高三數(shù)學二輪復習 第二篇 數(shù)學思想 2.2 數(shù)形結(jié)合思想課件 理 新人教版

第二講數(shù)形結(jié)合思想 【思想解讀【思想解讀】數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想問題的思想. .其應用包括以下兩個方面其應用包括以下兩個方面: :(1)“(1)“以形助數(shù)以形助數(shù)”, ,把某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生把某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化動化, ,能夠變抽象思維為形象思維能夠變抽象思維為形象思維. .(2)“(2)“以數(shù)定形以數(shù)定形”, ,把直觀圖形數(shù)量化把直觀圖形數(shù)量化, ,使形更加精確使形更加精確. .熱點熱點1 1利用數(shù)形結(jié)合思想研究零點、方程的根利用數(shù)形結(jié)合思想研究零點、方程的根【典例【典例1 1】(2016(2016大連一模大連一模) )函數(shù)函數(shù)f(xf(x)= )= -2sinx-|ln(x+1)|-2sinx-|ln(x+1)|的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42x4coscos(x)22【解析【解析】選選B.B.因為因為f(xf(x)= -2sinx-|ln(x+1)|)= -2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|，所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )的零點個數(shù)為函數(shù)的零點個數(shù)為函數(shù)y=sin2xy=sin2x與與y=|ln(x+1)|y=|ln(x+1)|圖象的交點的個數(shù)圖象的交點的個數(shù). . 2x4coscos(x)22函數(shù)函數(shù)y=sin2xy=sin2x與與y=|ln(x+1)|y=|ln(x+1)|的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，由圖知，兩函數(shù)圖象有由圖知，兩函數(shù)圖象有2 2個交點，個交點，所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )有有2 2個零點個零點. .【規(guī)律方法【規(guī)律方法】利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題的關(guān)注利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題的關(guān)注點點(1)(1)討論方程的解討論方程的解( (或函數(shù)的零點或函數(shù)的零點) )一般可構(gòu)造兩個函數(shù)一般可構(gòu)造兩個函數(shù), ,使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題, ,但用此法討論方但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性程的解一定要注意圖象的準確性、全面性, ,否則會得到否則會得到錯解錯解. .(2)(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵, ,數(shù)形結(jié)合應以快和準為原則數(shù)形結(jié)合應以快和準為原則, ,不要刻意去用數(shù)形結(jié)合不要刻意去用數(shù)形結(jié)合. .【變式訓練【變式訓練】(2016(2016洛陽一模洛陽一模) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(xf(x)=2f ,)=2f ,當當x1,3x1,3時時,f(x)=lnx,f(x)=lnx, ,若在區(qū)間若在區(qū)間 內(nèi)內(nèi), ,函數(shù)函數(shù)g(x)=f(xg(x)=f(x)-ax)-ax與與x x軸有三個不同的交點軸有三個不同的交點, ,則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍為的取值范圍為_._.1( )x133，【解析【解析】由題意知由題意知,f(x,f(x)= )= 因為在區(qū)間因為在區(qū)間 內(nèi)內(nèi), ,函數(shù)函數(shù)g(x)=f(xg(x)=f(x)-ax)-ax與與x x軸有三個不軸有三個不同的交點同的交點, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x)= )= 與與y=axy=ax在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有三個不同的交點三個不同的交點, ,ln x,x1,3 ,12ln x,x ,1)3，133，133，ln x,x1,3 ,12ln x,x ,1)3，作函數(shù)作函數(shù)f(xf(x)= )= 與與y=axy=ax在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的內(nèi)的圖象如圖圖象如圖, ,ln x,x1,3 ,12ln x,x ,1)3，133，結(jié)合圖象可知結(jié)合圖象可知, ,當直線當直線y=axy=ax與與f(x)=lnxf(x)=lnx相切時相切時, , 解得解得,x=e;,x=e;此時此時a= a= 當直線當直線y=axy=ax過點過點(3,ln3)(3,ln3)時時, , 答案答案: : ln x1,xx1;eln 3ln 31a;a.33e故ln 3 1, )3e熱點熱點2 2利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題【典例【典例2 2】(2016(2016重慶一模重慶一模) )過點過點( ,0)( ,0)引直線引直線l與與曲線曲線y= y= 相交于相交于A,BA,B兩點兩點,O,O為坐標原點為坐標原點, ,當當AOBAOB的的面積取最大值時面積取最大值時, ,直線直線l的斜率等于的斜率等于( () )221x333A. B C D3333【解析【解析】選選B.B.由于由于y= ,y= ,即即x x2 2+y+y2 2=1(y0),=1(y0),直線直線l與與x x2 2+y+y2 2=1(y0)=1(y0)交于交于A,BA,B兩點兩點, ,如圖所示如圖所示21xS SAOBAOB= = sinAOBsinAOB , ,且當且當AOB=90AOB=90時時,S,SAOBAOB取得取得最大值最大值, ,此時此時AB= ,AB= ,點點O O到直線到直線l的距離為的距離為 , ,則則OCB=30OCB=30, ,所以直線所以直線l的傾斜角為的傾斜角為150150, ,則斜率則斜率為為- .