《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以 X 表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y 表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫(xiě)出 X 和 Y 的聯(lián)合分布律.【解】 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表：X0123Y10C131113C3211 13/ 80122282221111300822282.盒子里裝有3 只黑球、 2 只紅球、 2 只白球，在其中任取4只球，以 X 表示取到黑球的只數(shù)，以 Y 表示取到紅球的只數(shù).求 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 .【解】 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表：X0123Y000C32 C223C33 C122C7435C743510C13 C12 C226C32 C12 C1212C33 C122C7435C7435C74352P(0黑,2 紅,2 白)=C13 C22 C126C32 C2230C22 C22 / C741C7435C7435353.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（ x， y） =sin x sin y,0x2,0y 20,其他 .求二維隨機(jī)變量（X， Y）在長(zhǎng)方形域0x, y 內(nèi)的概率 .463【解】 如圖 P0 X Y4,公式 (3.2)63 F ( F (, ),)F (0,) F(0,)434636sinsinsin sin6sin 0 sinsin 0 sin434362 (31).4題 3 圖說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度Ae (3x 4 y) ,x0, y0,f （x， y） =0,其他 .求：（ 1） 常數(shù) A；（ 2） 隨機(jī)變量（ X，Y）的分布函數(shù)；（ 3） P0 X<1， 0Y<2.【解】（ 1） 由f ( x, y)dxdyAe-(3 x 4y )dxdyA10012得A=12（ 2） 由定義，有yxF ( x, y)f (u, v)dudvyy(3 u 4v)dudv (1 e3x )(1 e 4 y ) y0, x 0,012e00,其他0,(3) P0 X 1,0 Y 2P0 X1,0 Y212(3 x 4 y )dxdy(1e 3 )(1e 8 )0.9499.012e05.設(shè)隨機(jī)變量（ X，Y）的概率密度為f（ x， y） =k (6x y),0x 2, 2 y 4,0,其他 .（ 1） 確定常數(shù) k；（ 2） 求 P X1，Y3 ；（ 3） 求 P X<1.5 ；（ 4） 求 P X+Y4.【解】（ 1） 由性質(zhì)有f ( x, y)dxdy24x y)dydx 8k 1,0k(62故1R8（2） P X1,Y313f ( x, y)dydx13 1x3k(6y)dydx02 88(3)P X1.5f (x, y)dxdy如圖 a f ( x, y)dxdyx 1.5D11.54 1y)dy27dx(6 x.02832(4)P XY4f ( x, y)dxdy如圖 bf ( x, y)dxdyXY424xdx02D21(6 x y)d y2 .83題 5 圖6.設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X 在（ 0，0.2）上服從均勻分布，Y 的密度函數(shù)為5e 5 y,y 0,fY（ y） =其他 .0,求：（ 1） X 與 Y 的聯(lián)合分布密度； （ 2） P YX.題 6 圖【解】（ 1） 因 X 在（ 0， 0.2）上服從均勻分布，所以X 的密度函數(shù)為1 , 0x 0.2,f X ( x)0.20,其他 .而fY ( y)5e 5 y ,y0,0,其他 .所以f (x ,yX) Y,獨(dú)立 f Xx( f)Yy ()15e5 y25e5 y,0x且y0,0.20.20,其他 .0,(2) P(YX )f ( x, y)dxdy如圖25e 5 ydxdyy xD0.2x0.2( 5e 5x5)dx0dx25e-5ydy00=e-10.3679.7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F （ x， y） =(1e 4 x )(1e 2 y ),x0, y0,0,其他 .求（ X， Y）的聯(lián)合分布密度 .【解】 f (x, y)2 F ( x, y)8e (4 x2 y) ,x0, y0,x y0,其他 .8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的概率密度為f（ x，y） =4.8y(2x),0x1,0yx,0,其他 .求邊緣概率密度.【解】 f X ( x)f ( x, y)d yx4.8y(2x)dy2.4x2 (2x),0x1,= 00,0,其他 .fY ( y)f ( x, y) dx12. 4y ( 3 y4 y2) , y01 ,=4. 8y ( 2x x) dy0,0 ,其他 .