工程力學(xué)靜力學(xué) 第二章 平面匯交力系

工程力學(xué)課件 第二章 平面匯交力系本章將研究最簡單的情況平面匯交力系的合成和平衡問題。它是研究平面一般力系的基礎(chǔ)。本章重點：1、平面匯交力系的概念2、平面匯交力系的合成（幾何法、解析法）3、平面匯交力系平衡條件（幾何條件、平衡方程）工程力學(xué)課件 2-1 工程中的平面匯交力系問題所謂平面匯交力系平面匯交力系，就是各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且匯交于一點的力系。工程力學(xué)課件 2-2 平面匯交力系合成的幾何法2112FFFR設(shè)剛體上作用有匯交于同一點O的三個力F1，F(xiàn)2和F3，如圖a所示?，F(xiàn)求其合力。連續(xù)運用三角形法則，可將這些力順次兩兩合成312FFFRR工程力學(xué)課件 作圖時中間矢量AC不必畫出，只要把各力矢量首尾相接，畫出一個開口多邊形ABCD，最后將第一個力F1的始端A與最末一個力F3的終端D相連，所得的矢量AD就代表該力系合力FR的大小和方向，如圖b所示。這個多邊形ABCD叫力多邊形力多邊形，代表合力的矢量AD邊叫力多邊形的封閉邊力多邊形的封閉邊。這種以力多邊形求合力的作圖規(guī)則，稱為力多邊形法則力多邊形法則。這種方法稱為幾何法幾何法。力多邊形法可以推廣到由任意個力F1、F2、Fn組成的共點力系。321312FFFFFFRR工程力學(xué)課件 niinRFFFFF121綜上所述：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，其大小和方向由力多邊形的封閉邊來表示，其作用線通過各力的匯交點。即合力等于各分力的矢量和(或幾何和)?？捎檬噶渴奖硎緸椋河脦缀畏ㄗ髁Χ噙呅螘r，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點： 要選擇恰當(dāng)?shù)拈L度比例尺和力的比例尺。按長度比例尺畫出輪廓圖，按力的比例尺畫出各力的大小，并準(zhǔn)確地畫出各力的方向。只有這樣，才能從圖上準(zhǔn)確地表示出合力的大小和方向。作力多邊形時，可以任意變換力的次序，雖然得到形狀不同的力多邊形，但合成的結(jié)果并不改變。力多邊形中諸力應(yīng)首尾相連。合力的方向則是從第一個力的起點指向最后一個力的終點。工程力學(xué)課件 2-3 平面匯交力系平衡的幾何條件所謂力系的平衡條件就是指剛體在某力系作用下維持平衡狀態(tài)時，該力系各力應(yīng)滿足的條件。前面已指出，匯交力系可以合成一個合力。因此，物體在平面匯交力系作用下平衡的必要與充分條件是合力FR等于零。即0FFR在幾何法中，平面匯交力系的合力FR是由力多邊形的封閉邊來表示的。當(dāng)合力FR等于零時，力多邊形的封閉邊變?yōu)橐稽c，即力多邊形中第一個力的起點與最后一個力的終點重合，構(gòu)成了一個自行封閉的力多邊形。所以平面匯交力系平衡的幾何條件是：力多邊形封閉。力多邊形封閉。工程力學(xué)課件 例例2-1 圖a中鋼梁的重量G=6kN，=30，試求平衡時鋼絲繩的約束反力。選擇力比例尺F=0.1 kN/ mm,作力多邊形,如圖b所示。按比例尺量得fh和he的長度為：fh=34.5 mm，he=34.5mmFAT=34.5 mm0.1 kNmm=3.45 kN，F(xiàn)BT=34.5 mm0.1 kNmm=3.45 kN (4)分析討論 從力三角形可以看到，在重力P不變的情況下，角越大，鋼絲繩拉力也隨之增大。因此，起吊重物時應(yīng)將鋼絲繩放長一些，使夾角2較小些，這樣鋼絲繩才不易被拉斷。解：(1)根據(jù)題意，選鋼梁為研究對象。(2)畫受力圖 鋼梁受重力P和鋼絲繩約束反力FAT和FBT的作用，三力匯交手D點，這是一個平面匯交力系。受力圖如圖a所示。(3)用幾何法求反力 作力多邊形，求未知量。工程力學(xué)課件 例例2-2 簡易絞車如圖a所示，A、B和C為鉸鏈連接，鋼絲繩繞過滑輪A將P=20 kN的重物吊起。不計摩擦及桿件AB、AC的質(zhì)量。試計算兩桿AB、AC所受的力。解：(1)選滑輪A(含輪上一段繩子)為研究對象(圖b)(2)畫受力圖 (3)用幾何法作力多邊形，求未知量 選 力 比 例 尺F=1kN/mm，做力多邊形，按比例尺量得：FAB=cd=9.3kNFAC=da=35.9 kN可見桿AB受拉力，桿AC受壓力桿AB和AC所受的力分別與力FAB和FAC等值反向。