高中數(shù)學(xué) 本章歸納整合二課件 蘇教版選修22

本章歸納整合 知識網(wǎng)絡(luò) 要點歸納(一)合情推理與演繹推理1歸納推理 (1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理顯然歸納的個別情況越多，越具有代表性，推廣的一般性命題也就越可靠，應(yīng)用歸納推理可以獲得新的結(jié)論2類比推理 (1)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理類比推理是由特殊到特殊的推理類比的結(jié)論不一定為真，在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似性之間越相關(guān)，那么類比得到的結(jié)論也就越可靠(2)歸納推理的一般步驟：通過觀察一系列情形發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)從已知的相同的性質(zhì)中推出一般性命題(2)類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的結(jié)論注：歸納推理與類比推理都屬于合情推理，兩種推理所得的結(jié)論未必是正確的，但它們對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實卻是十分有用的3演繹推理 (1)從一個一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法叫做演繹推理，它是一種由一般到特殊的推理過程，是一種必然性推理演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系，因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但是錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論 (2)“三段論”推理是演繹推理的一般模式，它包括：大前提：已知的一般性推理小前提：所研究的特殊情況結(jié)論：根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷4合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別：從定義上可以看出，合情推理與演繹推理的區(qū)別是結(jié)論是否為真合情推理的結(jié)論可能為真，但演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，其結(jié)論必定為真故在數(shù)學(xué)論證中，證明命題的正確性，都是用演繹推理，而合情推理不能用作證明從推理形式上看：合情推理是由特殊到一般(歸納推理)，或由特殊到特殊(類比推理)的認(rèn)識過程，而演繹推理是由一般到特殊的認(rèn)識過程(2)聯(lián)系：二者相輔相成，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理（二）直接證明與間接證明1綜合法 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： 2分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸納為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)這種證明的方法叫做分析法用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：分析法的特點：從“未知”看“需知”，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找它成立的充分條件3反證法 (1)定義：一般地，假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法 (2)用反證法導(dǎo)出的矛盾主要有：與假設(shè)矛盾；與數(shù)學(xué)公理、定理、定義、公式或與已被證明了的結(jié)論矛盾；與公認(rèn)的簡單事實矛盾 (3)步驟：分清命題的條件和結(jié)論；作出命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；否定假設(shè)，從而間接的證明了結(jié)論4三種證明方法的總結(jié) 在解決問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立在證明一個問題時，如果不容易從條件到結(jié)論證明時，采取分析的方法或者是間接證明的方法反證法有時證明一道題需多法并用(三)數(shù)學(xué)歸納法1用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟相輔相成，缺一不可盡管有些與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以解決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行，否則是不正確的2用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟的作用 第一步是驗證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可步驟一是要選取使命題成立的最小的正整數(shù)n0作為起始值進(jìn)行驗證；步驟二推證當(dāng)nk1時命題成立的過程中，必須要用到當(dāng)nk時命題成立這個歸納假設(shè)，否則推理無法進(jìn)行或推理無效完成了以上兩個步驟，最后應(yīng)完整地寫出結(jié)論(四)歸納、猜想、證明 探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題它的解題思路是：從給出條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明. 專題一合情推理與演繹推理數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動是一個探索創(chuàng)造的過程，是一個不斷提出猜想、驗證猜想的過程合情推理是富于創(chuàng)造性的必然推理，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的作用；演繹推理是形式化程度較高的必然推理，它具有實驗的功能，不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想做出判斷和證明研究近三年的高考題，可以發(fā)現(xiàn)，考查合情推理和演繹推理多借助于其他數(shù)學(xué)知識，通過類比、猜想、歸納，或用三段論式的推理，得出某些結(jié)論，在選擇題和解答題中有明顯體現(xiàn)運用合情推理時，要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗證【例1】 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖所示的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是_解析在進(jìn)行類比推理時，應(yīng)該注意平面圖形中的點、線分別與空間圖形中的線、面類比；平面圖形的長度、面積分別與空間圖形中的面積、體積類比，結(jié)論易得答案SSSS【例2】 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為()A2 0072 B2 0082C2 0062 007 D2 0072 008解析經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點：第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個數(shù)為n2；第一行第n個數(shù)為(n1)21；第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1；第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)，應(yīng)是第2 008列的第2 007個數(shù)，即為(2 0081)212 0062 0072 008.