題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的概率密度為e y ,0xy,f（x， y） =0,其他 .求邊緣概率密度.【解】 f X ( x)f ( x, y)d y=e ydye x,x0,x0,其他.0,fY ( y)f (x, y)d xyydxye x ,y0,=e00,其他.0,題 10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的概率密度為cx2 y,x2y 1,f（ x，y） =其他 .0,（ 1） 試確定常數(shù) c；（ 2） 求邊緣概率密度 .【解】（ 1）f ( x, y)d xdy如圖f (x, y)dxdyD114 c 1.= dxx2 cx2 ydy-12121得.c4(2)f X ( x)f ( x, y)dy221 x2 ydy21x2 (1x4 ),1 x 1,1x480,0,其他.fY ( y)f ( x, y)dxy21 x2 ydx7 y52 ,0 y1,0,y420,其他.11.設(shè)隨機(jī)變量（ X，Y）的概率密度為1, y x, 0x 1,f（ x， y）=其他 .0,求條件概率密度f(wàn)Y X（ y x）， fXY（ x y） .題 11圖【解】 f X ( x)f ( x, y)d yx1dy2x, 0 x 1,x0,其他 .11y,1y0,1dxyfY ( y)f ( x, y)dx11y,0y1,1dxy0,其他 .所以f ( x, y)1| y | x 1,fY |X ( y | x)2 xfX (x)0,其他 .1,y x 1,1yf ( x, y)1,y x 1,f X |Y (x | y)1fY ( y)y0,其他 .12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1， 2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為 Y.（ 1） 求 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布；（ 2） X 與 Y 是否相互獨(dú)立？【解】（ 1） X 與 Y 的聯(lián)合分布律如下表Y345P X xi X1112233610C5310C5310C5310201122310C 5310C531030011110C5210P Yyi136101010(2)因PX1PY61611,Y3,310100P X1010故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X， Y）的聯(lián)合分布律為X258Y0.40.150.300.350.80.050.120.03（ 1）求關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布；（ 2） X 與 Y 是否相互獨(dú)立？【解】（ 1） X 和 Y 的邊緣分布如下表X258P Y=yi Y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38P Xxi (2) 因 P X 2 PY0.40.20.8 0.160.15P( X2, Y0.4),故X與Y不獨(dú)立14.設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X 在（ 0，1）上服從均勻分布，Y 的概率密度為f Y（y） =1 e y / 2 ,y 0,2其他.0,（ 1）求 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度；（ 2） 設(shè)含有 a 的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求 a 有實(shí)根的概率 .y1,0x 1,f Y ( y)1 e 2,y 1,【解】（ 1） 因 f X ( x)其他 ;20,0,其他 .故 f ( x, y) X ,Y獨(dú)立 f X (x) fY ( y)1 e y / 20x1, y0,20,其他 .題14圖(2) 方程a22XaY0 有實(shí)根的條件是(2X )24Y0故X2 Y，從而方程有實(shí)根的概率為：P X2Yf ( x, y)d xdyx2y1x21ey/ 2dydx20012(1)(0)0.1445.15.設(shè) X 和 Y 分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（ x）=1000 ,x1000,x20,其他 .求 Z=X/Y 的概率密度 .【解】 如圖 ,Z 的分布函數(shù)FZ() XzP ZzPzY(1) 當(dāng) z0時(shí)， FZ (z)0（ 2） 當(dāng) 0<z<1 時(shí)，（這時(shí)當(dāng) x=1000 時(shí) ,y= 1000 ） (如圖 a)zFZ (z)1062 dxdy103 dyyz1062 dxx2y3x2yxz10yz= 103103106zy23dyzzy2題 15圖(3) 當(dāng) z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng) y=10 3 時(shí)， x=10 3z）（如圖 b）FZ (z)106dxdy3 dyzy1062 dxx x2y23x2yy1010z=103106dy1132310yzy2z11 ,z1,2z即fZ ( z)z ,0z1,20,其他 .1,z1,2z2故f Z ( z)1 ,0z 1,20,其他 .16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命 （以小時(shí)計(jì)）近似地服從 N（ 160，202）分布 .