工程力學(xué)課件 例例2-3 剛架如圖a所示，在B點受一水平力作用。設(shè)F=20 kN，剛架的質(zhì)量略去不計。求A、D處的約束反力。解：(1)根據(jù)題意，選剛架為研究對象，選擇長度比例尺l=0.2 m/mm，畫出剛架的輪廓圖形 。(2)畫受力圖(3)用幾何法作力多邊形，求未知量 ,選擇力比例尺F=0.5 kN/mm，量得：FA=22.4 kN， FD=10 kN兩反力的指向由力三角形閉合的條件確定kNkNFFFA4.22202552cos或根據(jù)三角形關(guān)系計算得到：kNkNFFAD104.2251sin工程力學(xué)課件 2-4 平面匯交力系合成的解析法 求解平面匯交力系問題，除了應(yīng)用前面所述的幾何法以外，經(jīng)常應(yīng)用的是解析法。解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的。為此，先介紹力在坐標(biāo)軸上投影的概念。 1、力在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F=AB在Oxy平面內(nèi)。從力F的起點A和終點B作Ox軸的垂線Aa和Bb，則線段ab稱為力力F在在x軸上的投軸上的投影，影，用Fx表示。同理，從力F的起點A和終點B可作Oy軸的垂線Aa和Bb，則ab稱為力力F在在y軸上的投影軸上的投影。用Fy表示。工程力學(xué)課件 設(shè)和表示力F與x軸和y軸正向間的夾角，則由圖可知：coscosFFFFyx如已知Fx和Fy，即可求出力F的大小和方向余弦為：力的投影是代數(shù)量。為了便于計算，通常采用力F與坐標(biāo)軸所夾的銳角計算余弦，并且規(guī)定：當(dāng)力的投影，從始端到末端的指向與坐標(biāo)軸的正向相同時，投影值為正，反之為負(fù)。22yxFFF22cosyxxFFF22cosyxyFFF工程力學(xué)課件 如圖所示為由平面匯交力系F1、F2、F3所組成的力多邊形ABCD，AD是封閉邊，即合力FR2、合力投影定理任選坐標(biāo)軸Oxy，將合力FR和各分力Fl、F2、F3，分別向x軸上投影，得：cdFbcFabFxxx321,cdbcabadadFRx故xxxRxFFFF321同理yyyRyFFFF321工程力學(xué)課件 若將上述合力投影與各分力投影的關(guān)系式推廣到n個力組成的平面匯交力系中，可得到： 即合力在任意軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，稱為合力投影定理合力投影定理。yninynyyyRyxninxnxxxRxFFFFFFFFFFFF121121工程力學(xué)課件 3、合成的解析法2222)()(yxRyRxRFFFFF22)()(cosyxxFFF合力FR的大小和方向余弦為：22)()(cosyxyFFF式中，和分別表示合力FR與x軸和y軸正向間的夾角。 利用上式計算合力FR的大小和方向，這種方法稱為平面平面匯交力系合成的解析法。匯交力系合成的解析法。工程力學(xué)課件 例2-4 如圖所示，作用于吊環(huán)螺釘上的四個力F1、F2、F3和F4構(gòu)成平面匯交力系。已知各力的大小和方向為F1=360N，l=60；F2=550N，2=0；F3=380N，3=30；F4=300N，4=70。試用解析法求合力的大小和方向。解：用解析法求合力 選取坐標(biāo)系OxyNFFFFFFFFFxxxxRx1162coscoscoscos443322114321NFFFFFFFFFyyyyRy160sinsinsinsin443322114321工程力學(xué)課件 例2-4 如圖所示，作用于吊環(huán)螺釘上的四個力F1、F2、F3和F4構(gòu)成平面匯交力系。已知各力的大小和方向為F1=360N，l=60；F2=550N，2=0；F3=380N，3=30；F4=300N，4=70。試用解析法求合力的大小和方向。解：用解析法求合力 選取坐標(biāo)系OxyNFFFFFFFFFxxxxRx1162coscoscoscos443322114321NFFFFFFFFFyyyyRy160sinsinsinsin443322114321NFFFRyRxR1173)160()1162(22229906. 