在OBD和OAD中, OB=OA,1=2,OD=OD, OBDOAD(SAS). 3=4. PMBD,PNAD, PM=PN.舉一反三舉一反三如圖1-4-5,在ABC中,CD是AB邊上的高,BE平分ABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,求BCE的面積.解:如答圖解:如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作作EFBC于點(diǎn)于點(diǎn)F.CD是是AB邊上的高,邊上的高,DEAB.BE平分平分ABC,DE=EF=2.BC=5,BCE的面積的面積=新知新知 2 2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理角平分線的性質(zhì)定理的逆定理定理定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上語(yǔ)言符號(hào):如圖1-4-6,若點(diǎn)P是AOB內(nèi)一點(diǎn),PMOA于點(diǎn)M,PNOB于點(diǎn)N,且PM=PN,則點(diǎn)P在AOB的平分線上.性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系:點(diǎn)在角的平分線上 點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等. 因此角平分線的性質(zhì)定理的逆定理也是角平分線的判定定理,可以證明兩角相等.【例例2 2】如圖1-4-7,PAON于點(diǎn)A,PBOM于點(diǎn)B,且PA=PB,MON=50,OPC=30,求PCA的大小.解析解析根據(jù)圖形可知PCA=OPC+POC,所以關(guān)鍵是找AOP與POB的關(guān)系,由PA=PB可知AOP=POB.解解 PAON,PBOM,PA=PB, AOP=POB.又 MON=50, POC=25. PCA=POC+OPC=25+30=55.舉一反三舉一反三如圖1-4-8,BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交于點(diǎn)F,CFBF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.證明:如答圖證明:如答圖1-4-2,連接連接AF.BDAM,CEAN,FDC=FEB=90.又又CFD=BFE, CF=BF,CDFBFE(AAS).FD=FE.BDAM,CEAN,CAFBAF.AF平分平分BAC,即點(diǎn)即點(diǎn)F在在A的平分線上的平分線上.已知:AOB(如圖1-4-9)求作:射線OC,使AOC=BOC.注意:(1)這個(gè)作法是以SSS公理為基礎(chǔ)的由作法可知:OD=OE,EC=DC.又 OC=OC, OECODC. BOC=AOC.(2)所作圖形是過(guò)頂點(diǎn)O的射線OC,其關(guān)鍵是確定點(diǎn)C的位置新知新知3作已知角的平分線作已知角的平分線(3)“大于 DE”的原因是:如果小于 DE,兩弧不相交;而等于 DE時(shí),兩弧雖然有一個(gè)交點(diǎn),但難以準(zhǔn)確得到(4)點(diǎn)C是兩弧交于AOB內(nèi)的點(diǎn),另一交點(diǎn)沒(méi)有作出,這是因?yàn)镺,C兩點(diǎn)就可以確定出平分AOB的射線【例例3 3】如圖1-4-10,在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校,這所學(xué)校到公路和鐵路的距離相等,并且與兩路的交叉點(diǎn)O處的距離為400 m 請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出學(xué)校的位置,并說(shuō)明理由(比例尺112 500)解析解析學(xué)校到公路和鐵路的距離相等,就是指學(xué)校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時(shí)所成角的平分線上解解把公路和鐵路看作兩條直線,畫(huà)出它們所成角的平分線,在角的平分線上從頂點(diǎn)截出表示實(shí)際長(zhǎng)400 m的線段,即可確定學(xué)校的位置,如圖1-4-11,圖中的點(diǎn)P即為所求 表示實(shí)際長(zhǎng)400 m的線段為40 00012 500=3.2 cm舉一反三舉一反三如圖1-4-12,點(diǎn)D在ABC的AB邊上,且ACD=A.(1)作BDC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法);(2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明).解:(解:(1)如答圖)如答圖1-4-3所示:所示:(2)DEAC定理定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等注意:注意:交點(diǎn)只可能在三角形的內(nèi)部,且到三邊的垂線段相等.新知新知4三角形角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)定理三角形角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)定理【例例4 4】如圖1-4-13,O是ABC內(nèi)一點(diǎn),且O到三邊AB,BC,CA的距離OF=OD=OE,若A=70,求BOC的度數(shù)解析解析要求BOC的度數(shù),只要求得1和3的度數(shù),由180-1-3即可得出BOC的度數(shù). 根據(jù)題中所給條件,可知12,34,又A70,可得出1+3,從而求得BOC的度數(shù)解解 OFAB,ODBC,且OF=OD, BO平分ABC. 12. 同理可得3=4.舉一反三舉一反三如圖1-4-14,在ABC中,BD,CE分別平分ABC,ACB,且BD,CE交于點(diǎn)O,過(guò)O作OPBC于點(diǎn)P,OMAB于點(diǎn)M,ONAC于點(diǎn)N.求證:點(diǎn)O在BAC的平分線上.證明:證明:BD平分平分ABC, OPBC,OMAB,OPOM.CE平分平分ACB,OPBC,ONAC,OPON.OMON.點(diǎn)點(diǎn)O在在BAC的平分線上的平分線上.