隨機(jī)地選取 4 只，求其中沒(méi)有一只壽命小于 180 的概率 .【解】 設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4) ，則 XiN（ 160， 202），從而Pmin( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) 180 Xi 之間獨(dú)立 P X1 180 P X 2 180P X3180 P X 4 1801P X180 1PX 180P 1X1 8P0 X 1180 123441P X1180 41180160201(1)4(0.158) 40.00063.17.設(shè) X，Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P X=k= p（ k）， k=0， 1， 2， ，P Y=r= q（ r）， r =0，1， 2， .證明隨機(jī)變量Z=X+Y 的分布律為iP Z=i=p(k)q(ik)，i=0 ，1， 2， .k0【證明】因 X和所以Y 所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， Zi XYi X0,Yi X1, Yi1 Xi, Y0于是iiP ZiP Xk, Yik X ,Y相互獨(dú)立P Xk P Yikk0k0ip(k )q(ik)k018.設(shè) X，Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p 的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y 服從參數(shù)為 2n， p 的二項(xiàng)分布 .【證明】 方法一： X+Y 可能取值為0，1， 2， ， 2n.kP XYkP Xi, Ykii0kP( Xi ) P Ykii 0ki 0ki0nin ink iqn k iip qpk innpkq2n kiki2np k q2 n kk方法二：設(shè) , ， 均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為np），則1,2, ,n;,12， Y=+ + +,+ +X=1+2n12nX+Y=1+2+ +n+1+2 + +n,所以， X+Y 服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布 .19.設(shè)隨機(jī)變量（X， Y）的分布律為X012345Y000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1) 求 P X=2Y=2 ， P Y=3 X=0 ；（ 2） 求 V=max （ X， Y）的分布律；（ 3） 求 U =min （ X， Y）的分布律；（ 4） 求 W=X+Y 的分布律 .【解】（ 1） P X2 |YP X2,Y22PY2P X2,Y20.05150.25,P Xi ,Y22i0P Y3| XPY3, X00P X03P X0, Y30.011 ;P X0, Yj0.033j0（ 2） PVi Pmax( X ,Y)iP Xi ,Y iP Xi ,Y ii1iP Xi,YkP Xk,Yi,i 0 , 1, 2 , 3 , 4 ,k0k0所以 V 的分布律為V=max( X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)PUi Pmin( X ,Y )iP Xi ,YiP Xi ,Yi 35i0,1, 2,3P Xi, YkP Xk ,Yik ik i1于是U=min( X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類(lèi)似上述過(guò)程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X， Y）在屏幕上服從均勻分布 .（ 1） 求 P Y0YX；（ 2） 設(shè) M=max X， Y ，求 P M 0.題20圖【解】 因（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為1222f (x, y)R2,xyR ,0,其他 .PY0, YX （1） PY 0|Y XPYXf (x, y)dy 0 y xf (x, y)dy xR1r drdR2/ 405R1r dr4 dR2/ 403/ 831/ 2;4(2) P M 0 Pmax( X ,Y )0 1 Pmax( X ,Y) 01P X 0,Y 0 1f ( x, y)d1 13 .x 044y 021.設(shè)平面區(qū)域 D 由曲線 y=1/x 及直線 y=0， x=1,x=e2 所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域 D 上服從均勻分布，求（X， Y）關(guān)于 X 的邊緣概率密度在x=2 處的值為多少？題21圖【解】 區(qū)域 D 的面積為 S0e21 dxln x 1e22. （ X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為1xf ( x, y)1 ,1 xe2 ,0 y1 ,2x0,其他.