011731162cos1364. 01173160cos157982 合力FR指向如圖所示。工程力學(xué)課件 2-5 平面匯交力系平衡方程及其應(yīng)用 平面匯交力系的平衡條件是合力FR為零，則有022yxRFFF00yxFF即平面匯交力系的解析條件是各力在平面匯交力系的解析條件是各力在x軸和軸和y軸上投影的代軸上投影的代數(shù)和等于零。數(shù)和等于零。上述式子稱為平面匯交力系平衡方程平面匯交力系平衡方程。運用這兩個平衡方程，可以求解兩個未知量。當(dāng)用解析法求解平衡問題時，未知力的指向可先假設(shè)，如計算結(jié)果為正值，則表示所假設(shè)力的指向與實際指向相同；如為負(fù)值，則表示所假設(shè)力的指向與實際指向相反。工程力學(xué)課件 例例2-5 剛架如圖a所示，在B點受一水平力作用。設(shè)F=20 kN，剛架的質(zhì)量略去不計。求A、D處的約束反力。解：(1) 選剛架為研究對象。(2)畫受力圖(3)列平衡方程，約束反力FA的指向假設(shè)如圖所示，由匯交力系的平衡方程得：kNFFA4.2254820coskNkNFFAD10544)4.22(sin0sin, 00cos, 0ADyAxFFFFFF負(fù)值，方向與假設(shè)方向相反正值，方向與假設(shè)方向相同工程力學(xué)課件 例2-6 簡易壓榨機如圖a所示，活塞給水平推桿的力為F，A、B、C三點為鉸鏈連接，托板與連桿的自重都不計，機構(gòu)平衡。試求當(dāng)連桿AB、AC與鉛垂線成角時，托板給被壓物體的力。分析：這是一個物體系統(tǒng)的平衡問題。如果首先取被壓物或托板作為研究對象，它們上面沒有已知力，就不能算出需求的力。因此，應(yīng)先取銷釘A為研究對象，求出連桿所受的力，然后取托板為研究對象，再求出托板給被壓物體的力。工程力學(xué)課件 解：(1)先選銷釘A為對象，其受力圖如圖b所示?；钊ㄟ^水平推桿，給銷釘A的力F沿水平方向向左。連桿AB、AC為二力桿，所以力FAB和FAC。分別沿連桿AB、AC軸線，指向暫先假設(shè)如圖所示。取坐標(biāo)軸如圖，列平衡方程：0coscos, 00sinsin, 0ACAByACABxFFFFFFFsin2FFFACAB工程力學(xué)課件 解：取坐標(biāo)軸如圖，列平衡方程：0cos, 00sin, 021BNyBNxFFFFFFsin2FFFFFABABBB(2)再選托板為對象，其受力圖如圖c所示。被壓物體給托板的力FN2。鉛直向下，連桿AB給托板的力FB，是力FB的反作用力，立柱給托板的反力FN1水平向右。cossin21BNBNFFFFcot2sin2cos2FFFN工程力學(xué)課件 綜合以上例題，求解平面匯交力系平衡問題的要點如下：綜合以上例題，求解平面匯交力系平衡問題的要點如下：1、幾何法選取研究對象。按照題意，確定研究對象。對于復(fù)雜問題，要選取兩個甚至更多的研究對象。畫受力圖。先畫已知力，在畫約束反力時，先畫出方向或方位已知的力，如柔性體約束、光滑面約束和輥軸約束等的約束反力。然后再依據(jù)二力平衡條件或三力平衡匯交定理，確定某些約束反力的方位。要注意相互作用力應(yīng)該是等值、反向且共線的，但是，它們分別作用在兩個相互作用的物體上。適當(dāng)選擇長度比例尺，畫出研究對象的輪廓圖。適當(dāng)選擇力的比例尺，畫力系的封閉多邊形，圖形大小適宜，避免誤差偏大。作圖時先從已知力開始，按照各分力首尾相接的規(guī)則和力多邊形封閉的特點，確定未知力的方向求未知量。用比例尺和量角器量出未知力的大小和方向，或者按照幾何關(guān)系，運用三角公式計算未知力的大小和方向。工程力學(xué)課件 綜合以上例題，求解平面匯交力系平衡問題的要點如下：綜合以上例題，求解平面匯交力系平衡問題的要點如下：2、解析法選取研究對象。與幾何法相同。畫受力圖。與幾何法相同。恰當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系，列平衡方程。盡量選擇坐標(biāo)軸與較多未知力垂直，避免解聯(lián)立方程。求解方程。解得力的絕對值，表示力的大小。答案中的正號表示力的指向與原設(shè)一致，負(fù)號表示相反工程力學(xué)課件