高三數(shù)學高考一輪課件 優(yōu)化方案(理科)第十章 空間中的垂直關系 新人教A版10章5課時

第5課時 空間中的垂直關系1直線與平面垂直直線與平面垂直(1)定義：如果直線定義：如果直線l與平面與平面內(nèi)的內(nèi)的 直線都垂直，則直線直線都垂直，則直線l與此平與此平面面垂直垂直(2)判定定理：一條直線與一個平判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條面內(nèi)的兩條 直線都垂直，則該直直線都垂直，則該直線與此平面垂直線與此平面垂直(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線的兩條直線 基礎知識梳理基礎知識梳理任意一條任意一條相交相交平行平行2二面角的有關概念二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)二面角：從一條直線出發(fā)的的 所組成的圖形叫做所組成的圖形叫做二面角二面角(2)二面角的平面角：以二面二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作平面內(nèi)分別作 的兩條射的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角角的平面角基礎知識梳理基礎知識梳理兩個半平面兩個半平面垂直于掕垂直于掕3平面與平面垂直平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二定義：如果兩個平面所成的二面角是面角是 ，就說這兩個平面，就說這兩個平面互相垂直互相垂直(2)判定定理：一個平面過另一個判定定理：一個平面過另一個平面的平面的 ，則這兩個平面垂直，則這兩個平面垂直(3)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)一個平面內(nèi) 的直線與另一的直線與另一個平面垂直個平面垂直基礎知識梳理基礎知識梳理直二面角直二面角垂直于交線垂直于交線垂線垂線基礎知識梳理基礎知識梳理垂直于同一平面的兩平面是垂直于同一平面的兩平面是否平行？否平行？【思考思考提示提示】可能平行，可能平行，也可能相交也可能相交4直線和平面所成的角直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角平面所成的角當直線與平面垂直和平行當直線與平面垂直和平行(含直線含直線在平面內(nèi)在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為角分別為 .基礎知識梳理基礎知識梳理90和和01(2009年高考山東卷改編年高考山東卷改編)已知已知，表示兩個不同的平面，表示兩個不同的平面，m為平面為平面內(nèi)的一條直線，則內(nèi)的一條直線，則“m ”是是“ ”的的()A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件答案：答案：A三基能力強化三基能力強化2直線直線a與與b垂直，垂直，b平面平面，則則a與與的位置關系是的位置關系是()Aa BaCa Da或或a答案：答案：D三基能力強化三基能力強化3.如圖，如果如圖，如果MC菱形菱形ABCD所在所在平面，那么平面，那么MA與與BD的位置關系是的位置關系是()三基能力強化三基能力強化A平行平行B垂直但不相交垂直但不相交C異面異面D相交但不垂直相交但不垂直答案：答案：B三基能力強化三基能力強化4(教材習題改編教材習題改編)ABC中，中，ABC=90，PA平面平面ABC，則圖中直角三角形的，則圖中直角三角形的個數(shù)是個數(shù)是.答案：答案：4三基能力強化三基能力強化5已知平面已知平面、和直線和直線m，給出，給出條件：條件：m；m；m；.(1)當滿足條件當滿足條件_時，有時，有m；(2)當滿足條件當滿足條件_時，有時，有m.(填所選條件的序號填所選條件的序號)答案：答案：三基能力強化三基能力強化證明直線和平面垂直的常用方法有證明直線和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理利用判定定理(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一直線和平面垂直的判定和性質(zhì)直線和平面垂直的判定和性質(zhì)(3)利用面面平行的性質(zhì)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)利用面面垂直的性質(zhì)當直線和平面垂直時，該直線垂當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直線線垂直課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練如圖所示，如圖所示，AB為為 O的直徑，的直徑，C為為 O上一點，上一點，AP面面ABC，AEBP于于E，AFCP于于F.求證：求證：BP平面平面AEF.課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】證明證明BP平面平面AEF，只需證明，只需證明AFPB.課堂互動講練課堂互動講練【證明證明】AB為為 O的直徑，的直徑，C為為 O上的一點，上的一點，BCAC.又又PA面面ABC，BC面面ABC，PABC.又又PAAC=A，BC平面平面PAC，課堂互動講練課堂互動講練AF平面平面PAC，BCAF.又已知又已知AFPC，BCPC=C，AF平面平面BCP，又，又PB平面平面BCP，AFPB，又，又BPAE，AEAF=A，BP平面平面AEF.