高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文

文數(shù)課標(biāo)版第四節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)對(duì)h(x)求導(dǎo).(4)利用h(x)判斷h(x)的單調(diào)性或最值.教材研讀教材研讀(5)下結(jié)論.2.一元三次方程根的個(gè)數(shù)問題一元三次方程根的個(gè)數(shù)問題令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f (x)=3ax2+2bx+c.方程f (x)=0的判別式=(2b)2-12ac,(1)當(dāng)0,即b23ac時(shí), f (x)0恒成立, f(x)在R上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象知,方程f(x)=0有唯一 一個(gè)實(shí)根.(2)當(dāng)0,即b23ac時(shí),方程f (x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)為x1,x2(x1m).a.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有一 個(gè)實(shí)根;b.當(dāng)m=0時(shí),方程f(x)=0有兩 個(gè)實(shí)根;c.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有三 個(gè)實(shí)根;d.當(dāng)M=0時(shí),方程f(x)=0有兩 個(gè)實(shí)根;e.當(dāng)M0時(shí),方程f(x)=0有一 個(gè)實(shí)根.3.生活中的利潤最大、用料最省、效率最高等問題我們稱之為優(yōu)化問題.導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具,用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路:(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0,確定極值點(diǎn);(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值和在極值點(diǎn)的值的大小,最大(小)值為函數(shù)的最大(小)值;(4)還原到實(shí)際問題中作答. 1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A.13萬件 B.11萬件C.9萬件 D.7萬件答案答案 C y=-x2+81.令y=0,得x=9或x=-9(舍去).當(dāng)0 x0,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x9時(shí),y0,函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=9時(shí),y取最大值.132.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,4,部分對(duì)應(yīng)值如下表, f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示.當(dāng)1a2時(shí),函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5x-10234f(x)12020答案答案 C根據(jù)已知條件可還原出函數(shù)f(x)在定義域-1,4內(nèi)的大致圖象.函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線y=a與曲線y=f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)?a3,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案答案 B設(shè)f(x)=x3-ax2+1,則f (x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a3,則在(0,2)上f (x)0, f(2)=9-4a0, 即x(0,1時(shí), f(x)=ax3-3x+10可化為a-.設(shè)g(x)=-,則g(x)=,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g=4,從而a4.當(dāng)x0,即x-1,0)時(shí),a-.同理可求得a4,綜上,可知a=4.23x31x23x31x43(12 ) xx10,21,121223x31x考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題和存在性問題考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題和存在性問題命題角度一恒成立問題命題角度一恒成立問題典例典例1 (2016陜西西北九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-ln x+t(x-1),t為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)t=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)t=時(shí),-f(x)0,f (x)=-+1=.由f (x)0可得0 x0可得x1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+).12kx121x1xx考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破(2)當(dāng)t=時(shí), f(x)=-ln x+-,則-f(x)=-=ln x-+,當(dāng)x1時(shí),-f(x)0恒成立等價(jià)于k1,則g(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x,x1.令h(x)=x-1-ln x,x1,則h(x)=1-=,x1.當(dāng)x1時(shí),h(x)0,函數(shù)h(x)=x-1-ln x在(1,+)上單調(diào)遞增,故h(x)h(1)=0,從而當(dāng)x1時(shí),g(x)0,即函數(shù)g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,故g(x)g(1)=,實(shí)數(shù)k的取值范圍是.122x 12kx12kx121ln22xx2xkxkx1222x22x1x1xx121,21-1 (2016湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)滿足g(x)=g(1)ex-1-g(0)x+x2,且存在實(shí)數(shù)x0使得不等式2m-1g(x0)成立,則m的取值范圍為()A.(-,2 B.(-,3 C.1,+) D.0,+)答案答案 C g(x)=g(1)ex-1-g(0)+x,當(dāng)x=1時(shí),g(0)=1,由g(0)=g(1)e0-1,解得g(1)=e,所以g(x)=ex-x+x2,則g(x)=ex-1+x,當(dāng)x0時(shí),g(x)0時(shí),g(x)0,所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值g(0)=1,根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為2m-1g(x)min=1,所以m1,故選C.1212典例典例2已知函數(shù)f(x)=x-(a+1)ln x-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)當(dāng)x1,e時(shí),求f(x)的最小值;(2)當(dāng)a1時(shí),若存在x1e,e2,使得對(duì)任意的x2-2,0, f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范圍.解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=.當(dāng)a1時(shí),x1,e, f (x)0,f(x)為增函數(shù),所以f(x)min=f(1)=1-a.當(dāng)1ae時(shí),x1,a時(shí), f (x)0, f(x)為減函數(shù);xa,e時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù).ax122(1)()xxax命題角度二存在性問題命題角度二存在性問題所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.當(dāng)ae時(shí),x1,e時(shí), f (x)0,f(x)在1,e上為減函數(shù),所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.綜上,當(dāng)a1時(shí), f(x)min=1-a;當(dāng)1ae時(shí), f(x)min=a-(a+1)ln a-1;當(dāng)ae時(shí), f(x)min=e-(a+1)-.(2)由題意知f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.當(dāng)a1時(shí),由(1)知f(x)在e,e2上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.eaeaea由題意知g(x)=(1-ex)x.當(dāng)x-2,0時(shí),g(x)0,g(x)為減函數(shù),g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-,所以a的取值范圍為.ea2e2ee 12e2e,1e1易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系,即f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立,應(yīng)求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)的最大值.在具體問題中究竟是求最大值還是最小值,可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值,這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問題是求最大值還是最小值.