廣東學(xué)導(dǎo)練八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 1.4 角平分線課件 （新版）北師大版

第一章第一章 三角形的證明三角形的證明4 4 角平分線角平分線課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1 如圖1-4-1，OP平分AOB，PCOA于點(diǎn)C，PDOB于點(diǎn)D，則PC與PD的大小關(guān)系是（）A PCPDB PC=PDC PCPDD 不能確定2 到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形（）A 三條中線的交點(diǎn)B 三條高的交點(diǎn)C 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D 三條角平分線的交點(diǎn)BD3 用尺規(guī)作AOB的平分線的步驟：在OA和OB上分別截取OD，OE，使_；分別以_為圓心，以_的長(zhǎng)為半徑作弧，弧在AOB的_交于一點(diǎn)C；作_，OC就是AOB的平分線4 在RtABC中,銳角A的平分線與銳角B的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)D,則ADB=_.5.如圖1-4-2,ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于點(diǎn)D,DEAB于點(diǎn)E,且AB=10 cm,則DEB的周長(zhǎng)是_.OD=OE點(diǎn)點(diǎn)D，E內(nèi)部?jī)?nèi)部射線射線OC4510 cm名師導(dǎo)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)新知新知 1 1角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理定理定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等注意：注意：用語(yǔ)言符號(hào)表示：如圖1-4-3，如果點(diǎn)P在AOB的平分線上，且PMOA于點(diǎn)M，PNOB于點(diǎn)N，那么PM=PN；點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)；角平分線的性質(zhì)能夠證明線段相等或?yàn)樽C三角形全等準(zhǔn)備條件.【例例1 1】如圖1-4-4，已知OD平分AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，P是OD上一點(diǎn)，PMBD，PNAD，垂足分別是點(diǎn)M，N求證：PM=PN解析解析已知PMBD，PNAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，只要證3=4即可證明證明 OD平分AOB， 1=2.在OBD和OAD中， OB=OA，1=2，OD=OD， OBDOAD（SAS）. 3=4. PMBD，PNAD， PM=PN.舉一反三舉一反三如圖1-4-5，在ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，求BCE的面積.解：如答圖解：如答圖1-4-1,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作作EFBC于點(diǎn)于點(diǎn)F.CD是是AB邊上的高，邊上的高，DEAB.BE平分平分ABC，DE=EF=2.BC=5，BCE的面積的面積=新知新知 2 2角平分線的性質(zhì)定理的逆定理角平分線的性質(zhì)定理的逆定理定理定理在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上語(yǔ)言符號(hào)：如圖1-4-6，若點(diǎn)P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PMOA于點(diǎn)M，PNOB于點(diǎn)N，且PM=PN，則點(diǎn)P在AOB的平分線上.性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系：點(diǎn)在角的平分線上 點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等. 因此角平分線的性質(zhì)定理的逆定理也是角平分線的判定定理，可以證明兩角相等.【例例2 2】如圖1-4-7，PAON于點(diǎn)A，PBOM于點(diǎn)B，且PA=PB，MON=50，OPC=30，求PCA的大小.解析解析根據(jù)圖形可知PCA=OPC+POC，所以關(guān)鍵是找AOP與POB的關(guān)系，由PA=PB可知AOP=POB.解解 PAON，PBOM，PA=PB， AOP=POB.又 MON=50， POC=25. PCA=POC+OPC=25+30=55.舉一反三舉一反三如圖1-4-8,BDAM于點(diǎn)D，CEAN于點(diǎn)E，BD,CE交于點(diǎn)F，CFBF，求證：點(diǎn)F在A的平分線上.證明：如答圖證明：如答圖1-4-2,連接連接AF.BDAM,CEAN,FDC=FEB=90.又又CFD=BFE, CF=BF,CDFBFE(AAS).FD=FE.BDAM,CEAN,CAFBAF.AF平分平分BAC,即點(diǎn)即點(diǎn)F在在A的平分線上的平分線上.已知：AOB（如圖1-4-9）求作：射線OC，使AOC=BOC.注意：（1）這個(gè)作法是以SSS公理為基礎(chǔ)的由作法可知：OD=OE，EC=DC.又 OC=OC， OECODC. BOC=AOC.（2）所作圖形是過(guò)頂點(diǎn)O的射線OC，其關(guān)鍵是確定點(diǎn)C的位置新知新知3作已知角的平分線作已知角的平分線（3）“大于 DE”的原因是：如果小于 DE，兩弧不相交；而等于 DE時(shí)，兩弧雖然有一個(gè)交點(diǎn)，但難以準(zhǔn)確得到（4）點(diǎn)C是兩弧交于AOB內(nèi)的點(diǎn)，另一交點(diǎn)沒(méi)有作出，這是因?yàn)镺，C兩點(diǎn)就可以確定出平分AOB的射線【例例3 3】如圖1-4-10，在公路的南側(cè)、鐵路的東側(cè)有一所學(xué)校，這所學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，并且與兩路的交叉點(diǎn)O處的距離為400 m 請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出學(xué)校的位置，并說(shuō)明理由（比例尺112 500）解析解析學(xué)校到公路和鐵路的距離相等，就是指學(xué)校在把公路和鐵路看作兩條直線相交時(shí)所成角的平分線上解解把公路和鐵路看作兩條直線，畫(huà)出它們所成角的平分線，在角的平分線上從頂點(diǎn)截出表示實(shí)際長(zhǎng)400 m的線段，即可確定學(xué)校的位置，如圖1-4-11，圖中的點(diǎn)P即為所求 表示實(shí)際長(zhǎng)400 m的線段為40 00012 500=3.2 cm舉一反三舉一反三如圖1-4-12，點(diǎn)D在ABC的AB邊上，且ACD=A.（1）作BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）.解：（解：（1）如答圖）如答圖1-4-3所示：所示：（2）DEAC定理定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等注意：注意：交點(diǎn)只可能在三角形的內(nèi)部，且到三邊的垂線段相等.新知新知4三角形角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)定理三角形角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)定理【例例4 4】如圖1-4-13，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊AB，BC，CA的距離OF=OD=OE，若A=70，求BOC的度數(shù)解析解析要求BOC的度數(shù)，只要求得1和3的度數(shù)，由180-1-3即可得出BOC的度數(shù). 根據(jù)題中所給條件，可知12，34，又A70，可得出1+3，從而求得BOC的度數(shù)解解 OFAB，ODBC，且OF=OD， BO平分ABC. 12. 同理可得3=4.舉一反三舉一反三如圖1-4-14，在ABC中，BD,CE分別平分ABC,ACB，且BD,CE交于點(diǎn)O，過(guò)O作OPBC于點(diǎn)P，OMAB于點(diǎn)M，ONAC于點(diǎn)N.求證：點(diǎn)O在BAC的平分線上.證明：證明：BD平分平分ABC, OPBC，OMAB,OPOM.CE平分平分ACB,OPBC，ONAC,OPON.OMON.點(diǎn)點(diǎn)O在在BAC的平分線上的平分線上.