- .121223322【規(guī)律方法【規(guī)律方法】利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題的一般利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題的一般思路思路(1)(1)對于幾何圖形中的動態(tài)問題對于幾何圖形中的動態(tài)問題, ,應分析各個變量的變應分析各個變量的變化過程化過程, ,找出其中的相互關(guān)系求解找出其中的相互關(guān)系求解. .(2)(2)對于求最大值、最小值問題對于求最大值、最小值問題, ,先分析所涉及知識先分析所涉及知識, ,然然后畫出相應的圖象數(shù)形結(jié)合求解后畫出相應的圖象數(shù)形結(jié)合求解. .【變式訓練【變式訓練】1.1.記實數(shù)記實數(shù)x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n中最小數(shù)為中最小數(shù)為minxminx1 1,x,x2 2, ,x,xn n,則則定義在區(qū)間定義在區(qū)間0,+)0,+)上的函數(shù)上的函數(shù)f(xf(x)=minx)=minx2 2+1,x+3,13-x+1,x+3,13-x的最大值為的最大值為( () )A.5A.5B.6B.6C.8C.8D.10D.10【解析【解析】選選C.C.在同一坐標系中作出三個函數(shù)在同一坐標系中作出三個函數(shù)y=xy=x2 2+1, +1, y=x+3,y=13-xy=x+3,y=13-x的圖象如圖的圖象如圖: :由圖可知由圖可知,minx,minx2 2+1,x+3,13-x+1,x+3,13-x為為y=x+3y=x+3上上A A點下方的射點下方的射線線, ,拋物線拋物線ABAB之間的部分之間的部分, ,線段線段BC,BC,與直線與直線y=13-xy=13-x點點C C下下方的部分的組合體方的部分的組合體, ,顯然顯然, ,在在C C點時點時,y=minx,y=minx2 2+1,x+3, +1,x+3, 13-x13-x取得最大值取得最大值. .解方程組解方程組 得得:C(5,8).:C(5,8).所以所以maxminxmaxminx2 2+1,x+3,13-x=8.+1,x+3,13-x=8.yx3,y13x2.2.若實數(shù)若實數(shù)x,yx,y滿足等式滿足等式x x2 2+y+y2 2=1,=1,那么那么 的最大值為的最大值為 ( () )yx2133A. B. C. D. 3232【解析【解析】選選B.B.設設k= ,k= ,如圖所示如圖所示, ,k kPBPB=tanOPB= k=tanOPB= kPAPA=-tanOPA=-tanOPA=- ,=- ,且且k kPAPAkkkkPBPB, ,所以所以k kmaxmax= .= .yx22213321，3333熱點熱點3 3利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式、參數(shù)問題利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式、參數(shù)問題【典例【典例3 3】實系數(shù)一元二次方程實系數(shù)一元二次方程x x2 2+ax+2b=0+ax+2b=0的一個根在的一個根在(0,1)(0,1)上上, ,另一個根在另一個根在(1,2)(1,2)上上, ,則則 的取值范圍是的取值范圍是 ( () )A.1,4A.1,4B.(1,4)B.(1,4)b2a111C. ,1 D.( ,1)44【解析【解析】選選D.D.設設f(xf(x)=x)=x2 2+ax+2b,+ax+2b,因為方程因為方程x x2 2+ax+2b=0+ax+2b=0的一個根在區(qū)間的一個根在區(qū)間(0,1)(0,1)內(nèi)內(nèi), ,另一個另一個根在區(qū)間根在區(qū)間(1,2)(1,2)內(nèi)內(nèi), ,所以可得所以可得 f 00,b0,f 10,a2b 10,ab20,f 20, 即作出滿足上述不等式組對應的點作出滿足上述不等式組對應的點(a,b(a,b) )所在的平面區(qū)域所在的平面區(qū)域, ,得到得到ABCABC及其內(nèi)部及其內(nèi)部, ,即如圖所示的陰影部分即如圖所示的陰影部分( (不含邊不含邊界界).).其中其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),設點設點E(a,bE(a,b) )為區(qū)域內(nèi)的任意一點為區(qū)域內(nèi)的任意一點, ,則則k= ,k= ,表示點表示點E(a,bE(a,b) )與點與點D(1,2)D(1,2)連線的斜率連線的斜率. .因為因為 結(jié)合圖形可知結(jié)合圖形可知:k:kADADkkkkCDCD, ,所以所以 的取值范圍是的取值范圍是 . .b2a1b2a1ADCD2 1120k,k1,1 341 11( ,1)4【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)問題的思路數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)問題的思路(1)(1)分析條件所給曲線分析條件所給曲線. .(2)(2)畫出圖象畫出圖象. .(3)(3)根據(jù)圖象求解根據(jù)圖象求解. .2.2.常見的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化常見的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化(1)(1)集合的運算及韋恩圖集合的運算及韋恩圖. .(2)(2)函數(shù)及其圖象函數(shù)及其圖象. .(3)(3)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象. .(4)(4)方程方程( (多指二元方程多指二元方程) )及方程的曲線及方程的曲線. .【變式訓練【變式訓練】當當x(1,2)x(1,2)時時,(x-1),(x-1)2 2log1,a1,在同一坐標系內(nèi)作出在同一坐標系內(nèi)作出y=(x-1)y=(x-1)2 2,x(1,2),x(1,2)及及y=logy=loga ax x的的圖象圖象, ,若若y=logy=loga ax x過點過點(2,1),(2,1),得得logloga a2=1,2=1,所以所以a=2.a=2.根據(jù)題意根據(jù)題意, ,函數(shù)函數(shù)y=logy=loga ax,x(1,2)x,x(1,2)的圖象恒在的圖象恒在y=(x-1)y=(x-1)2 2, ,x(1,2)x(1,2)的上方的上方, ,所以所以1a2.1a2.答案答案: :1a21a2