課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】線面垂直的定義，線面垂直的定義，拓展了線線垂直的范圍，線垂直于面，拓展了線線垂直的范圍，線垂直于面，線就垂直于面內(nèi)所有直線線就垂直于面內(nèi)所有直線課堂互動講練課堂互動講練題目條件不變，圖中有幾個直角題目條件不變，圖中有幾個直角三角形？它們是什么？三角形？它們是什么？解：解：共共9個個RtPAC，RtPAB，RtPBC，RtABC，RtPFA，RtCFA，RtPEF，RtPEA，RtAEB.課堂互動講練課堂互動講練證明面面垂直的主要方法是：證明面面垂直的主要方法是：(1)利用判定定理在審題時要注意利用判定定理在審題時要注意直觀判斷哪條直線直觀判斷哪條直線課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定可能是垂線，充分利用等腰三角可能是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊，勾股定理形底邊的中線垂直于底邊，勾股定理等結論等結論(2)用定義證明只需判定兩用定義證明只需判定兩平面所成二面角為直二面角平面所成二面角為直二面角(3)客觀客觀題中，也可應用：兩個平行平面中的題中，也可應用：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于第三個平面垂直于第三個平面課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練(2010年陜西西安調(diào)研年陜西西安調(diào)研)如圖，三如圖，三棱錐棱錐A-BCD中，中，AD，BC，CD兩兩互兩兩互相垂直，相垂直，M，N分別為分別為AB，AC的中的中點點(1)求證：求證：BC平面平面MND；(2)求證：平面求證：平面MND平面平面ACD.課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】由由MNBC，知，知BC平面平面MND，由，由BCCD，BCAD，知，知BC面面ACD.課堂互動講練課堂互動講練【證明證明】(1)M、N分別為分別為AB、AC的中點，的中點，MNBC.又又MN平面平面MND，BC 平面平面MND.BC平面平面MND.課堂互動講練課堂互動講練(2)BCCD，BCAD，BC平面平面ACD.又又MNBC，MN平面平面ACD.MN平面平面MND，平面平面MND平面平面ACD.課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】本題體現(xiàn)了線面本題體現(xiàn)了線面轉(zhuǎn)化，同學們可以思考一下，若轉(zhuǎn)化，同學們可以思考一下，若DNAC，DMAC，我們可以推出，我們可以推出幾對面面垂直？幾對面面垂直？課堂互動講練課堂互動講練將平面圖形折疊成立體圖形時，將平面圖形折疊成立體圖形時，應注意折疊前、后哪些量發(fā)生了改應注意折疊前、后哪些量發(fā)生了改變，哪些沒有發(fā)生變化特別應注變，哪些沒有發(fā)生變化特別應注意尋找折疊前、后的那些沒有發(fā)生意尋找折疊前、后的那些沒有發(fā)生變化的關系和沒有變化的量把平變化的關系和沒有變化的量把平面圖形的垂直關系運用到空間圖形面圖形的垂直關系運用到空間圖形中去，又將空間中的有關問題放到中去，又將空間中的有關問題放到平面中去計算，?？梢允箚栴}得以平面中去計算，?？梢允箚栴}得以順利解決順利解決課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三 折疊問題折疊問題課堂互動講練課堂互動講練如圖如圖，四邊形，四邊形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將，將ABD沿對角線沿對角線BD折起，記折起后點折起，記折起后點A的位置為的位置為P，且使，且使平面平面PBD平面平面BCD，如圖，如圖.課堂互動講練課堂互動講練(1)求證：平面求證：平面PBC平面平面PDC；(2)在折疊前的四邊形在折疊前的四邊形ABCD中，中，作作AEBD于于E，過，過E作作EFBC于于F，求折起后的圖形中求折起后的圖形中PFE的正切值的正切值課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】根據(jù)翻折前后元根據(jù)翻折前后元素的關系變化，結合面面垂直的判定素的關系變化，結合面面垂直的判定定理求解定理求解課堂互動講練課堂互動講練【解解】(1)證明：折疊前，在四證明：折疊前，在四邊形邊形ABCD中，中，ADBC，AD=AB，BAD=90，所以所以ABD為等腰直角三角形為等腰直角三角形又因為又因為BCD=45 ，所以，所以BDC=90.折疊后，因為面折疊后，因為面PBD面面BCD，課堂互動講練課堂互動講練CDBD，所以，所以CD面面PBD.又因為又因為PB面面PBD，所以，所以CDPB.又因為又因為PBPD，PDCD=D，所，所以以PB面面PDC.又又PB面面PBC，故平面，故平面PBC平平面面PDC.課堂互動講練課堂互動講練(2)AEBD，EFBC，折疊后，折疊后的位置關系不變，的位置關系不變，所以所以PEBD.又面又面PBD面面BCD，所以，所以PE面面BCD.所以所以PEEF.