（ X， Y）關(guān)于 X 的邊緣密度函數(shù)為1/ x 112f X ( x)dy, 1 xe ,0 22x0,其他 .所以 f X (2)1 .422.設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X 和Y 的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處 .Yy1y2y3P X=xi= piXx11/8x21/8P Y=yj = pj1/612【解】因PYyj PjP Xxi ,Yy j ,i1故 PY y1 P Xx1,Yy1P X x2 ,Y y1,從而 P X x1,Y y1111 .6824而 X與 Y獨(dú)立，故, ,P X xiP Y yjP X xiY yi從而 P X x11P X x1, Y y11 .624即： P X x11 / 11 .2464又 P Xx1 P Xx1, Yy1P Xx1 ,Yy2P Xx1,Yy3,即 11 1P X x1,Y y3,42481從而 PXx1,Yy3.1 ,123同理 P Y y2 P X x2 ,Y y2 283111PYy j 1,故 PY又y3 12.j163同理 PXx23 .4從而P X x2 , Y y3 PY y3 P X x1,Y y3 1 11 .3124故XYy1y2y3P X xi Pix11111248124x213138844P Y y j p j111162323.設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上客人數(shù)X 服從參數(shù)為(>0) 的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為 p（ 0<p<1 ），且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立，以Y 表示在中途下車(chē)的人數(shù)，求：（ 1）在發(fā)車(chē)時(shí)有 n 個(gè)乘客的條件下，中途有m 人下車(chē)的概率； （2）二維隨機(jī)變量（X， Y）的概率分布 .【解】 (1)|Cmm(1)nm,0,0,1,2, .nppP Y mX nm n n(2)P Xn, YmP Xn PYm | XnCnm pm (1 p) n m en , n m n, n 0,1,2, .n!24.設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立，其中 X 的概率分布為 X12f(y)，0.3，而 Y 的概率密度為0.7求隨機(jī)變量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】 設(shè) F（ y）是 Y 的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y 的分布函數(shù)為G (u) P X Yu 0.3P XY u | X1 0.7 P X Y u | X 20.3P Yu 1| X 1 0.7PYu2 | X2由于 X 和 Y 獨(dú)立，可見(jiàn)G (u) 0.3PYu 10.7 PYu 20.3F (u 1)0.7F (u2).由此，得 U 的概率密度為g(u)G (u)0.3F (u1)0.7 F (u2)0.3 f (u1)0.7 f (u2).25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X 與 Y 相互獨(dú)立， 且均服從區(qū)間0,3 上的均勻分布，求Pmax X,Y 1.解：因?yàn)殡S即變量服從0， 3上的均勻分布，于是有10 x3,10y3,f ( x),f ( y),330, x0, x3;0,y0, y3.因?yàn)?X，Y 相互獨(dú)立，所以10x 3,0y3,f (x, y),90,x 0, y0, x3, y3.推得Pmax X ,Y11.926. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率分布為X101Y1a00.200.1b0.2100.1c其中 a,b,c 為常數(shù)，且X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)=0.2,P Y0|X0=0.5，記 Z=X+Y.求：（ 1） a,b,c 的值；（ 2） Z 的概率分布；（ 3） P X=Z.解(1) 由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c +0.6=1即a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ，可得ac0.1 .再由P X0, Y0ab0.1PY 0X 0ab0.5 ,PX 00.5得a b0.3 .解以上關(guān)于 a，b，c 的三個(gè)方程得a 0.2,b 0.1,c 0.1 .(2) Z 的可能取值為 2， 1， 0， 1， 2，PZ2P X1,Y1 0.2，P Z1P X1,Y0 PX0, Y10.1 ，P Z0 PX1, Y1P X0, Y0P X1, Y10.3 ，P Z1P X1,Y0P X0, Y10.3，P Z2P X1,Y10.1，即 Z 的概率分布為Z21012P0.20.10.30.30.1(3)P XZPY0 0.1b0.20.10.10.20.4.