特別需要關(guān)注等號(hào)是否成立問題,以免細(xì)節(jié)出錯(cuò).考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例典例3 (2016課標(biāo)全國,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)x(1,+)時(shí),11,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.解析解析(1)由題設(shè)知, f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.當(dāng)0 x0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減.(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x1時(shí),ln xx-1.1lnxx1x故當(dāng)x(1,+)時(shí),ln xx-1,ln-1,即11,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,則g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=.當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xx0時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.由(2)知1c,故0 x01.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0 x0.所以當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.1x1x1lnxx1lnlnlnccc1lncc方法技巧方法技巧若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí),若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,當(dāng)x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).2-1 (2016安徽合肥二模)已知函數(shù)f(x)=.(1)若f(x)在區(qū)間(-,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a=0,x01,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f(x)g(x).解析解析(1)易得f (x)=-,由已知可知f (x)0對(duì)x(-,2)恒成立,1-a2,a-1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-1.(2)證明:a=0,則f(x)=,故f (x)=.函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f (x0)(x-x0)+f(x0).exxa(1)exxaexx1exx令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f (x0)(x-x0)-f(x0),xR,則h(x)=f (x)-f (x0)=-=.設(shè)(x)=(1-x)-(1-x0)ex,則(x)=-(1-x0)ex,x01,(x)0,(x)在R上單調(diào)遞減,而(x0)=0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),(x)0,當(dāng)x0,當(dāng)xx0時(shí),h(x)0,h(x)在區(qū)間(-,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+)上為減函數(shù),xR時(shí),h(x)h(x0)=0,f(x)g(x).1exx001exx000(1)e(1)eexxx xxx0ex0ex考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題典例典例4 (2016課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解析解析(1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a0,則當(dāng)x(-,1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.(ii)設(shè)a-,則ln(-2a)0;當(dāng)xe2e2(ln(-2a),1)時(shí), f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)上單調(diào)遞減.若a1,故當(dāng)x(-,1)(ln(-2a),+)時(shí), f (x)0;當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí), f (x)0,則由(1)知, f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b滿足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).e22a2a232bb(iii)設(shè)a0,若a-,則由(1)知, f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn);若a-,則由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x1時(shí)f(x)0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,+).e2e2方法技巧方法技巧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法:方法一:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象;(3)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).方法二:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)分類討論,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3-1 (2014課標(biāo),21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.(1)求a;(2)證明:當(dāng)k0.當(dāng)x0時(shí),g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-10時(shí),令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)上沒有實(shí)根.綜上,g(x)=0在R上有唯一實(shí)根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)四用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題考點(diǎn)四用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題典例典例5 (2016云南玉溪一中月考)時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式為y=+4(x-6)2,其中2x6,m 為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值;(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(精確到0.1)2mx解析解析(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,所以+16=21,解得m=10.(2)設(shè)每日銷售套題所獲得的利潤為f(x)元.由(1)可知,套題每日的銷售量y=+4(x-6)2.2m102x所以f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),2104(6)2xx從而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上, f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.103102,310,63103103規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f (x)=0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值;(4)回歸實(shí)際問題,結(jié)合實(shí)際問題作答.4-1某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2t5).設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25x40),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,銷售量q千克與ex成反比,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí),日銷售量為100千克.(1)求該工廠的每日利潤y元與每千克蘑菇的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式;(2)若t=5,當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)x為多少時(shí),該工廠的每日利潤y最大?并求最大值.解析解析(1)設(shè)q=(k0),則=100,所以k=100e30,所以q=,所以y=(25x40,2t5).exk30ek30100eex30100e (20)exxt(2)由題意知y=,則y=.由y0得25x26,由y0,得26x40,所以y在區(qū)間25,26上單調(diào)遞增,在區(qū)間26,40上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=26時(shí),ymax=100e4,即當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為26元時(shí),該工廠的每日利潤最大,最大值為100e4元.30100e (25)exx30100e (26)exx