課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】翻折與展開是一翻折與展開是一個問題的兩個方面，不論是翻折還是個問題的兩個方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形展開，均要注意平面圖形與立體圖形中各個對應元素的相對變化，元素間中各個對應元素的相對變化，元素間大小與位置關系，哪些變化，哪些不大小與位置關系，哪些變化，哪些不變化，這是至關重要的一般來說，變化，這是至關重要的一般來說，在翻折過程中，處在同一個半平面內(nèi)在翻折過程中，處在同一個半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清楚這一點是解的元素是不變的，弄清楚這一點是解決這類問題的關鍵決這類問題的關鍵課堂互動講練課堂互動講練對于這類問題應先把題目中已確定對于這類問題應先把題目中已確定的位置、大小關系作出全面認識和正確的位置、大小關系作出全面認識和正確的推理，再對變化不定的線面關系進行的推理，再對變化不定的線面關系進行觀察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔觀察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔助面進行判斷，另外還要靈活運用觀察、助面進行判斷，另外還要靈活運用觀察、聯(lián)想、類比、猜想、分析、綜合、一般聯(lián)想、類比、猜想、分析、綜合、一般化、特殊化等科學的思維方法，才能使化、特殊化等科學的思維方法，才能使開放性問題快速有效地解決開放性問題快速有效地解決課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四與垂直有關的探究性問題與垂直有關的探究性問題課堂互動講練課堂互動講練(1)求證：不論求證：不論為何值，總有平面為何值，總有平面BEF平面平面ABC；(2)當當為何值時，平面為何值時，平面BEF平面平面ACD.課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】對于對于(1)證出證出EFCD，從而可證，從而可證EF面面ABC；對；對于于(2)主要在側面主要在側面ABC中求中求AE的長的長度度課堂互動講練課堂互動講練【解解】(1)證明：證明：AB平面平面BCD，ABCD，CDBC且且ABBCB，CD平面平面ABC. 2分分不論不論為何值，恒有為何值，恒有EFCD， 4分分EF平面平面ABC，EF平面平面BEF，不論不論為何值，總有平面為何值，總有平面BEF平面平面ABC. 6分分課堂互動講練課堂互動講練(2)由由(1)知，知，BEEF，又平面，又平面BEF平面平面ACD，BE平面平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】對于對于(2)易錯的地易錯的地方是猜想方是猜想E點位置為中點，再證平面點位置為中點，再證平面BEF平面平面ACD.課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分本題滿分12分分)如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB=2BC，P、Q分別為線分別為線段段AB、CD的中點，的中點，EP平面平面ABCD.課堂互動講練課堂互動講練(1)求證：求證：DP面面EPC；(2)問在問在EP上是否存在點上是否存在點F使平面使平面課堂互動講練課堂互動講練解：解：(1)證明：證明：EP面面ABCD，EPDP，又又ABCD為矩形，為矩形，AB=2BC，P、Q分別為分別為AB、CD的中的中點，點，PQDC且且PQ= DC，DPPC， 4分分又又EPPCP，DP面面EPC. 6分分課堂互動講練課堂互動講練(2)如圖，假設存在點如圖，假設存在點F使平面使平面AFD平面平面BFC，ADBC，AD平面平面BFC，AD平行于平面平行于平面AFD與平面與平面BFC的交線的交線l. 8分分EP平面平面ABCD，EFAD，而，而ADAB，AD平面平面EAB，l平面平面EAB，課堂互動講練課堂互動講練AFB是平面是平面AFD與平面與平面BFC所成二面角的平面角，所成二面角的平面角， 10分分P是是AB中點，且中點，且FPAB，當當AFB90時，時，F(xiàn)PAP，課堂互動講練課堂互動講練1空間的垂直關系有直線與直線空間的垂直關系有直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直它們之間存在相互轉(zhuǎn)化關系：直它們之間存在相互轉(zhuǎn)化關系：規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結2當有面面垂直時，一般是在當有面面垂直時，一般是在一個面內(nèi)找一個面內(nèi)找(作作)交線的垂線，則直線交線的垂線，則直線垂直于面；在證面面垂直時，一般可垂直于面；在證面面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線尋找平面的垂線；在先從現(xiàn)有的直線尋找平面的垂線；在證面面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直證面面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線尋找平面的垂線，若沒有，可作輔線尋找平面的垂線，若沒有，可作輔助線解決助線解決規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結3注意掌握以下幾個相似結論注意掌握以下幾個相似結論(1)垂直于同一平面的兩條直線平行垂直于同一平面的兩條直線平行(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行垂直于同一條直線的兩個平面平行(3)垂直于同一個平面的兩個平面平行或垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交相交(4)垂直于同一條直線的兩條直線平行、垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或者異面相交或者異面規(guī)律方法總結規(guī)律方法總結隨堂即時鞏固隨堂即時鞏固課時活頁訓練課時活頁訓練