答案D點撥根據(jù)立體幾何中平行與垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理，通過做出適當(dāng)?shù)妮o助線即可求解(2)連結(jié)FG.因為EFCG，EFCG1，且CE1，所以四邊形CEFG為菱形，所以CFEG.因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC.又因為平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.專題二直接證明由近三年的高考題可以看出，直接證明的考查中，各種題型均有體現(xiàn)，尤其是解答題，幾年來一直是考查證明方法的熱點與重點綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式如果從解題的切入點的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用 已知a，b，c為互不相等的實數(shù)，求證：a4b4c4abc(abc)證明a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42a2c2.又a，b，c互不相等，上面三式中至少有一個式子不能取“”號，a4b4c4a2b2b2c2c2a2 a2b22ab，a2c2b2c22abc2，同理a2b2a2c22a2bc，b2c2b2a22ab2c，a2b2b2c2c2a2abc2a2bcab2c 由，得a4b4c4abc(abc)【例4】【例6】 ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求證(ab)1(bc)13(abc)1.專題三反證法如果一個命題的結(jié)論難以直接證明時，可以考慮反證法通過否定結(jié)論，經(jīng)過邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題專題四數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時，首先要明確不完全歸納和完全歸納的作用、區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)歸納法事實上是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問題兩個步驟缺一不可，否則結(jié)論不成立；在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類問題未給出問題的結(jié)論，需要由特殊情況入手、猜想、證明一般結(jié)論，它的解題思路是：從給出條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明(2)由(1)知a11，a26，a315，a428，由此猜想ann(2n1)下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n1時，a11(211)1，結(jié)論成立當(dāng)n2時，a22(221)6，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時，結(jié)論成立即akk(2k1)，命題趨勢1合情推理與演繹推理是科學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的兩個重要的方面，它們相輔相成，互為補(bǔ)充，對于問題的發(fā)現(xiàn)與解決起到了舉足輕重的作用同時，推理又是數(shù)學(xué)思維的基本思維過程，而數(shù)學(xué)課程一個重要的目標(biāo)是培養(yǎng)和提高考生的推理能力，因此，合情推理與演繹推理在新課標(biāo)高考中占有重要的地位，是新課標(biāo)高考的重要內(nèi)容之一，其主要要求是：會用歸納和類比推理解決簡單的問題，靈活運用演繹推理證明數(shù)學(xué)中各個方面的問題從近年來的新課標(biāo)高考看，新課標(biāo)高考對本部分的考查，直接涉及的多為小題，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，而其他主要是滲透到數(shù)學(xué)問題的求解之中因此，對本部分知識的復(fù)習(xí)，要注意做好以下兩點：一要熟悉歸納推理、類比推理、演繹推理的一般原理、步驟、格式，搞清合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別；二要把握歸納推理、類比推理、演繹推理的基本應(yīng)用，在給定的條件下，能夠運用歸納推理、類比推理獲得新的一般結(jié)論，能夠運用演繹推理對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行嚴(yán)格的證明2直接證明與間接證明是解決數(shù)學(xué)證明問題的兩種重要的思想與方法，是數(shù)學(xué)證明題的核心，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容從近三年的新課標(biāo)高考看，高考對本部分考查的難度多為中檔題，也有高檔題，其相關(guān)知識常常涉及數(shù)學(xué)的各個方面，主要是不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等在備考中，對本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧，有效運用它們的目的3數(shù)學(xué)歸納法是解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題證明的一種方法，是高考常考的一個重要內(nèi)容 從近三年的新課標(biāo)高考看，對本部分的考查常常在解答題中進(jìn)行，且多為解答題中的某一個小問，但考查問題多涉及數(shù)列、不等式、整除問題以及幾何問題等，范圍廣因此，備考中，我們要做好以下幾點：其一，要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系；其二，要把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步間的區(qū)別聯(lián)系；其三，要熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧，并在證明的過程中注意使用1 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時，fn(x)ffn1(x)_.2(2010湖南高考)若數(shù)列an滿足：對任意的nN*，只有有限個正整數(shù)m使得amn成立，記這樣的m的個數(shù)為(an)*，則得到一個新數(shù)列(an)*例如，若數(shù)列an是1,2,3，n，則數(shù)列(an)*是0,1,2，n1，.已知對任意的nN*，ann2，則(a5)*_，(an)*)*_.答案2n2 4(2010重慶高考)在數(shù)列an中，a11，an1cancn1(2n1)(nN*)，其中實數(shù)c0. (1)求an的通項公式； (2)若對一切kN*有a2ka2k1，求c的取值范圍解(1)法一由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，猜測an(n21)cncn1，nN*.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，等式成立，即ak(k21)ckck1，則當(dāng)nk1時，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck，由可知，an(n21)cncn1對任意nN*都成立數(shù)列an的通項公式為an(n21)cncn1.(2)由a2ka2k1，得：(2k)21c2kc2k1(2k1)21c2k1c2k2，c2k20，4(c2c)k24ckc2c10對kN*恒成立，記f(x)4(c2c)x24cxc2c1，下面分三種情況討論