高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第五節(jié) 幾何概型課件 理

理數(shù)課標(biāo)版第五節(jié)幾何概型1.幾何概型的定義幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型.教材研讀教材研讀2.幾何概型的特點(diǎn)幾何概型的特點(diǎn)(1)無(wú)限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).(2)等可能性:試驗(yàn)結(jié)果在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布.3.幾何概型的概率公式幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構(gòu)成事件 的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x-1,4,則f(x)為增函數(shù)的概率為()A.B.C.D.15253545考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案 Cf(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,x-1,4,f(x)在1,4上是增函數(shù).f(x)為增函數(shù)的概率為P=.4 14( 1) 352.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.B.C.D.答案答案 B概率為P=.故選B.2468SS半圓矩形21122 143.(2016課標(biāo)全國(guó),8,5分)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.答案答案 B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口,即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=,故選B.71058383102540584.如圖所示,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為,則陰影區(qū)域的面積為.答案答案解析解析設(shè)陰影區(qū)域的面積為S,則由題意知=,所以S=.23834S23835.在長(zhǎng)為3m的線段AB上任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與線段AB兩端點(diǎn)的距離都大于1m的概率等于.答案答案 解析解析將線段AB平均分成3段,如圖.設(shè)中間的兩點(diǎn)分別為C,D,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上(不包括兩端點(diǎn))時(shí),符合題意,線段CD的長(zhǎng)度為1m,所求概率P=.1313考點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型典例典例1(1)(2015重慶,15,5分)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根的概率為;(2)(2016山東,14,5分)在-1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.答案答案(1)(2)解析解析(1)要使方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根,必有解得p1或p2,2334241280,20,320,pppp23考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破結(jié)合p0,5得p2,5,2,13故所求概率為=.(2)直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件為3,解之得-k2,解得k2,又k-3,3,所以k-3,0)(2,3,故所求概率P=.121323344623考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型典例典例2(1)(2016黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)已知線段AB的長(zhǎng)為10,在線段AB上隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)C、D,則CD2的概率為()A.B.C.D.(2)(2016課標(biāo)全國(guó),10,5分)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A.B.C.D.答案答案(1)D(2)C解析解析(1)設(shè)CA=x,DA=y,則x,y0,10,CD=|CA-DA|=|x-y|.254542516254nm2nm4mn2mn由題意知點(diǎn)(x,y)形成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為10的正方形及其內(nèi)部,其面積為S=1010,而滿足CD2的區(qū)域如圖中陰影部分所示,其面積為S1=288=64,則CD2的概率為P=.12641001625(2)如圖,數(shù)對(duì)(xi,yi)(i=1,2,n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界),兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi),則由幾何概型的概率公式可得=.故選C.mn21414mn方法技巧方法技巧與面積有關(guān)的幾何概型問題的求解策略求解與面積有關(guān)的幾何概型問題的關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)要根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,進(jìn)而求解.2-1(2016安徽江淮十校第一次聯(lián)考)設(shè)不等式組所表示的區(qū)域?yàn)镸,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)镹,向M內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)落在N內(nèi)的概率為()A.B.C.D.2,2,0 xyxyy 21x24816答案答案 B如圖,不等式組表示的區(qū)域?yàn)锳BC及其內(nèi)部,函數(shù)y=的圖象與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?易知區(qū)域M的面積為2,區(qū)域N的面積為,由幾何概型的概率公式知所求概率為=.2,2,0 xyxyy 21x22242-2 (2015福建,13,4分)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.答案答案解析解析由題圖可知S陰影=S矩形ABCD-x2dx=14-=4-=,則所求事件的概率P=.5122133x21813353ABCDSS陰影矩形534512考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型典例典例3(1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.B.1-C.D.1-(2)已知正棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4,高為3,在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得VP-ABCVS-ABC的概率為()A.B.C.D.1212661234781214答案答案(1)B(2)B解析解析(1)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球的外部.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A,則P(A)=1-.(2)如圖,由題意知,當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí),滿足VP-ABCVS-ABC,故使得VP-ABCVS-ABC的概率P=1-=.333142123212121231278方法技巧方法技巧與體積有關(guān)的幾何概型問題求法的關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對(duì)于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對(duì)立事件去求.3-1(2017沈陽(yáng)二十中月考)一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔,則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為()A.B.C.D.答案答案 D因?yàn)閂F-AMCD=S四邊形AMCDDF=a3,VADF-BCE=a3,34231312131412所以蝴蝶飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為=.331412aa12